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数形结合思想解高考数学试题中的应用


数形结合思想解高考数学试题中的应用
所谓数形结合,是指在解决数学问题时,以形直观地表达数,以数精确地研究形.根据数与形之 间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.其实质是将抽象的数学 语言与直观的图形结合起来,通过“以形助数,以数解形” ,使复杂问题简单化,能够变抽象思维为 形象思维,有助于把握数学问题本质.它是数学的规律性与灵活性的有机结合. 在 09 年全国各地的高考题中,数形结合思想仍然是重点考查的思想方法之一,特别是表现在选 择题与填空题中.有些题目如果不加分析就直接运用代数方法计算是很难的,计算量比较大而且浪费 时间,然而运用数形结合解题,则简易得多. 【4-6】 一、 用数形结合解决不等式问题 在高考题中,充分利用选择题和填空题的题型特点,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象 的不等式问题,可起到事半功倍的效果. 例 1 (2009 年,重庆卷,第 5 题)不等式 x + 3 ? x ? 1 ≤ a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数
2

D. ( ?∞,1] U [2, +∞ ) 解析 本题不等式含有绝对值和参数,不 易直接计算.可将不等式可看作是坐标轴上任 -3 -2 -1 0 1 意一点 x 到点-3 和点 1 的距离差小于等于某一 图1 个数.由图 1 可以看出任意一点 x 到点-3 和点 1
2

a 的取值范围为( ) . A. (?∞, ?1] U [4, +∞ ) C. [1, 2]

B. (?∞, ?2] U [5, +∞)

x

的距离不超过 4,故 a ? 3a ≥ 4 ,解得 a ∈ ( ?∞, ?1] U [4, +∞ ) . 评析 此题借助于数轴,巧妙地将不等式差值问题转化为点到点之间的距离差的问题,而这课以 很清楚的从数轴上看出.由此利用数形结合的方法便避免了化简绝对值的繁琐过程.
2 例 2 (2009 年,江西卷,第 15 题)若不等式 9 ? x ≤ k ( x + 2) ? 2 的解集为区间 [ a, b ] ,且

b ? a = 2 ,则 k =

. 解析 对于此题,可将不等式左右两边分别看做是半圆 y 3

y = 9 ? x 2 和直线 y = k ( x + 2) ? 2 ,问题则转化为使半圆

y = 9 ? x 2 在直线 y = k ( x + 2) ? 2 之下即可,即有如图 2 所 示 的 形 式 , 而 x ∈ [ ?3,3] 那 么 只 能 够 有 b = 3, a = 1 , 则 直 线 y = k ( x + 2) ? 2 过点( 1, 2 2 ) k = 2 . ,则

-3 评注 此题要求参数的取值,由于不等式中含有根式,直接计 x 3 算的计算量较大.然而观察到不等具有几何意义,通过构造几何 图形,运用图形间的数量关系来求解,既简洁又一目了然,起到 了事半功倍的效果. 图2 【4-6】 二、 用数形结合解决函数问题 在解决函数问题时,运用“以形助数”或“以数解形”的方法使复杂的问题简单化,抽象的问题 具体化,可以起到优化解题途径的目的. 例 3 (2009 年,四川卷,第 4 题)已知函数 f ( x ) = sin( x ? A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2π B.函数 f ( x ) 在区间 [0,

π
2

)( x ∈ R ) ,下面结论错误的是( ) .
y

π

C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = 0 对称 D.函数 f ( x ) 是奇函数 解析 函数图像如图 3 所示.从图中可以看出

2

] 上是增函数
?

π
2

O

π 3π
2 2

x

T = 2π ,对称轴 x = 0 ,在区间 [0, ] 是增函数,函数 f ( x) 是奇函数.故选择 D. 图3 2
评注 本题考察三角函数基本的性质:周期性、奇偶性以及单调性.而这些信息通过三角函数的

π

图像可以很明确的显现出来. 例 4 ( 2009 年 , 海 南 卷 , 第 12 题 ) 用 min {a, b, c} 表 示 a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值 . 设

f ( x) = min{2 x , x + 2,10 ? x}( x ≥ 0) ,则 f(x)的最大值为( ) .
A.4 B.5 C.6 D.7 解析 此题是以高等数学中的取小函数“ min { } ”为背景而设置的题,解题关键是正确理解

y = x + 2, y = 10 ? x 的图像, 4 所示. 如图 即可知函数 f ( x ) 的最大值在 y = x + 2 与 y = 10 ? x 得交点处取得. 从 而当 x = 4 时, f ( x ) 的最大值为 6.故选择 C. 评注 该题是以高等数学为背景,求解函数最大值.直接计 y = 2x y
算量较大,但巧妙地利用函数图像便可轻松解决问题. 【4-6】 三、 用数形结合解决方程曲线问题 曲线与方程之间建立起来对应关系,根据问题的具体情形, 把图形性质问题转化成数量关系,用代数方法研究几何问题. 四川卷, 9 题) 第 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y + 6 = 0 例 5(2009 年, 和直线 l2 : x = ?1 ,抛物线 y 2 = 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线

