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乌鲁木齐地区2015年高三年级第一次诊断性测验理科数学试题及答案(乌鲁木齐市一模)


乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案 第 1 页(共 13 页)

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乌鲁木齐地区 2015 年高三年级

第一次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准
乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案 第 4 页(共 13 页)

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 B 2 B 3 A 4 A 5 D 6 A 7 A 8 D 9 B 10 C 11 D 12 C

1.选 B.【解析】∵ M ? x x ? 0 , N ? ??2,0,1? ,∴ M 2.选 B.【解析】∵ z ? 象限,故选 B.

?

?

N ? ??2,0? ,故选 B.

1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? i ? 1 3 ? 1 3? ? ? ? ? i ,对应的点为 ? ? , ? 在第二 1? i 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ? ? 2 2?

2 2 3.选 A.【解析】依题意,令 sin ? ? cos ? ? 0 ,∴ sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? ? 0 ,

∴ 1 ? 2sin ? cos ? ? 0 ,故 sin ? cos ? ? ?

1 1 ,∴ f ? 0 ? ? ? ,故选 A. 2 2

2 x x 4. 选 A. 【解析】∵ e ? 0 ,∴ e - 2 > - 2 ,又 ?x ? R, e ? 2 ? m ,∴ m ? ?2 ;由

log2 m2 ? 1,得 m ? ? 2 ,或 m ? 2 ;∵ “ m ?
故选 A. 5.选 D. 【解析】f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? 的图象向左平移 它的图象关于原点对称, ∴

2 ”? “ m < -

2 ,或 m >

2”

? ? ? ? 个单位得 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? , 3 6 ? ?
?
3
, 又? ?

?
3

? ? ? k? ? k ? Z ? , 即 ? ? k? ?

?
2

, ∴? ? ?

?
3



∴f

? x ? ? sin ? ? 2x ?
?

??

? ? ? 2? ? ? ?? ? ?? ? ∵ x ? ?0, ? ,∴ 2 x ? ? ? ? , ? ,∴ f ? x ? 在 ?0, 2 ? 上 3? 3 ? 3 3 ? ? ? ? 2?
3 ,故选 D. 2

的最小值为 f ? 0 ? ? ?

P

6.选 A.【解析】该几何体的直观图如图所示:为一四棱锥,其底 面 ABCD 是正方形, PC ^ 平面 AC , AC = 1 , PC = 2 .

1 ,∴正方形 2 1 1 1 1 1 ABCD 的面积 S = ,∴V = Sh = 创 2 = .故选 A. 2 3 3 2 3
AD 2 + DC 2 = AC 2 ,又 A D = DC ,∴ AD 2 =

D

A B

C

7.选 A.【解析】已知 x, y 都是区间 ? 0,

? ?? 内任取的一个实数,则 x, y 满足的区域面积是由 ? 2? ?

x ? 0, x ?

?
2

, y ? 0, y ?

?
2

围成的正方形,其面积是

? ?
2 ? 2

?

?2
4

,而满足 y ? sin x 的区

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案 第 5 页(共 13 页)

域面积为

?

?

2 0

sin xdx ? ? cos x

?
2 0

? 1∴ P ?

1

?

2

?

4

?2

.故选 A.

4
8.选 D.【解析】设 ?an ? 的公差为 d ,∴ a1 ? 2 ? d , a3 ? 2 ? d , a9 ? 2 ? 7d ,又 a1 , a3 , a9 成
2 2 ? d ?? 2 ?7 d 等比数列, ∴ a3 即?2 ? d ? ? ? ? a1a9 ,
2

故d ?1, a1 ? a2 ? d ? 1 , ? ,d ? 0 ,

∴ Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n2 n d ? ? ,故选 D. 2 2 2

骣 1÷ 2, ÷,i = 4 ; 9.选 B. 【解析】 执行第 1 次运算打印点 (1,1) ,i = 5 ; 执行第 2 次运算打印点 ? ? ? 2÷ 桫 骣 1÷ 骣 1÷ 3, ÷ 4, ÷, i = 2 ;执行第 5 执行第 3 次运算打印点 ? , i = 3 ;执行第 4 次运算打印点 ? ? ? ÷ ? ? 桫3 桫 4÷ 骣 1÷ 骣 1÷ 5, ÷ 6, ÷, i = 0 ;结束循环,其中在 次运算打印点 ? , i = 1 ;执行第 6 次运算打印点 ? ? ? ÷ ? ? 桫5 桫 6÷ 骣 1 ÷ 骣 1÷ 2, ÷, ? 圆 x 2 ? y 2 ? 10 内的点有 (1,1) , ? 共 3 个,故选 B. ? ?3, ÷ ? 桫 2÷ ? 桫 3÷

