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高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析


高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

1 . 定义 运算 ?

?a b ? ?e ? ?ae ? bf ? ?1 2 ? ?4? ?14? ,如 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .已知 ? ? ? ? ? , ? ? ?0 3? ?5? ?15? ?c d ? ? f ? ?ce ? df ? ?sin ? cos? ? ?cos ? ? ??? ? ?( ?cos? sin ? ? ?sin ? ?
B. ? ? ).

? ?? ?
?0 ? ?0 ?

?
2

,则 ?

A. ? ?

?0 ? ?1 ?

C. ? ?

?1 ? ?0 ?

D. ? ?

?1? ?1?

a b z 1 ? 2i ? ad ? bc ?0 c d 1 ? 2i 1 ? i 2 .定义运算 , 则符合条件 的复数 z 对应的点在
( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 ) C. 3 D. 任意实数 D.第一象限

3.矩阵 E = ? ?0 1? ? 的特征值为( ? ? A. 1 B. 2

?1 0?

4. 若行列式 1

1

2 x

x 2 ? 0 ,则 9

4

x?



1 ?3

? 2 0 ?? x ? ? ?2 ? 5.若 ? ?? ? ? ? ? ,则 x ? y ? ? ?1 3 ?? y ? ? 10 ?



1 ?1 2 ? x ? y ? _______. 6.已知一个关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ? ? ? ,则 ?0 1 2?

?1 1? 7.矩阵 ? ? 的特征值为 ? 4 1?



8.已知变换 M ? ?

?1 0 ? ? ,点 A(2, ?1) 在变换 M 下变换为点 A?(a,1) ,则 a ? b ? ?0 b ?

9. 配制某种注射用药剂, 每瓶需要加入葡萄糖的量在 10 ml 到 110 ml 之间, 用 0.618 法 寻找最佳加入量时,若第一试点是差点,第二试点是好点,则第三次试验时葡萄糖的加 入量可以是 ; 10.已知 , ,则 y= .

11.若

x2 ?1

y2 1

?

x

x

y ?y

,则 x ? y ? ______

试卷第 1 页,总 3 页

12.计算矩阵的乘积 ? ?

? x y ?? 0 ? 1? ? ? ?? ? ? ? ______________ ? m n ??1 0 ?


13.已知矩阵 A

-1

=? ?

? 1 2 ? -1 ?1 0 ? -1 ? ?1 1 ? ? ,则 (AB) = ? ,B = ? 0 1 ? ? ? ?

评卷人

得分 七、解答题

? ?1 2 ? ? 的一个特征值为 ?2 ,求 M 2 . 14.已知矩阵 M ? ? 5 ? x? ?2 ?
15 . 已 知 直 线 l:x ? y ? 1 在 矩 阵 A ? ?

?m n ? ? 对应的变换作用下变为直线 ?0 1?

l ?:x ? y ? 1,求矩阵 A .
16.[选修 4—2:矩阵与变换]

?1 2? 已知矩阵 A ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值和特征向量. ? ?1 4 ?
?1? 17.已知二阶矩阵 M 有特征值 ? =3 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的 ?1?
变换将点(-1,2)变换成(9,15) ,求矩阵 M. 18. (选修 4—2:矩阵与变换)

? a 0? M?? ? ?2 1 ? 的 一 个 特 征 值 为 2 , 若 曲 线 C 在 矩 阵 M 变 换 下 的 方 程 为 设矩阵

x2 ? y 2 ? 1,求曲线 C 的方程.
19.已知矩阵 A=?

? 3 ? c

3? ?1? ?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α 1=? ?,属于 d? ?1?

特征值 1 的一个特征向 量为 α 2=?

? 3 ? ?.求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?-2?

20.选修 4?2:矩阵与变换
?1 b ? ?2? 已知矩阵 M= ? 有特征值 λ 1=4 及对应的一个特征向量 e1= ? ? . ? ?c 2? ?3?
试卷第 2 页,总 3 页

(1)求矩阵 M; 2 2 (2)求曲线 5x +8xy+4y =1 在 M 的作用下的新曲线的方程. 21.求直线 x+y=5 在矩阵 ?

