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陕西省西安市第七十中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题


考试时间:
1. 在 (1 ? x) A.8
n

2015—2016 学年第二学期期末考试高二理科数学试卷 120 分钟 总分: 150 分 班级: 姓名:
(n∈N )的二项展开式中,若只有 x 的系数最大,则 n=( B.9 C.10
2
*

一.选择 题(本大题共 12题,每题 5

分,共60分)
5

)

D.11 ) D.3

2. (1 ? x )3 (1 ? x)4 的展开式中 x 的系数是 ( A.-6 B.-3 C.0

3. 登山族为了了解某山高 y(km)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了 4 次山高与相应的气温,并制作了 对照表: 气温 x(℃) 山高 y(km)
∧ ∧

18 24


13 34

10 38

-1

[来源:学*

科*网 Z*X*X*K]

64

由表中数据,得到的线性回归方程 y =-2x+ a ( a ∈R),由此估计出山高为 72(km)处的气温为( ) A.-10 ℃ 4.极坐标系中,点 B. -8 ℃ C.-6 ℃ 之间的距离是( ) D.-4 ℃

]

A.

B.

C.

D. )

5.若直线 l 的参数方程为 ? A. ?

? x ? 1 ? 3t ( t 为参数) ,则直线 l 倾斜角的余弦值为( ? y ? 2 ? 4t
3 5
C.

4 5

B. ?

3 5

D.

4 5

6. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概 率为( ) 1 A. 8
7 7 8

3 B. 8
*

5 C. 8 )

7 D. 8

7. 已知 Cn?1 - Cn = Cn (n∈N ),则 n 等于( A.14 B.12 C.13

D.15

8. 高三(三)班学生要安排毕业晚会的 3 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求两 个舞蹈节目不连排,3 个音乐节目恰有两个节目连排,则不同排法的种数是( A.240 B.188 C.432 D.288 )

9. 某射手射击所得环数ξ 的分布列如下: ξ 7 8 9 10

P

x

0.1 ).

0.3

y

已知ξ 的数学期望 E(ξ )=8.9,则 y 的值为( A.0.2 B.0 .4 C.0.6

D.0.8

10. 某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为 6 0 分.甲、乙、丙三名考生独立参加测试,他们能达 到合格的概率分别是 0.9,0.8,0.75,则三人中至少有一人达标的概率 为( A.0.015 B.0.005 C.0.985 D.0.995 ).

11. 位于西部地区的 A,B 两地,据多年来的资料记载:A,B 两地一年中下雨天仅占 6%和 8%,而同时下雨 的比例为 2%,则 A 地为雨天 B 地也为雨天的概率是( 1 A. 7 1 B. 4 C. 1 3 D. 3 4 )

12. 已知随机变量ξ ,η 满足ξ +η =8,且ξ 服从二项分布ξ ~B(10,0.6),则 E(η )和 D(η )的值分别是 ( ). A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6

二.填空题(本大题共4题,每题 5 分,共20分) 13.在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲

线 C1 : ?

? x ? 3 ? cos? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1上,则 AB 的最小值为_______ . ? y ? 4 ? sin ?
? 4 2 ,则曲线 C1 上的点

Z#X#X

14.在极坐标系中,极点为 O ,曲线 C1 : ? ? 6sin ? 与曲线 C2 : ? sin(? ? ) ?

到曲线 C2 的最大距离为



15 . 某班有 50 名学生, 一次考试后数学成绩 ξ(ξ∈N)服从正态分布 N(100,102), 已知 P(90≤ξ≤100)=0.3, 估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为________. 16 .已知实数 x, y 满足 三.解答题(本大题共6题,共70分)

,则

的最小值是________.

17. (本题满分 12 分)
已知 ( 1+m x )n (m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为 256 ,展开式中含 x 项的系数为 112. (1)求 m,n 的值; (2)求展开式中奇数项的二项式系数之和;
n (3)求 ( 1+m x )( 1-x) 的展开式中含 x 项的系数.
2

18. (本题满分 10分)

已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立

平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数) . ? y ? t sin ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线的倾斜角 ? 的值.
19. (本题满分 10分)

在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin(? ?

?
4

) .现以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的非负

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) . 3 ? y ? ?3 ? t ? 2 ?
(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

(2)设直线 l 和曲线 C 交于 A, B 两点,定点 P (?2,?3) ,求 PA ? PB 的值.

20. (本题满分 12 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数据:

x

2

[来源:Zxxk.Com]

4 40

5 60

6 50

8 70

y

30

(1) 求回归直线方程; (2)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大? (3)在已有的五组数据中任意抽取两组,求至少有一组数据其预测值与实际值之差的 绝对值不超过 5 的概率。
2 (参考数据: ? xi ? 145 i ?1 5

? yi2 ? 13500
i ?1

5

?x y
i ?1 i

5

i

? 1380 ,

参考公式:回归直线方程 y ? a ? b x ,其中 b ?

^

^

^

^

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1



2

i

21. (本题满分 13 分) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5,购买乙种商品的概率为 0.6,且购买甲种商品与购 买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2)记ξ 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ 的分布列及期望.