x2 y2 10.选 C.【解析】双曲线 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线是 y = a b

b x ,圆 a
> 1 ,即
4(c 2 - a 2 ) c2 >1

?x

? 2 ? ? y 2 ? 1 的圆心是 (2,0) ,半径是 1 ,依题意,有
2

2b a2 + b 2

化简得

2 3 c2 4 .故选 C. > ,即 e ? 2 a 3 3

11.选 D.【解析】分别过 A, B 点作准线的垂线,垂足分别为 A1,B1 , ∴ BF ? BB1 , AA1 ? AF .又∵ BC ? 2 BF ,∴ BC ? 2 BB1 ,∴ ?CBB1 ? 60 ∴ ? AFD

? CFO

60 ,又 AF = 3 ,∴ FD ?

3 3 3 ,∴ AA1 ? p ? ? 3 ,∴ p ? , 2 2 2

∴抛物线方程为 y 2 ? 3x .故选 D. 12.选 C.【解析】已知 an ? S n ? 1 ,当 n = 1时,得 a1 =

1 ;当 n ? 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? 1 , 2
an 1 = (n ? 2) , an - 1 2

2an = an - 1 , an - 1 ? 0 , 两式相减, 得 an - an - 1 + an = 0 , 由题意知, ∴

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案 第 6 页(共 13 页)

∴数列 ?an ? 是首项为

1 1 ,公比为 的等比数列,∴ S n = 2 2

1轾 犏 12犏 犏 臌 1-

骣 1÷ ? ÷ ? ? 桫 2÷ 1 2

n

骣 1 = 1- ? ÷, ? ÷ ? 桫 2÷

n

∴ S n ? ? ,1? .故选 C. ?2 ? 二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 2 .【解析】如图可知 z ? x ? 2 y 的最小值是 2 . 14.填

?1 ?

2x+y=4 y

x-y=1 x-2y=2

o

x x+2y=z

13 13p .【解析】由题意得四面体 A BCD 是底面边长 6



3 的 正 三 角 形 , 侧 棱 AD 垂 直 底 面 , 且 AD ? 3 , AB ? AC ? 2 3 ,

BD ? BC ? DC ? 3 ,则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上,且到底面
骣 3÷ 2 的距离等于 AD 的一半,∴ R = ? ÷ +1 = ? ? 桫 2÷
4 4 骣 ? 13 ÷ ÷ ∴V 球 = p R 3 = p ? ÷ ? 3 3 ? 桫2 ÷
3

2

13 2

13 13p . 6

P , Q , R 所对的边分别为 p ,q , r 15.填 12 .【解析】在 D PQR 中设 行
由题意知: qr cos ? P

7 , (PQ - PR ) = 36 ,即 r 2 - 2qr 仔 cos P + q 2 = 36

2

可知 r + q = 50 又 sin ? P

2

2

1 - cos ? P

2

骣 7 ÷ 1- ? ? ÷ ÷ ? qr ÷ 桫

2

∴ S D PQR = 而 2qr ? r 2

1 rq sin ? P 2

1 49 1 2 rq 1= (qr ) - 49 2 2 (qr ) 2

q 2 = 50 ,当且仅当 q = r = 5 时等号成立

2 所以,当且仅当 q = r = 5 时 (S DPQR )max = 2 25 - 49 = 12

1

16.填

32

3

< a<

3+ 3 .【解析】已知 f (x ) = x 3 - 3a 2 x - 6a 2 + 3a (a > 0) 2

则 f? ( x) = 3x2 - 3a2 ① f? ( x) ? 0 恒成立,则 a = 0 ,这与 a > 0 矛盾.

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②若 f ? ( x) ? 0 恒成立,显然不可能. ③ f? ( x) = 0 有两个根 a,- a ,而 a > 0 ,则 f ( x ) 在区间 (- ? , a ) 单调递增,在区间

(- a, a) 单调递减,在区间 (a, + ) 单调递增.故 f (- a) < 0 ,即 2a 2 - 6a + 3 < 0 ,
3+ 3 . 2 2 三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 17. (12 分) 1 (Ⅰ)∵ a cos B - b cos A = c 由正弦定理得 2 1 1 1 sin A cos B - sin B cos A = sinC = sin 轾 p - (A + B ) = sin (A + B ) 臌 2 2 2 1 ∴ sin A cos B - sin B cos A = (sin A cos B + cos A sin B ) 2 1 3 即 sin A cos B = sin B cos A ,易知 A 拱90 ,且 B 拱90 , 2 2 1 上式两边除以 cos A cos B ,得 tan A = 3tan B ?????????????? 6 分 2 3 10 10 , cos A = (Ⅱ)∵ tan A = 3 ,∴ sin A = , 10 10 a b 由 ,又 b = 5 , B = 45 ,得 a = 3 = sin A sin B 3 10 2 10 2 2 5 ? ? 而 sin C = sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B = 10 2 10 2 5 1 1 2 5 3 5? 3 ?12 分 ∴ S D ABC = ab sin C = 创 z 2 2 5 C A 18. (12 分)
解得:

3-

3

< a<

(Ⅰ)根据题意,建立如图空间直角坐标系 C 1 - xyz : 则 A (0, 2, 2), B (2,0, 2),C (0,0, 2), E (0,0,1), F (1,1,0)

B

E

C1

AE = (0,- 2,- 1), BC = (- 2,0,0), BF = (- 1,1,- 2)
∵ AE ?BC

A1 F

y

0

A E? B F 0 ∴ AE ^ BC , AE ^ BF

x

B1

即 A E ^ BC , AE ^ BF ,又 BC ? 平面 BCF ,且 BC ? BF ∴ AE ^ 平面BCF ?? ??6 分 (Ⅱ)设平面 ACF 的法向量 n1 = ( x, y, z) ∵ CA = (0,2,0),CF = (1,1, - 2)

B

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ì ? n1 ?CA 由? í ? ? ? n1 ?CF

0

ì 2y = 0 ? 得? ,令 z = 1 ,得 x = 2 ,∴ n1 = (2,0,1) í 0 ? ? ? x + y - 2z = 0
n1 ×n2 1 = n1 n2 5

同理可得平面 BCF 的一个法向量 n2 = (0, 2,1) ,∴ cos n1 , n2 =

由图判断二面角 A - CF - B 的平面角为钝角,∴其余弦值为 -

1 .???12 分 5

19. (12 分) 根据题意得到 x 取的各组中点值依次为 3, 7,11,15,19 ; x 取这些中点值的概率依次为

0.25,0.4,0.2,0.1,0.05
(Ⅰ)从乘客中任选 2 人,其乘车里程相差超过 10 km 有 3 种情况: 3 km 和 15 km; 3 km 和 19 km; 7 km 和 19 km.∴从乘客中任选 2 人,其乘车里程相差超过 10km 的概率 为: P ? 0.25 ? 0.1 ? 0.25 ? 0.05 ? 0.4 ? 0.05 ? 0.0575 ?????????? 5 分 (Ⅱ)答案一: 依题意乘客被简化为只有五类,其乘车里程依次为 3km,7km,11km,15km,19km. 乘车里程为 3km 的乘客其打车总费用 300 ?1% ? 0.25 ?10=7.5 (万元) 乘车里程为 7km 的乘客其打车总费用 300 ?1% ? 0.4 ? ?10+1.3? 4? =18.24 (万元) 乘车里程为 11km 的乘客其打车总费用 300 ?1% ? 0.2 ? ?10+1.3? 8? =12.24 (万元) 乘车里程为 15km 的乘客其打车总费用 300 ?1%? 0.1? ?10+1.3?12? =7.68 (万元) 乘车里程为 19km 的乘客其打车总费用 300 ?1%? 0.05 ? ?10+1.3?16? =4.62(万元) ∴出租车公司一天的总收入为 7.5+18.24+12.24+7.68+4.62=50.28 (万元)?12 分 答案二: 依题意,将乘客按其乘车里程分为五组,分别计算每一组乘客的乘车总费用为: 第一组:

300 ?1% ? ? ?10 ? 2 ? 0.0625+ ?10+1?1.3? ?1? 0.0625+ ?10+2 ?1.3? ?1? 0.0625? ?
轾 = 300创 1% 0.0625创 40+(1+2) 1.3 =8.23125 臌
第二组:

8.23 (万元)

300创 1% 轾 1.3) 1创 0.1+(10+4 1.3)创 1 0.1+(10+5创 1.3) 1创 0.1+(10+6 1.3)创 1 0.1 (10+3创 臌 轾 = 300创 1% 0.1创 40+(3+4+5+6) 1.3 =19.02 (万元) 臌
第三组:

300创 1% 轾 1.3) 1创 0.05+(10+8 1.3)创 1 0.05+(10+9创 1.3) 1创 0.05+(10+10 1.3)创 1 0.05 (10+7创 臌

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轾 = 300创 1% 0.05创 40+(7+8+9+10) 1.3 =12.63 (万元) 臌
第四组:

300创 1% 轾 1.3) 1创 0.025+(10+12 1.3)创 1 0.025+(10+13创 1.3) 1创 0.025+(10+14 1.3)创 1 0.025 (10+11创 臌

轾 = 300创 1% 0.025创 40+(11+12+13+14) 1.3 =7.875 臌
第五组:

7.88 (万元)

300创 1% 轾 1.3) 1创 0.0125+(10+16 1.3)创 1 0.0125+(10+17创 1.3) 1创 0.0125+(10+18 1.3)创 1 0.0125 (10+15创 臌

轾 = 300创 1% 0.0125创 40+(15+16+17+18) 1.3 =4.7175 臌

4.72 (万元)

∴出租车公司一天的总收入为 8.23+19.02+12.63+7.88+4.72=52.48 (万元)???? 12 分 以上两种答案均视为正确. 20. (12 分) (Ⅰ) 已知椭圆

c 2 2 x2 y2 ,即 = ,又∵ c 2 = a 2 - b 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 2 a 2 2 a b 1 ∴ a 2 = 2b 2 又∵ ? F1PF2 90 ,∴ SDF1PF2 = PF1 ? PF2 1 , 2
由 点 P 在 椭 圆 上 , ∴ PF1 + PF2 = 2a , 在 Rt D F1PF2 中 , PF1 + PF
2 2 可得 b = 1 , a = 2 ∴椭圆的标准方程为

2

2 2

= 4c 2

x2 + y 2 = 1 ?????????? 5 分 2

(Ⅱ)不妨设 F 1 是左焦点, P ( x 1 , y 1 ) ,Q ( x 2 , y 2 ) 依题意知 PQ ^ PM , PQ ^ QN ,点 M , N 分别在 x 轴上,∴直线 PQ 的倾斜角不等于 90 ° . 设直线 PQ 的斜率为 k ,倾斜角为 q ,则直线 PQ 的方程为: y = k (x + c )

ì y = k ( x + c) ? ? ? 解方程组 í x 2 ,得: (b 2 + a 2 k 2 )x 2 + 2a 2ck 2 x + a 2c 2 k 2 - a 2b 2 = 0 y2 ? + = 1 ? 2 ? b2 ? ?a
设此方程的两个根为 x 1 , x 2 , 由韦达定理得 x1 + x2 = 且 y 1 = k (x 1 + c ) , y 2 = k (x 2 + c ) 可得 PQ =

- 2a 2 ck 2 a 2 c 2 k 2 - a 2b 2 , x x = 1 2 b2 + a 2 k 2 b2 + a 2 k 2

(x 1 - x 2 ) + ( y 1 - y 2 ) = 1 + k 2 ? (x 1 x 2 ) - 4x 1x 2
2 2

2

2

2

骣 2a 2 k 2c ÷ 2ab 2 (1 + k 2 ) a 2 k 2c 2 - a 2b 2 ? ÷- 4 = 1+ k ? ? 2 = 2 2÷ ? b 2 + a2k 2 b 2 + a2k 2 桫b + a k ÷

故 MN =

PQ cos q

=

2ab 2 (1 + k 2 ) 1 + k 2 b 2 + a2k 2



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又∵ e = ∴ MN
2

c 2 = , a 2 = b 2 + c 2 ∴ a 2 = 2b 2 a 2

=

4a 2 (1 + k 2 )3 ,令 t = 1 + k 2 (t (1 + 2k 2 )2

1) , f (t ) =

t3 (2t - 1) 2

则 f? (t ) =

3t 2 (2t - 1) 2 - 4(2t - 1)t 3 t 2 (2t - 1)(2t - 3) = (2t - 1) 4 (2t - 1) 4

∴ f? (t ) = 0 ,得 t = 0 ,或 t = 当 1 #t

3 1 ,或 t = 2 2

轾3 3 1, 上为减函数, 时, f ? (t ) ? 0 ,故函数 f (t ) 在 犏 犏 2 臌2



骣 3 3 ,+ (t ) > 0 ,故函数 f (t ) 在 ? < t 时, f ? ? ? 桫 2 2

÷ ÷ ÷上为增函数,

骣 3 ÷ 27 ∴ f (t ) 有最小值 f ? , ÷= ? ? 桫 2 ÷ 32
∴ MN 取最小值

3 3 6a 时,1 + k 2 = ,即 k = 4 2

2 .?????????? 12 分 2

21. (12 分) (Ⅰ)已知 f (x ) = ln(a + x ) - ln(a - x ) (a > 0) 则 f ' ( x ) =

1 1 2a + = 2 , a+ x a- x a - x2
∴a= 1 ????? 4 分

2a 2 2 = ,由题意知 f ' (0) = 2 ,∴ = 2 2 a a a 3 2x (x 0) (II)令 g (x ) = f (x ) - 2x 3 f ' (0) =