?0 0 ? ? 对应的变换作用下得到的图形. ?1 1 ?

22.已知变换 T 是将平面内图形投影到直线 y=2x 上的变换,求它所对应的矩阵. 23.求点 A(2,0)在矩阵 ?

?1 0 ? ? 对应的变换作用下得到的点的坐标. ?0 ?2?

24.已知 N= ?

? 0 ?1? 2 ? ,计算 N . ?1 0 ? ?1 2 ? ?0 ?1? ,N= ? ? ?. ?3 4 ? ?1 3 ?

25.已知矩阵 M= ?

(1)求矩阵 MN; (2)若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q(0,1),求点 P 的坐标. 26.已知矩阵 A ? ?

? 2 0? ?1 ?1? ?1 , ,求矩阵 A B B ? ? ? ? ?2 5 ? ?0 1 ?

27.已知矩阵 A ? ?

? ?1 0 ? ?0 2? ?1 ,B ? ? ,求矩阵 A B . ? ? ?1 6 ? ?0 2?

28.求使等式 ?

? 2 4? ? 2 0? ??? ? M 成立的矩阵 M . ?3 5 ? ?0 1 ?
?2? a 2 ? 有一个属于特征值 1 的特征向量 ? ?? ? ? ? 1? ?. 1 b ? ? ? ?

29.已知矩阵 A= ? ? (Ⅰ) 求矩阵 A; (Ⅱ) 若矩阵 B= ? ?

1 ? 1? ,求直线 x ? y ? 1 ? 0 先在矩阵 A,再在矩阵 B 的对应变换作 ? ?0 1 ?

用下的像的方程.

? 1 3 ? ?? 4 4 ? ?1 30.已知矩阵 A 的逆矩阵 A ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1 ? 1? ? 2? ? 2 ?

试卷第 3 页,总 3 页

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参考答案 1.A 【来源】2012-2013 学年湖南省浏阳一中高一 6 月阶段性考试理科数学试题(带解析) 【解析】 试题分析:根据题意,由于根据新定义可知 ?

?a b ? ?e ? ?ae ? bf ? ??? ? ? ? ? ,那么由 ?c d ? ? f ? ?ce ? df ?

? ?? ?

?
2

,

? ?? ??

?sin ? cos ? ? ?cos ? ? ?sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?s in(? ? ? ) ? ? 0 ? ?cos ? sin ? ? ? ?sin ? ? ? ?cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ?cos(? ? ? ) ? = ? 0 ? ,故选 A. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
考点:矩阵的乘法 点评:此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用,属于基础题.考查 知识点比较多有一定的计算量 2.D 【来源】2012-2013 学年河北省邢台一中高二下学期第二次月考理科数学试题(带解析) 【解析】 试题分析: 按照所给法则直接进行运算,利用复数相等,可求得复数对应点所在象限.根据题意,由于

z 1 ? 2i ?0 1 ? 2i 1 ? i (1+2i)=0,∴z(1-i)=5 ,即可知 z(1-i)-(1-2i)
设 z=x+yi,∴z(1-i)=(x+yi) (1-i)=5, (x+y)+(y-x)i=5,x+y=5,y-x=0,那么可知 即 x=y=

5 >0 复数对应点在第一象限,故选 D. 2

考点:复数 点评:主要是考查了复数的基本概念和代数形式的混合运算,是高考常考点,也是创新题, 属于基础题。 3.A 【来源】2012-2013 学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题(带解析) 【解析】 试题分析:解:矩阵 M 的特征多项式 f(λ )= ?

? ? -1 0 ? (λ -1)0 所以(λ -1) ? 0 ? -1 ? ? =(λ -1) ? ?

