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1.5(2)充分条件,必要条件(充要条件)


1.5(2)充分条件,必要条件(充要条件) 充分条件,必要条件(充要条件)

一、教学目标设计 理解充要条件的意义,能在简单的问题情境中判断条件的充分必要 性; 掌握判断命题的条件的充要性的方法; 在充要条件的学习过程中, 形成等价转化思想。 二、教学重点与难点 理解充要条件意义及给定两个命题之间的等价(充要)关系的判断既 是本节重点,也是本节难点。 三、教学流程设计
复习引入

概 念 解释

充要条件 (概念形成)

例题 解析

巩固练习

课堂小结并布置作业

四、教学过程设计

一、复习引入
问:一个命题条件的充分性和必要性可分为四类,有哪四类? 答:充分不必要条件;必要不充分条件;既充分又必要条件;既 不充分也不必要条件。

练习: 判断下列各命题条件的充分性和必要性 。 (1)若 x>0 则 x2>0(充分不必要条件) (2)若两个角相等,则两个角是对顶角。 (必要不充分条件) 。(3)若三 角形的三条边相等,则三角形的三个角相等。(充分必要条件) (4)若 x 是 4 的倍数,则 x 是 6 的倍数(既不充分又不必要条件) (5)若 a,b 为实数, a = b ,则 a 2 = b 2 。(充分必要条件)

二、概念形成
1、结合问题进行说明:命题(3)中:因为三角形的三条边相等?三 角形的三个角相等,所以“三角形的三条边相等”是“三角形的三个 角相等”的充分条件;又因为三角形的三个角相等?三角形的三条边 相等,所以“三角形的三条边相等”又是“三角形的三个角相等”的 必要条件。因此“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等” 既充分又必要的条件。 2、充要条件定义 一般地,如果既有α?β,又有β?α,就记作:α?β( “?”叫 做等价符号) ,那么α既是β的充分条件,又是β的必要条件,我们 称为α是β的充分而且必要条件,简称充要条件。 [说明] ①可以解释为α?β,α与β互为充要条件。②可以进 说明] 说明 一步解释为: 有它必行, 无它必不行。 ③可以结合实例解释为: 如|x| = |y|与x = y 互为充要条件,即若|x|=|y|,则一定有 x = y ;若 |x|≠|y|,则一定有x ≠ y 。
2 2 2 2 2 2

三、概念运用与深化(例题解析) 概念运用与深化(例题解析)

例 1: 指出下列各组命题中,α是β的什么条件(在“充分而不必 要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条 、 、 、 件”中选出一种)?(补充例题) (1)α:(x-2)(x-3)=0;β:x-2=0. (2)α:同位角相等;β:两直线平行。 (3)α:x=3; β:x2=9。 (4)α:四边形的对角线相等;β:四边形是平形四边形。 解: (1)因 x-2=0 ?(x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0?x-2=0. 所以α是β的必要而不充分条件。 (2)因同位角相等?两直线平行,所以α是β的充要条件。 (3)因 x=3?x2=9,而 x2=9?x=3,所以α是β的充分而不必要条件。 (4) 因四边形的对角线相等?四边形是平行四边形, 又四边形是平四 边形?四边形的对角线相等。所以α是β的既不充分也不必要条件。 [说明]①可组织学生通过讨论解答各题。 说明] ②等价关系与推出关系一样 说明 具有可传递性,充要条件间的关系即等价关系,可通过多次等价关系 传递性得证,这也是证明充要条件问题的一种基本方法。
2 2 例 2:已知实系数一元二次方程 ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )“ b ? 4ac = 0 ” , 2 是“方程 ax + bx + c = 0 有两个相等的实数根”的什么条件?为什么?

(课本例题 P21 例 5)
2 解:方程 ax + bx + c = 0 变形为 ( x +

b 2 b 2 ? 4ac ) = . 2a 4a

∵ b 2 ? 4ac = 0

∴ x1 = x 2 = ?

b 2a

2 2 ∴“ b ? 4ac = 0 ”是“方程 ax + bx + c = 0 有两个相等的实数根”的充

分条件。
2 反过来,方程 ax + bx + c = 0 有两个相等的实数根 x1 = x2 ,那么根据方

b ? ? x1 + x 2 = 2 x1 = ? 2a 程根与系数关系得 ? c ? x1 ? x 2 = x1 2 = a ?
2 ∴ b ? 4ac = 0 2 2 ∴“ b ? 4ac = 0 ”是“方程 ax + bx + c = 0 有两个相等的实数根”的必

要条件。 综上所述“ b 2 ? 4ac = 0 ”是“方程 ax 2 + bx + c = 0 有两个相等的实数根” 的充要条件。 [说明]充分性证明:条件?结论;必要性证明:结论?条件。 说明] 说明

四、巩固练习
课本 P/22——练习 1.5(2)1,2 补充练习 1、判断下列各命题条件是否是充要条件: 判断下列各命题条件是否是充要条件: (1)x 是 6 的倍数,则 x 是 2 的倍数。 (充分不必要条件) (2)x 是 2 的倍数,则 x 是 6 的倍数。 (必要不充分条件) (3)x 既是 2 的倍数也是 3 的倍数,则 x 是 6 的倍数。(充要条件) (4)x 是 4 的倍数,则 x 是 6 的倍数。 (既不充分又不必要条件) 2、完成下列表格
α ab≠0 (x+1)(y-2)=0 方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有 两个不相等实根 x=1 或 x=-3 β a≠0 x=-1 或 y=2 △=b2-4ac>0 x2+2x-3=0 α是β的什么条件 β

a -b =0 m 是 4 的倍数

2

2

a=0 m 是 2 的倍数

五、课堂小结
内容小结 本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法,即如果α?β,又有 β?α,则α是β的充要条件。 方法小结 如何判断充要条件 判别步骤: ① 认清条件和结论。 ② 考察 p?p 和 p?p 的真假。 判别技巧: ① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

六、课后作业
1、书面作业:习题 1.5 ----4,5,6,7,8,9 2、完成下列表格 α n 是自然数 x>5 m、n 是奇数 a>b β n 是整数 x>3 m +n 是偶数 a2>b2 α是β的什么条件

3、思考题:设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M 或 x∈P”是“x ∈M∩P”的什么条件?(“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的必要 不充分条件) 七、设计说明 1.在理解充要条件意义时,应明确若α是β的充要条件,则β也 是α的充要条件。 2. 由于“充要条件”与“原命题、 逆命题、 否命题、 逆否命题” 紧密相关。 而学生在这之前已经学习了原命题与逆否命题、 否命题与 逆命题是等价的。为此,在实际教学中,可通过等价命题进行判断。 3.回答α是β的什么条件时, 应从α是β的充分但不必要条件, 必要但不充分条件,充要条件, 即不充分又不必要条件 4 个方面进行 明确叙述。 4.由于这节课概念性、理论性较强。一般的教学使学生感到枯 燥无味。为此,激发学生的学习兴趣是关键。把课堂由老师当演员转 为学生当演员,以学生为主,让学生自己构造数学题,自我感知数字 美,从而培养学生的数学能力。



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