“ min {

} ”的含义.在同一坐标系内画出函数 y = 2 x ,

y = x+2
图4 x

l2 的距离之和的最小值是( ) .
A.2 B.3

y = 10 ? x
图4

11 C. 5

37 D. 16

解析 本题是求最短距离的问题,两条直线及抛物线的图像 如图 5 所示.由抛物线的方程可知 l2 : x = ?1 即是抛物线的准 线.抛物线上一动点到焦点的距离等于动点到准线的距离,那 么 | PM |=| PF | .故此时点 P 到 l1 和 l2 的距离和即是焦点 F 到 直线 l1 的距离: d = l2 :x=-1 Q M

y
. .P . F(1,0)

4 ×1 ? 3 × 0 + 6
4 2 + 32

= 2 .故选择 A.

评注 充分利用抛物线的性质以及点到直线的距离是解决 此题的关键,根据图形特点来解决数的问题. 例 6 (2009 年,四川卷,第 14 题)若 O1 : x + y = 5 与
2 2

x

l1

O2 : ( x ? m) 2 + y 2 = 20 (m ∈ R ) 相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,

图5

则线段 AB 的长度是 . 解析 本题两圆相交问题,线段 AB 即为两圆相交所截得的弦长.由题意,两圆相交的图像如图 6 所示两圆在点 A 处的切线 l1 和 l2 互相垂直,点 A 为切点,那么根据圆的性质可知,l1 必经过圆 O1 的圆 心,2 必经过圆 O2 的圆心. l 那么 O1O2 = 又 由

( ) (
2

5

+

20

)

2

= 5.
A O1 C O2

O1O2 ? AC = AO1 ? AO2

, 得

AC = 2 . 故

AB = 2 AC = 4 .
评注 解此题时通过对图形的观察,利用圆的性质,即过切 点的半径垂直于过切点的切线.再进行简单的代数运算即可. 四、用数形结合解决线性规划问题 解决线性规划问题的基本思想是在约束条件对应的可行域 内根据目标函数的几何意义求出目标函数的最优解.故解决线性 规划问题的数学思想,从本质上说,就是数形结合思想. 例 7 (2009 年,山东卷,第 12 题)设 x, y 满足约束条件

l1

B

y

l2 x? y+2=0

z = ax + by
x

图6

3x ? y ? 6 = 0
图7

?3x ? y ? 6 ≤ 0, 2 3 ? . ? x ? y + 2 ≥ 0, 若目标函数 z = ax + by (a>0, b>0)的最大值为 12,则 + 的最小值为( ) a b ? x ≥ 0, y ≥ 0, ?
A.

25 6

B.

8 3

C.

11 3

D. 4

解析 不等式表示的平面区域如图 7 所示的阴影部分,由图中可以看出当直线 z = ax + by (a>0, b>0) 过 直 线 x ? y + 2 = 0 与 直 线 3 x ? y ? 6 = 0 的 交 点 (4, 6) 时 , 目 标 函 数

z = ax + by (a>0, b>0)取得最大 12,即 4a + 6b = 12 ,即 2a + 3b = 6 . 2 3 2 3 2a + 3b 13 b a 13 25 而 + =( + ) = +( + )≥ +2= 故选择 A. a b a b 6 6 a b 6 6 ?x ≥ 0 4 ? 例 8 (2009 年,安徽卷,第 7 题)若不等式组 ? x + 3 y ≥ 4 所表示的平面区域被直线 y = kx + 3 ?3x + y ≤ 4 ?
分为面积相等的两部分,则 k 的值是( ) . A.

7 3

B.

3 7

C.

4 3

D.

3 4

解析 本题主要是考察运用线性规划的知识解决问题.由不等式组围成的区域就是图 8 中的 S1 和

4 4 4 将阴影部分分成面积相等的两部分 S1 和 S2 .直线 y = kx + 经过点( 0 , ) , 3 3 3 那么从图中可以看出,要使 S1 和 S2 的面积相等,直线 3x + y = 4 y 4 1 5 4 y = kx + 只能经过线段 AB 的中点( , ) ,即是使 y = kx + 3 2 2 4B 3 4 S1 得三角形 S1 和 S2 等底等高.因而由直线经过点( 0 , ) 3 S2 7 1 5 和( , )可算出 k = ,故选择 A. 4 A 2 2 3

S2 ,直线 y = kx +

4 3 评注 此题不仅考查了线性规划知识,同时也将几何 4 x + 3y = 4 x 知识蕴含其中.充分利用题中所给条件,仔细观察图形特 3 点,找准面积相等即有等高等底的关系是解题的关键所 在. 图8 数形结合是一种重要的解题方法,其重点在于解题的 灵活性,创造性.善于发现代数式的几何意义,构造几何 图形,实现由“数”到“形”的巧妙转化;善于理解图形,读懂图像所给出的信息,即有由“形”到 数的转化.



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