(λ -1)=0,可知 λ -=1,故即为所求的特征值,因此选 A. 考点:矩阵的特征值 点评: 本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识, 考查运算求解能力及函数与方程 思想,属于基础题. 4.2 或 ?3 【来源】 【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:由题意得 |

x ?3

x2 9

| ?2? |

1 x2 1 9

| ?4? |

1 x |? 0 ,所以 x 2 ? x ? 6 ? 0 ,解得 1 ?3

答案第 1 页,总 11 页

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x ? 2 或 ?3 .
考点:三阶行列式的应用. 5.2 【来源】 【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷(带解析) 【解析】

?2 x ? ?2 ? x ? ?1 ? 2 0 ?? x ? ? ?2 ? 试题分析:因为 ? ,所以 解得 ,所以 x ? y ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? ?? x ? 3 y ? 10 ?y ? 3 ? ?1 3 ?? y ? ? 10 ?
考点:矩阵的含义. 6.2 【来源】 【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:由二元线性方程组的增广矩阵可得到 二元线性方程组的表达式 ?

?x ? y ? 2 解得 x=4,y=2,故答案为:2. ?0 ? y ? 2

考点:二元线性方程组的增广矩阵的含义. 7.3 或-1. 【来源】2013-2014 学年江苏省连云港高二下学期期末数学试卷(选修物理) (带解析) 【解析】

? ? 1 ?1 ?1 1? 试题分析:矩阵 ? 的特征多项式为 ? (? ? 1) 2 ? 4 .令 (? ? 1) 2 ? 4 ? 0 ,可 ? 4 1 ? ? 1 ? 4 ? ?
得 ? ? 3 或 ? ? ?1 .故应填 3 或-1. 考点:矩阵特征值的定义. 8.1 【来源】2013-2014 学年江苏省阜宁中学高二下学期期中考试理科数学试卷(带解析) 【解析】

?1 0 ? ? 2 ? ? a ? ?0 b ? ??1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 得 a ? 2, ?b ? 1, a ? b ? 1. 试题分析:由 ?
考点:矩阵运算 9. 33.6 ml 【来源】2013 届湖南省株洲市二中高三第五次月考文科数学试题(带解析) 【解析】 试题分析:根 据 公 式 x 1 = 小 +0.618 ( 大 - 小 ) =10+0.618 ( 110-10 ) =71.8 , x 2 = 小 + 大 -x 1 =10+110-71.8=48.2 , 此 时 差 点 将 区 间 分 成 两 部 分 , 一 部 分 是 [10 , 71.8] , 另 一 部 分 是 [71.8 , 110] 将 不 包 含 好 点 的 那 部 分 去 掉 得 存 优 部 分 为 [10 , 71.8] , 根 据 公 式 x 3 = 小 + 大 -x 2 =10+71.8-48.2=33.6 , 所 以 第 三 次 实 验 时 葡 萄 糖 的 加 入 量 为 33.6mL , ml 。 故答案为 33.6 考点:黄 金 分 割 法 --0.618 法 点评:简单题,熟 练 掌 握 黄 金 分 割 法 的 基 本 概 念 及 步 骤 是 解 答 的 关 键 。
答案第 2 页,总 11 页

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10.1 【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(上海卷带解析) 【解析】 试题分析:由已知 , ,

所以 x﹣2=0,x﹣y=1 所以 x=2,y=1. 考点:二阶行列式的定义 点评:本题考查了二阶行列式的展开式,考查了方程思想,是基础题 【答案】0 【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷带解析) 【解析】 x2 ? y 2 ? ?2xy ? x ? y ? 0 . 【考点定位】考查矩阵的运算,属容易题。 12. ?

?y ?x? ? ? n ? m?

【来源】2012-2013 学年江苏淮安市涟水县第一中学高一下学期期末考试数学题(带解析) 【解析】 试题分析:根据矩阵乘法法则得, ?