? 骣 2 x3 ÷ 2a ÷ ( x) = ? = f ( x) - 2 - 2 x 2 = 2 - 2 - 2x2 则 gⅱ ? f ( x) - 2 x ÷ 2 ÷ ? 3 a - x 桫

=
i)当 0 < a 当0? x

2 ( x4 - (a2 - 1) x2 + a - a2 ) a - x2
2

1 时, a 2 - 1

0 , a - a2

0

a 时, x 4 - (a 2 - 1)x 2 + a - a 2

0 ,即 g? ? x ? ? 0

∴函数 g ( x ) 在 [0, a ) 上为增函数 ∴ g (x ) ? g (0)

0 ,即当 0 < a

1 时, f (x ) ? 2x

2x 3 3

ii)当 a > 1 时, a 2 - 1 > 0 , a - a 2 < 0 ∴0< x <

a 2 - 1 < a 时, x 2 - (a 2 - 1) < 0 , x2 轾 x2 - (a 2 - 1) < 0 犏 臌

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从而 x 4 - (a 2 - 1)x 2 + a - a 2 < 0 ,即 g? ? x ? ? 0 从而函数 g ( x ) 在 0, a 2 - 1 上为减函数 ∴当 0 < x <

(

)

a 2 - 1 时 g (x ) < g (0) = 0 ,这与题意不符
2x 3 , a 的取值范围为 0 < a 3
1

综上所述当 x ? 0 时, f (x ) ? 2x

????? 12 分

22. (10 分) GFA , ∵ GC 与圆相切于 C ∴ ? EAC (Ⅰ)∵ GA = GF ∴ ? GAF CAD, GFA = ? FCD CDA ,∴ ? CAD ∵ ? GAF ? EAC 行

? GCE

FCD

CDA

∴ CA = CD . ???????????????????????? 5 分 (Ⅱ)∵ H 为 AD 的中点, CA = CD ,∴ CH ^ AB ,连结 BC , ∵ AB 是直径, C 点在圆上∴ ? ACB 90 , ∴ BH ?BA BC 2 , CAB, CAB = CDA ,∴ ? BCF ∵ ? BCF 行 D ,又∵ ? CBF ∴ DCBF ∽ DDBC ,∴ 故 BH ?BA 23. (10 分) (Ⅰ)以 O 为极点,Ox 为极轴,建立极坐标系,设点 Q , P 的极坐标分别为 (r , q) ,(r 1 , q) , 由题意 r ?r 1

DBC ,

CB BF = DB BC

∴ BC 2 = DB BF , ????? 10 分

BF BD .

1 , r ? 0 ,得 r 1 =

骣 1 cos q sin q ÷ ÷ ,∴点 P 的直角坐标为 ? , ? ÷, ? r r ÷ 桫r
2cos q 2sin q + - 1 = 0 , r = 2cos q + 2sin q , r r

P 在直线 2x + 2 y - 1 = 0 上,∴

化成直角坐标方程得 (x - 1)2 + ( y - 1)2 = 2 (x 构0, 且y

0) ,

∴ Q 点的轨迹是以 (1,1) 为圆心, 2 为半径的圆(原点除外) . ???????5 分

ì ? x = 1+ (Ⅱ) Q 点轨迹的参数方程为 ? í ? ? ? y = 1+

2 cos j 2 sin j

(j 为参数,j ?

5p ) 4

则 x + 7 y =1+ 2 cos q + 7 + 7 2 sin q = 8 + 10sin(j + a ) ,其中 tan a = ∴ x + 7 y 的最大值是 18. 24. (10 分) (Ⅰ) f ( x) + f (-

1 7

???????????????10 分

1 1 ) = x - a + - - a ? (x x x

a) - (-

1 - a) x

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案 第 12 页(共 13 页)

= x+

1 1 = x+ x x

2

??????????????5 分

ì ? ? ? ? 2a - 3x ? ? ? ? (Ⅱ)函数 y = f (x ) + f (2x ) = x - a + 2x - a = ? í- x ? ? ? ? ? ? 3x - 2a ? ? ? ?
函数的图象为:
y

(x
骣 ? a< x ? ? 桫

a) a÷ ÷ 2÷

骣 a÷ ? x> ÷ ? ? 桫 2÷

a

a 2

o

x

a a a 1 时, y min = - ,依题意, - < ,则 a > - 1 2 2 2 2 ∴ a 的取值范围是 - 1< a < 0 ??????????????????????10 分
当x = 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

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