22. (本题满分 13 分) 某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、 复赛,甲、乙两个代表队(每队 3 人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得 10 分,答错得 3 4 3 2 0 分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , ,且各人回答正确与否相 4 5 4 3 互之间没有影响,用 ξ 表示乙队的总得分. (1)求 ξ 的分布列和数学期望; (2)求甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率.

高二理科数学答案 一.⒈C ⒉A ⒊C ⒋C ⒌B ⒍D ⒎A ⒏D ⒐B ⒑D ⒒C ⒓B 二.13. 3 14. 3 ? 三.17.

2 2

15. 10

16.

5? 5

(1)由题意可得 2n=256,解得 n=8. r r r ∴通项 Tr+1=C8m x , 2 ∴含 x 项的系数为 C8m =112, 解得 m=2,或 m=-2(舍去). 故 m,n 的值分别为 2,8. (2)展开式中奇数项的二项式系数之和为 C8+C8+C8+C8=2 (3)(1+2 x) (1-x)=(1+2 x) -x(1+2 x) , 所以含 x 的系数为 C82 -C82 =1008.
2 4 4 2 2 8 8 8
[来源:学科网 ZXXK]

2 2

1

3

5

7

8-1

=128.

18. (1)由 ? ? 4 cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? .

∵ x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,即 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 ;
2

(2)将 ?

? x ? 1 ? t cos ? , 2 2 代入圆的方程得 ? t cos ? ? 1? ? ? t sin ? ? ? 4 , ? y ? t sin ?

化简得 t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 . 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ? ∴ AB ? t1 ? t2 ?

?t1 ? t2 ? 2cos ? , ?t1t2 ? ?3.

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 4cos2 ? ? 12 ? 14 .

∴ 4cos 2 ? ? 2 , cos ? ? ?

2 , 2

[来源:学科网]

??

?
4



3? . 4

[来源:学*科*网]

19. (1) ? ? 4 2 sin(? ?

?
4

) ? 4 sin ? ? 4 cos ? ,所以 ? 2 ? 4? sin ? ? 4? cos? .

所以 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 0 ,即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 . 直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 2 3 ? 3 ? 0 . (2)把 l 的参数方程代入 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 0 得: t 2 ? (4 ? 5 3)t ? 33 ? 0 .

设 A, B 对应参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1t2 ? 33,点 P(?2,?3) 显然在 l 上, 由直线 l 参数 t 的几何意义 知 | PA || PB |?| t1t2 |? 33 .

20. (Ⅰ)解: x ?
5

30+40+60+50+70 250 2+4+5+6+8 25 = ? 50 = ? 5, y ? 5 5 5 5
5

[来源:Zxxk.Com]

2 又已知 ? xi ? 145 , ? xi yi ? 1380 i ?1 i ?1

?? 于是可得: b

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

2 i

? 5x

2

?

1380 ? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 , 145 ? 5 ? 5 ? 5

? ? y ? bx ? ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 a
因此,所求回归直线方程为: y ? 6.5x ?17.5

?

??5 分

(Ⅱ)解: 根据上面求 得的回归直线方程,当广告费支出为 10 万元时,

? (万元 ) 即这种产品的销售收入大约为 82. 5 万元. (8 分) y ? 6 . 5? 1 0 ? 17.5=8 2.5
(Ⅲ)解:

x

2 30 30.5

4 40 43.5

5 60 50

6 50 56.5

8 70 69.5

y
? y

[来源:学科网 ZXXK]

基本事件: (30,40) , (30,60) , (30,50) , (30,70) , (40,60) , (40,50) , (40,70) , (60,50) , (60,70) , (50,70)共 10 个 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过 5: (60,50) 所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率为 1 ?

1 9 ? 10 10

21. 解:(1)由题可得,至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为 p=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8. (2)ξ 可能的取值有 0,1,2,3, p(ξ =0)= p(ξ =1)= p(ξ =2)=

?30 (1-0.8)3=0.0 08, ?31 (1-0.8)20.8=0.096, ?32 (1-0.8)10.82=0.384 ,

p(ξ =3)=

?33 0.83=0.512.

故ξ 的分布列为 ξ p 0 0.008 96 4 2 1 0.0 2 0.38 3 0.51

ξ 的数学期望 E(ξ )=3×0.8=2.4. 22. 解 (1)由题意知,ξ 的所有可能取值为 0,10,20,30. 1 1 1 1 P(ξ=0)= × × = , 5 4 3 60 4 1 1 1 3 1 1 1 2 9 3 P(ξ=10)= × × + × × + × × = = , 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60 20

4 3 1 4 1 2 1 3 2 26 13 4 3 2 24 2 P(ξ=20)= × × + × × + × × = = ,P(ξ=30)= × × = = . 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60 30 5 4 3 60 5

ξ 的分布列为: ξ P 0 1 60 10 3 20 20 13 30 30 2 5

1 3 13 2 133 ∴E(ξ )=0× +10× +20× +30× = . 60 20 30 5 6 (2)用 A 表示“甲得 30 分乙得 0 分”,用 B 表示“甲得 20 分乙得 10 分”,且 A,B 互斥. 1 9 81 ?3? ?3? 1 3 又 P(A)= ? ? × = ,P(B)=C2 = , 3? ? × × 60 1 280 4 20 1 280 4 4
3 2

? ?

? ?

甲、乙两人得分总和为 30 分且甲获胜的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)= 90 9 = . 1 280 128


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