? x y ?? 0 ? 1? ? y ? x ? ?? ??? ? ? m n ??1 0 ? ? n ?m ? 。

考点:矩阵乘法法则。 点评:简单题,应用矩阵乘法法则直接计算,属于基础题。 13. ? ?

?1 2 ? ? ? ?1 3 ?

【来源】2012-2013 学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题(带解析) 【解析】 试题分析:设 A= ?

?a b ? ? a b ? ? 1 2 ? ?1 0 ? ?1 ? 2 ? ? ,则可知 ? ?? ? ? ,可知得到 A= ? ? ,同理可 ? = 0 1? ?c d ? ?c d ? ? ? 0 1? ?0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?1 1? 1 2? ? ,则可知(AB)-1 = ? ? ? 知 B= ? ? 1 3? ?1 0 ? ? ? ? ?
考点:矩阵的乘法,逆矩阵 点评:利用矩阵的乘法法则及逆矩阵的求解,即可得到答案.属于基础题。

?6 4 ? M2 ? ? ? ?5 14? 14.
【来源】2016 届江苏省泰州市高三第一次模拟考试理科数学试卷(带解析) 【解析】
答案第 3 页,总 11 页

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试题分析:由矩阵特征多项式得 ? ? ( x ? 1)? ? ( x ? 5) ? 0 一个解为 ?2 ,因此 x ? 3 ,再根
2

?6 4 ? M2 ? ? ? ?5 14? 据矩阵运算得

? ?1
5 ? 2 试题解析:解: ? ? ?2 代入 ? ?1 2 ? ? M ??5 ? 3? ?2 ? 矩阵

?2

??x

? ? 2 ? ( x ? 1)? ? ( x ? 5) ? 0
,得 x ? 3

?6 4 ? M2 ? ? ? ?5 14? ∴
考点:特征多项式
?1 2 ? A?? ? ?0 1 ? 15.

【来源】2016 届江苏省扬州市高三上学期期末调研考试数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:利用转移法求轨迹方程,再根据对应求相关参数:设直线 l : x ? y ? 1 上任意一

? x? ? mx ? ny ? ? ? ? y? ? y 点 M ( x, y ) 在矩阵 A 的变换作用下,变换为点 M ( x , y ) ,则有 ? ,因为 ? m ?1 ? x? ? y? ? 1 所以 (mx ? ny) ? y ? 1 与 l:x ? y ? 1重合,因此 ?n ? 1 ? 1.
试题解析:解:设直线 l : x ? y ? 1 上任意一点 M ( x, y ) 在矩阵 A 的变换作用下,变换为点

M ?( x?, y?) .

? x ' ? ? m n ? ? x ? ? mx ? ny ? ? x? ? mx ? ny ? ? y '? ? ? 0 1 ? ? y ? ? ? y ? ?? ? ? ? ,得 ? y? ? y 由? ? ?
? ? ? ? ? 又点 M ( x , y ) 在 l ? 上,所以 x ? y ? 1 ,即 (mx ? ny) ? y ? 1

? m ?1 ?m ? 1 ?1 2 ? ?A? ? ? ? ? n ? 1 ? 1,解得 ? n ? 2 , ?0 1 ? 依题意 ?
考点:矩阵变换

答案第 4 页,总 11 页

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16.属于特征值 ?1 ? 2 的一个特征向量

?1 ? ? ? 1

? 2? ? ? 属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量

?2 ? ? ? 1
??

?1?

【来源】2016 届江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末数学试卷(带解析) 【解析】

f ?? ? ?
试题分析:由特征多项式为

? ?1
1

?2 ? ? 2 ? 5? + 6 ? ?4

=0 解得两个特征值 ?1 ? 2 ,

?2 ? 3 .再代入得对应特征方程组,因此属于特征值 ?1 ? 2 的一个特征向量

?1 ? ? ? 1

? 2? ? ? ,属于

特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量

?2 ? ? ? 1

?1? ? ?.
f ?? ? ?

