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扬大附中2014-2015学年第二学期高一数学期中试卷


扬州大学附属中学 2014~2015 学年度第二学期

14.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规律排列: 2015.4.27

高一期中数学试题
责任命题、做题: 本 试 卷 共 计 : 考 试 时 间 :

陈 磊、孟伟业 160 分 120 分钟

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , ,?, , ,?, ,? 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n
3 有如下运算和结论:① a24 ? ;②数列 a1 , a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 ,? 是等 8
比数列; ③数列 a1 , a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 , ? 的前 n 项和为 Tn ? 若存在正整数 k ,使 Sk ? 21 ,Sk ?1 ? 21,则ak ?

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.求值: cos2

n2 ? n ; ④ 4

?

8

? sin 2

?

8

?

. . .

2.已知等差数列 ?an ? ,若 a2 ? a6 ? 12 ,则 a4 ?

7 . 10

其中正确的结论有

.(将你认为正确的结论序号都填上)

3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c. 若 b 2 +c 2 ? a 2 ? 3bc ,则角 A = 4.在数列 {an } 中, a1 =1, an?1 ? an ? 2 ,则 a20 =_____________.

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分)
2 已知全集 U ? R ,集合 A ? x | ?2 x ? x ? 6 ? 0 , B ? ? x

1 5.已知 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? ? 3

. . .

?

?

?

1 ? ? 1? . x ? 1 ? ?

求: (1) CU A ; (2) B ? (CU A) .

6.在正项等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? 2, S3 ? 14 ,则 a3 ? 7.若关于 x 的不等式 ax 2 ? x ? c ? 0 的解集是 ?x |1 ? x ? 2? ,则 a+c ?

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c . 若 b cos A ? a cos B ? 2c cos B , 则角 B = . . 16. (本小题满分 14 分) . 已知 sin(? ?

9.设数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,则 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 10.若满足 ?ABC ?

?
6

, AB ? 2, AC ? t 的三角形 ABC 有两个,则实数 t 的取值范围是

?
4

)?

5 ? ( ?? ??) . 5 2

1 ? 11.若 cos(? ? ) ? ,则 sin(2? ? ) 的值是 6 5 6

?

(1)求 cos? 的值; . (2)求 .

sin 2? ? 2 cos 2 ? sin(? ?

?
4

的值.

a n ?1 1 (n ? N *) ,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 12.若数列 ?an ? 满足: a1 ? , n ?1 ? a n 2 n

)

13.已知函数 f ( x) ? 2sin2 ( ? x ) ? 3 cos 2x ? 1,若函数 h( x) ? f ( x ? t ) 的图象关于点 (? , 0) 对 4 6 称,且 t ? (0, ? ) ,则 t ? .
高一期中数学试题 第 1 页共 2 页

?

?

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 A, B, C 成等差数列. (1)若 b ? 2 3 , c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (2)若 sin A,sin B,sin C 成等比数列,判断 ?ABC 的形状.

19. (本小题满分 16 分) 图 1 是某建筑工地的某塔吊图片(塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备,又名“塔式起重 机”) ,为了了解塔吊“上部”的一些结构情况,学校数学兴趣小组将塔吊“上部”的结构进行了简 化,取其部分可抽象成图 2 所示的模型,其中 A、D、E、B 四点共线,通过测量得知起重臂 BD ? 30 米,平衡臂 AD ? 8 米,CA、CB 均为拉杆. 由于起重臂达到了一定长度,在 BD 上需 要加拉杆 CE,且 BE : ED ? 2 : 3. 记∠CAD ? ?,∠CED ? ?. (1)若 CD⊥AB,现要求? ≥ 2?,问 CD 的长至多为多少米? (2)若 CD 不垂直于 ,? ? 15° ,求 CD 的长.(选用下列参考数据进 ....AB,现测得? ? 30° 行计算:cos15°≈
80 2 19 2 529 ,sin15°≈ , 3? ) 117 104 304

(3)若所加拉杆 CE 的长满足 CB : CE : CD ? 3 : k : 1,求实数 k 的取值范围.

C
β α

B
18. (本小题满分 16 分) 图1

E
图2

D

A

在等比数列 ?an ? 中, 0 ? q ? 1 , a3 +a5 =5 , a2 a6 =4 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ; 20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? an ? 4(n ? N ? ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 设数列 {bn } 满足 bn ?
n ? 2 n ? an ? 2 , 是否存在正整数 n , 使得 bn 为正整数?若存在, n ?1
n

S S S (3)在(2)中,是否存在 k ? N ? ,使得 1 ? 2 ? ? ? n ? k 对任意的 n ? N ? 恒成立?若存在, 1 2 n 求出 k 的最小值;若不存在,请说明理由.

求出所有 n 的值,若不存在,请说明理由;
?1? n?2 (3) 若数列 {cn } , 对于任意的正整数 n, 均有 c1an ? c2 an?1 ? c3an?2 ? ? ? cn a1 = ? ? ? 2 ?2?

成立,求证:数列 {cn } 是等差数列.

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