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江西省南昌二中2013届高三第三次月考数学(理)试题


一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知命题 p : ?x ? R , x ? sin x ,则 p 的否定形式为( ) A. ?p : ?x ? R , x ? sin x C. ?p : ?x ? R , x ? sin x 2. 函数 f ( x) ? A. (? ,??) B. ?p : ?x ? R , x ? sin x D. ?p : ?x ? R , x ? sin x ) D. (??,? ) ) D. ?

3x 2 1? x

? lg( 3 x ? 1) 的定义域是(
B. (? ,1)

1 1 C. (? ,1 ? 3 3 3 5 5? 3. 已知 ? 为锐角, sin(? ? ? ) ? ? ,则 tan(? ? )?( 2 5 4 1 A.-3 B.3 C. 3
1 3
4.关于 x 的不等式 ax ?b ? 0 的解集为 ?2,?? ? ,则关于 x 的不等式 A. ?? 2,3? C. ?2,3? B. ?? ?,?2? ? ?3,?? ? D. ?? ?,?3? ? ?2,?? ?

1 3

ax ? b ? 0 的解集为( x ?3

1 3

)

? a, a ? b ,如 1? 2 ? 1 ,令 f ( x) ? 2x ? 2? x ,则 f ( x ) 为( ) b, a ? b ? A.奇函数,值域 (0,1] B.偶函数,值域 (0,1] (0,1] C.非奇非偶函数,值域 D.偶函数,值域 (0, ??) 6. 关于直线 m、n 与平面 ? 、 ? ,有以下四个命题:( ) ①若 m∥ ? ,n∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 m∥n ②若 m∥ ? ,n⊥ ? 且 ? ⊥ ? ,则 m∥n ? 且 ? ∥ ? ,则 m⊥n ③若 m⊥ ? ,n∥ ④若 m⊥ ? ,n⊥ ? 且 ? ⊥ ? ,则 m⊥n
5. 定义运算 a ? b ? ? 其中真命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7. 巳知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0, 2? )) 有两个不同的零点 x1, 2, x 且方程 f ( x) ? m 有两个不同 的实根 x3,x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为( ) A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

8. 若三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 是正三角形,则三个侧面的面积相等是三棱锥 P-ABC 是 正三棱锥的( ) A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9. 已知正项等比数列 ?an ? 满足:a2012 ? a2011 ? 2a2010 , 且 最小值为( ) B.2 C.4 D.6

an ? am ? 4a1 , 6 ? 则 ?

1 1? ? ?的 ?m n?

10. 如图,三棱锥 P ? ABC 的底面是正三角形,各条侧棱均相等, ?APB ? 60? .设点 D 、
E 分别在线段 PB 、 PC 上,且 DE //BC ,记

2 A. 3

PD ? x , ?ADE 周长为 y ,则

y ? f ? x ? 的图象可能是(
y
y

)
y
y

O

x

O

x O

xO

x

A

B

C

D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 若平面区域 ?0 ? y ? 2 是一个梯形,则实数 k 的取值范围是

?0 ? x ? 2 ?

? y ? kx ? 2 ?

12. 设函数

,若

,则

=_____ 13.如图,在△OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点,

若 BP ? 3PA , | OA |? 4 , | OB |? 2 ,且 OA 与 OB 的夹角为 60°, 则 OP ? AB = 14. 在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

S1 1 ? ,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体 P—ABC 的内切球体积为 V1,外接 S2 4 V 球体积为 V2,则 1 ? V2 15. 如 图 放 置 的 边 长 为 1 的 正 方 形 PABC 沿 x 轴 滚 动 , 设 顶 点 p ( x, y ) 的 轨 迹 方 程 是 y ? f (x) ,则 y ? f (x) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积


三、解答题 16. (本题 12 分)一个四棱锥的三视图如图所示,E 为侧 棱 PC 上一动点。

(I)画出该四棱锥的直观图,并求它的侧面积

(II)取 PC 中点 E,求证:PA//面 EBD

? 17. (本题 12 分)数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? t , an ?1 ? 2 S n ? 1 ( n ? N ) .

(I)当 t 为何值时,数列 {an } 是等比数列? (II)在(I)的条件下,若等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 ,

a 2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn .

18.(本题 12 分)在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 ACC 1 A1?面ABC ,

2 a , A1C ? CA ? AB ? a , AB?AC , D为AA1中点 . (I)求证: CD ?面ABB1 A1 ; (II)在侧棱 BB1 上取中点 E ,求二面角 E ? A1C1 ? A 的平面角的余弦值

AA1 ?

2 19. (本题 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 b ? ac ,且 cos B ?

??? ??? 3 ? ? (I)若 BA ? BC ? ,求 a ? c 的值; 2 cos A cos C ? (II)求 的值. sin A sin C

3 . 4

20. (本题 13 分)如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°.点 E、F 分别在边 CD、CB 上, 点 E 与点 C、D 不重合,EF⊥AC,EF∩ AC=O.沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置,使平面 PEF⊥ 平面 ABFED. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 POA; (Ⅱ)求 PB 长的最小值并且当 PB 取得最小值时,请解答以下问题: (i)求四棱锥 P-BDEF 的体积; (ii)若点 Q 满足 AQ =λ QP (λ >0), 试探究: 直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小是否一定大 于

????

??? ?

? ?并说明理由. 4

21. (本题 14 分)设函数 f ( x) ? x2 ? 2(?1)k ln x(k ? N ? ), f ' ( x) 表示 f ( x ) 导函数。 (I)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 k 为偶数时,数列{ an }满足 a1 ? 1, an f ? ? an ? ? an ?1 ? 3 .证明:数列{ a n }中不存在
2
2

成等差数列的三项; (Ⅲ k 为奇数 时, 设 bn ? )当

1 f ? ? n ? ? n , 数列 ?bn ? 的 前 n 项和 为 S n ,证明不等 式 2

?1 ? bn ? b

1

n ?1

? e 对一切正整数 n 均成立,并比较 S2012 ?1 与 ln 2012 的大小.

南昌二中 2012-2013 学年度上学期第三次月考 高三数学(理)参考答案

过 C 点 作 AC 的 平 行 线 为 y 轴 , AC 为 x 轴 , A1C 为 Z 轴 建 立 空 间 坐 标 系 。 其 中 A(1,0,0),B(1,1,0),A1(0,0,1),C1(-1,0,1),B1(0,1,1)

???? ? ???? ? 1 1 1 1? ( ,1, ) ), A1C1 ? (?1, 0, 0); A1E ? ? ,1, ? ? E 2 2 2? ?2

3 3 3? ,0, ), ? ?1 ? ?1 ???? 3 3 3? , 0, ). ∴ OQ ? ( ········· 10 分 ········· ? ?1 ? ?1 ? ??? ? ? ??? ? ? 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 .

∴ Q(

??? ? ∵ PB ?

?

??? ? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, ? 3,2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4, 0 ? ,∴ ? ??4 y ? 0 ?

?



?2(2k ?1) ? 2n ?1? 2m ?1?2k ?1 ? 2n ? 2m ,?2k ?1?m ? 2n?m ?1,
等式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,
2 ? 假设不成立,数列{ a n }中不存在成等差数列的三项


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