? ?1
1

试题解析:矩阵 A 的特征多项式为 由

?2 ? ? 2 ? 5? + 6 ? ?4



f ?? ? ? 0

,解得 ?1 ? 2 , ?2 ? 3 .

? x ? 2 y ? 0, ? x ? 2 y ? 0, 当 ?1 ? 2 时,特征方程组为 ?

故属于特征值 ?1 ? 2 的一个特征向量

?1 ? ? ? 1

? 2? ? ?;

?2 x ? 2 y ? 0, ? x ? y ? 0, 当 ?2 ? 3 时,特征方程组为 ?

故属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量 考点:特征值及特征向量

?2 ? ? ? 1

?1? ? ?.

? ?1 4 ? ? ?3 6 ? ? 17. ?
【来源】2016 届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷(带解析) 【解析】
? a b ? ?1? ? ? c d ? ?1? ? 3 ? ?? ? ? 试 题 分 析 : 列 方 程 组 ? ?1 ? ? 3 ? a b ? ? ?1? ? 9 ? ?1? ? ? 3 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , ? c d ? ? 2 ? ?15? 解 得

a? 1 ? , b ? 4 c, ? ?3 d , ? 6
?a + b ? 3, ?a b ? ? a b ? ?1? ?1? ?3? M ?? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c d ? ,则 ? c d ? ?1? ?1? ?3? ,故 ?c + d ? 3 . 试题解析:解:设

答案第 5 页,总 11 页

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??a + 2b ? 9, ? a b ? ? ?1? ? 9 ? ? ? c d ? ? 2 ? ? ?15? ? ? ? ? ? ? ,故 ??c + 2d ? 15 .
? ?1 4 ? ? ?3 6 ? ?. 联立以上两方程组解得 a ? ?1, b ? 4, c ? ?3, d ? 6 ,故 M = ?
考点:矩阵特征值及特征向量 18. 8x ? 4 xy ? y ? 1
2 2

【来源】2016 届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:实质利用转移法求轨迹方程:先确定矩阵 M ,由矩阵 M 有一个特征值为 2,得 矩阵 M 的特征多项式 f (? ) ? (? ? a)((? ? 1) 有一个解 2, 所以 a ? 2 . 再设曲线 C 在矩阵 M

? x ? ?2 0? ?x ? ?x? ? ? x? ? 2 x M? ? ? ? ? ? y? ? ? y?? ? y? ? 2 x ? y ? ? y 2 1 ( x , y ) ( x , y ) ? ? ? ?? ? ? ? 得 ? 变换下点 变换为点 ,由 ,代入
x?2 ? y?2 ? 1 得 8x2 ? 4 xy ? y 2 ? 1
试题解析:由题意,矩阵 M 的特征多项式 f (? ) ? (? ? a)((? ? 1) , 因矩阵 M 有一个特征值为 2, f (2) ? 0 ,所以 a ? 2 .

? x ? ? 2 0? ? x ? ? x? ? ? x? ? 2 x M? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? y 2 1 ? ? y ? ? y?? ,即 ? y? ? 2 x ? y , 所以 ? ? ?
代入方程 x ? y ? 1,得 (2 x) ? (2 x ? y) ? 1 ,即曲线 C 的方程为 8x ? 4 xy ? y ? 1.…
2 2 2 2 2 2

10 分 考点:矩阵特征值

19.A=?

? 3 ? 2

2 1 - ? ? 3? ? 3 2? . ?, A 的逆矩阵是 4? ? -1 1? ? 3 2?

【来源】 【百强校】2016 届江苏省扬州中学高三 12 月月考数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:由矩阵特征值的特征向量定义知? 解得关于 c, d 方程组,联立即可.

? 3 ? c

3? ?1?

?1? ? 3 ? ? ?=6? ?,? d? ?1? ?1? ? c

3? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ?=? ?, d? ?-2? ?-2?

?1? ? 3 试题解析:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α 1=? ?可得,? ?1? ? c
答案第 6 页,总 11 页

?1? ? ? ?=6? ?, d? ?1? ?1?

3? ?1?

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即 c+d=6; 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α 2=? 即 3c-2d=-2.
?c=2, ? 3 解得? 即 A=? d = 4 . ? ? 2

? 3 ? ? 3 ?,可得? ?-2? ? c

3? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ?=? ?, d? ?-2? ?-2?

2 1 - ? ? 3 2? 3? ? . ?, A 的逆矩阵是 4? ? -1 1? ? 3 2?

考点:矩阵的运算.
?1 2 ? 2 2 20. (1) ? ? (2)x +y =2. 3 2 ? ?

【来源】 【百强校】2016 届江苏省苏州中学高三上学期初考试数学试卷(带解析) 【解析】
?1 b ? ? 2 ? ? 8 ? 试题分析: (1)由特征值与对应特征向量关系得: ? ? ? ? = ? ? ,即 2+3b=8,2c+6 ?c 2 ? ? 3 ? ?12 ? ?1 2 ? =12,b=2,c=3,所以 M= ? (2)由转移法求轨迹得,先设曲线上任一点 P(x,y) ?. ?3 2 ?

在 M 作用下对应点 P′(x′,y′) ,则
y ? ? x? ? x? ? ? x? ? ?1 2 ? ? x ? ? 2 2 2 2 2 2 解之得 ? 代入 5x +8xy+4y =1 得 x′ +y′ =2, 即曲线 5x ? y ? ? = ?3 2 ? ? y ? , ? ? ? ? ? ? ? y ? 3x? ? y ? ? ? 4

+8xy+4y =1 在 M 的作用下的新曲线的方程是 x +y =2.
?1 b ? ? 2 ? ? 8 ? 试题解析:解: (1)由已知 ? ? ? ? = ? ? ,即 2+3b=8,2c+6=12,b=2,c=3, ?c 2 ? ? 3 ? ?12 ? ?1 2 ? 所以 M= ? (4 分) ?. ?3 2 ? ? x? ? ?1 2 ? ? x ? (2) 设曲线上任一点 P (x, y) , P 在 M 作用下对应点 P′ (x′, y′) , 则? ? =? ? ? ?, ? y ? ? ?3 2 ? ? y ?
y ? ? x? ? x? ? ? 2 2 2 2 2 解之得 ? 代入 5x +8xy+4y =1 得 x′ +y′ =2, ? ? 3 x ? y ?y ? ? ? 4

2

2

2

即曲线 5x +8xy+4y =1 在 M 的作用下的新曲线的方程是 x +y =2. (10 分) 考点:特征值,特征向量,矩阵变换 21.点(0,5) 【来源】2014 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修 4-2 第 1 课时练习卷(带解析)
答案第 7 页,总 11 页

2

2

2

2

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【解析】设点(x,y)是直线 x+y=5 上任意一点,在矩阵 ?

?0 0 ? ? 的作用下点变换成(x′, ?1 1 ?

y′), 则?

?0 0 ? ? x ? ? x ' ? ?x ' ? 0 =? ? , 所以 ? .因为点(x, y)在直线 x+y=5 上, 所以 y′ ? ? ? ? 1 1 ? ? y ? ? y '? ?y ' ? x ? y

=x+y=5,故得到的图形是点(0,5). 22. ?

?1 0 ? ? ? 2 0?

【来源】2014 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修 4-2 第 1 课时练习卷(带解析) 【解析】将平面内图形投影到直线 y=2x 上,即是将图形上任意一点(x,y)通过矩阵 M 作用 变换为(x,2x),则有 ?

? a 0? ? x ? ? x ? ?a=1, ?1 0 ? = ? ? ,解得 ? ∴T= ? ? ? ? ?. ?b 0? ? y ? ? 2 x ? ?b=2. ? 2 0?

23.A′(2,0) 【来源】2014 届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修 4-2 第 1 课时练习卷(带解析) 【解析】矩阵 ?

?1 0 ? ? 表示横坐标保持不变,纵坐标沿 y 轴负方向拉伸为原来的 2 倍的伸 ?0 ?2?

压变换,故点 A(2,0)变为点 A′(2,0) 24. ?

? ?1 0 ? ? ? 0 ?1? ? 0 ?1? ? 0 ?1? ? ?1 0 ? ?? ?=? ? ? 1 0 ? ? 1 0 ? ? 0 ?1? ?1 2 ? ?0 ?1? ? 2 5 ? 5 =? ; (2)P( , 1). ? ? ? ? 2 ?3 4 ? ?1 3 ? ? 4 9 ?

【来源】2014 年高考数学全程总复习课时提升作业七十五选修 4-2 第二节练习卷(带解析) 【解析】N = ?
2

25. (1)MN= ?

【来源】2014 届江苏南京金陵中学高三第一学期期中考试理科数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析: (1) 利用矩阵乘法公式计算即可; (2) 两种方法: 法一, 利用 ?

? 2 5? ? x ? ? 0 ? ? ? ?= ? ?, ?4 9? ? y ? ?1 ?

转化为关于 x, y 的二元一次方程,解出 x, y ,即点 P 的坐标;法二,求出 MN 的逆矩阵,直 接计算 x, y . 试题解析: (1)MN= ? (2)设 P(x,y),则 解法一:

?1 2 ? ?0 ?1? ? 2 5 ? ?? ?=? ?; ?3 4 ? ?1 3 ? ? 4 9 ?

5分

答案第 8 页,总 11 页

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? 2 5? ? x ? ? 0 ? ?2 x ? 5 y ? 0 ? 4 9 ? ? y ? = ? 1 ? ,即 ?4 x ? 9 y ? 1 ? ?? ? ? ? ?
5 ? 5 ?x ? 解得 ? 2 即 P( , 1). 2 ? ? y ? ?1
解法二:
?1 ? 9 ? ?2 5? 因为 ? =? 2 ? ? ?4 9? ? 2

10 分

5? ? 9 ? x ? ?? ? 2 .所以 ? ? = 2 ? ? y? ? 2 ?1? ?

5? ?5? ?0? ? ? ? 2 ? ?= 2 . ? 1 ? ? ?1? ? ? ? ?1?
10 分

即 P(

5 , 1). 2

考点:矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.

1? ?1 ? ? ? 26. 2 2 ? ? ?2 5 ?
【来源】2014 届江苏省苏州市高三暑假自主学习测试理科数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:先用待定系数法求出 A
?1

,再求出 A B . 1

?1

试题解析:设矩阵 A 的逆矩阵为 ? 分 即?

?a b ? ?2 0? ?a b ? ?1 0? ,则 ? ? ?? ??? ?, ?c d ? ?0 1 ? ?c d ? ? 0 1 ?

? 2a 2b ? ?1 0? ??? ?, ?c d ? ?0 1 ?

4分

?1 0? 1 ?1 ? 故 a ? , b ? 0, c ? 0, d ? 1 ,从而 A 的逆矩阵为 A ? 2 . ? 1? 2 ? ?0 1? ?1 ?1 0 ? ?1 ?1? ? ? ? ? 所以 A B ? 2 2 . ?2 5 ? ? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ?0 ?2 5 ?
?1

7分

10 分

考点:矩阵的乘法、逆矩阵. 27. ?

? ?1 ?2? ? ?0 3 ?

【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析)

答案第 9 页,总 11 页

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【解析】设矩阵 A 的逆矩阵为 ?

?a b ? ? ?1 0 ? ? a b ? ?1 0 ? ??a ?b ? ?1 ,则 ? ,即 ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?c d ? ?2c 2d ? ?0 ?0 2? ?c d ? ?0 1 ?

0? , 1? ?
? ?1 0 ? 1 ? ?1 ∴ a ? 1 , b ? 0 , c ? 0 , d ? ,从而, A 的逆矩阵为 A ? , 1? ? ? 2 ? ?0 2 ? ? ?1 0 ? ?1 2 ? ? ∴A B? ? 1? ? ?? 0 6? ? ? ? ?0 2 ?
?1

? ?1 ?2? ?0 3 ? . ? ?

【考点定位】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法,考查运算求解能力. 28. M ? ?

?1 2? ? ?3 5 ?

【来源】2012 届江苏省涟水中学高三上学期期中考试数学试题(带解析) 【解析】 试题分析:解:设 M ? ?

?m n ? ? 2 4? ? 2 0? ,则由 ? ? ??? ?M ? p q? ?3 5 ? ?0 1 ?
(5 分)

? 2m 2n ? ?? q? ? p ?

? 2m ? 2 ?m ? 1 ? 2n ? 4 ?n ? 2 ?1 2? ? ? 则? ,即 M ? ? ?? ?. 3 5 p ? 3 p ? 3 ? ? ? ? ? ? ?q ? 5 ?q ? 5

(10 分)

考点:矩阵 点评:主要是考查了矩阵的求解的运用,属于基础题。 29. (1)A= ? ?

2 2? ? .(2) x ? y ? 2 ? 0 ?1 3?

【来源】2013 届福建省福建师大附中高三 5 月高考三轮模拟理科数学试卷(带解析) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由已知得 ? ?

?2 a ? 2 ? 2 , ? a 2?? 2 ? ?2? ,所以 ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ?2 ? b ? ?1, ? 1 b ? ? ? 1? ? ? 1?

2分

解得 ?

?a ? 2 , 2 2? 故 A= ? ?1 3? . ? ? ?b ? 3,

……………………………………………………3 分

答案第 10 页,总 11 页

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(Ⅱ) BA= ? ?

1 ? 1? ? 2 2 ? ?1 ?1? ?? ?=? ? ,因为矩阵 BA 所对应的线性变换将直线变成直线(或 ? 0 1 ? ? 1 3 ? ?1 3 ?
4分

点) ,所以可取直线 x ? y ? 1 ? 0 上的两点(0,1) , (-1,2) ,

?1 ?1?? 0 ? ? 1 ? ?1 ?1?? 0 ? ? ?1? (0,1) , (-1,2)在矩阵 A 所对应的线 ? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? ,由得: ?1 3 ?? 1 ? ? ?3 ? ?1 3 ?? 1 ? ? ?1?
性变换下的像是点(1,-3) , (-1,-1) 6 分 从而直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 BA 所对应的线性变换下的像的方程为 x ? y ? 2 ? 0 . 7 分 考点:矩阵的概念和变换 点评:主要是考查了矩阵的计算以及变换的运用,属于基础题。

?? ? 2 ? 3 ? 2 30. (1) f ? ? ? = ? =? ? 3? ? 4 . ? ?1 ? ? ?2 ?
令 f ? ? ? =0 ,解得矩阵 A 的特征值 ?1 = ? 1 ,?2 =4 . 【来源】2013 届福建省高三高考压轴理科数学试题(带解析) 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 解 :∵

A?1 A = E

,∴

A = ? A ?1 ?

?1

.

? 1 3 ? ?? 4 4 ? ?1 ? 2 3? ?1 ∵A ?? ? ,∴ A = ? A?1 ? ? ? ?. ?2 1 ? ? 1 ? 1? ? 2? ? 2 ?
?? ? 2 ? 3 ? 2 ∴矩阵 A 的特征多项式为 f ? ? ? = ? =? ? 3? ? 4 . ? ?1 ? ? ?2 ?
令 f ? ? ? =0 ,解得矩阵 A 的特征值 ?1 = ? 1 ,?2 =4 . 考点:本题主要考查矩阵、逆矩阵、矩阵特征值的概念。 点评:简单题,作为选考内容,难度不大,关键是掌握基本的概念及计算方法。

答案第 11 页,总 11 页


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