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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第6章 第2节 等差数列


第六章

第二节

一、选择题 1.(文)(2014· 吉林九校联合体二模)在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7,则 a5=( A.11 C .7 [答案] B
?a1+a1+4d=8 ?a1=-2 ? ? [解析] 设公差为 d,则? ,解得? ,∴a5=a1+4d=-2+12=10. ?a1+3d=7 ?d=3 ?

?

)

B.10 D.3

(理)(2014· 云南玉溪一中月考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=5,S11=22,则 数列{an}的公差 d 为( A.-1 1 C. 3 [答案] A a6-a3 [解析] 由 S11=11a6=22,可知 a6=2,所以 d= =-1,故选 A. 6-3 2.(文)(2014· 沈阳一模)已知数列{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4, a4)的直线的斜率是( A.4 C.-4 [答案] A [解析] ∵{an}是等差数列,a4=15,S5=55, ∴a1+a5=22,∴2a3=22,∴a3=11. ∴kPQ= a4-a3 =4,故选 A. 4-3 ) 1 B. 4 D.-143 ) 1 B.- 3 D.1

→ (理)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 M、N、P 三点共线,O 为坐标原点,且ON= → → a15OM+a6OP(直线 MP 不过点 O),则 S20 等于( A.10 C.20 [答案] A 20?a1+a20? [解析] 依题意, 得 a15+a6=1.由等差数列性质知 a15+a6=a1+a20, 所以 S20= 2
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) B.15 D.40

=10(a15+a6)=10,选 A. 3.(文)(2013· 昆明重点高中检测)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a4+a5=12, 则 S7 的值为( A.28 C.56 [答案] A [解析] ∵a3+a4+a5=3a4=12, ∴a4=4, ∴S7=7a4=28,故选 A. (理)(2013· 天津新华中学月考)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则 S10 等于( A.18 C.60 [答案] C 8?a1+a8? [解析] 因为 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,所以 a3a7=a2 =32,所以 a1+ 4,又 S8= 2 10×9 a8=8,解得 a1=-3,d=2,所以 S10=10a1+ d=-3×10+90=60,选 C. 2 4.(2015· 北京师大二附中期中)在数列{an}中,若 a1=2,且对任意的正整数 n 都有 a2n= a2 n,则 a8 的值为( A.256 C.64 [答案] A
2 2 [解析] 由条件知 a2=a2 1,a4=a2,a8=a4, 8 ∴a8=a8 1=2 =256.

) B.42 D.14

) B.24 D.90

) B.128 D.32

5.(文)(2014· 安徽淮北模拟)若等差数列{an}的公差 d<0,且 a1+a11=0,则数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n 是( ( A.5 C .5 或 6 [答案] C [解析] ∵a1+a11=0,∴a1+a1+10d=0,即 a1=-5d. ∴an=a1+(n-1)d=(n-6)d. 由 an≥0 得(n-6)d≥0. ∵d<0,∴n≤6.
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)

) B.6 D.6 或 7

即 a5>0,a6=0,所以前 5 项或前 6 项的和最大. (理)(2014· 江西六校联考)等差数列{an}中,a1>0,d≠0,S3=S11,则 Sn 中的最大值是( A.S7 C.S14 [答案] A 2 [解析] 由 S3=S11 得 3a1+3d=11a1+55d, d=- a1, 该数列是一个递减的等差数列. 要 13 2 15 求 Sn 中的最大值,必须保证每项都为正值.∵an=a1+(n-1)d=a1- (n-1)a1≥0,∴n≤ , 13 2 n∈N*,则 n 的最大值为 7,所以 Sn 中的最大值是 S7. [点评] (1)在讨论等差数列{an}的前 n 项和 Sn 的最值时,不要忽视 n 是整数的条件及含 0 项的情形. (2)如果 p+q=2r(p、q、r∈N*),则 ap+aq=2ar,而不是 ap+aq=a2r. S5 1 S10 6.(文)设 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,已知 = ,那么 等于( S10 3 S20 1 A. 9 1 C. 8 [答案] B [解析] 设其公差为 d, 1 5a1+ ×5×4d 2 a1+2d 1 S5 ∵ = = = , S10 1 2a1+9d 3 10a1+ ×10×9d 2 ∴a1=3d. 1 10a1+ ×10×9d 2 S10 3 ∴ = = . S20 1 10 20a1+ ×20×19d 2 (理)设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若 对任意 n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,则 k 的值为( A.22 C.20 [答案] C [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,则有 3d=93-99=-6,∴d=-2;∴a1+(a1+3d) +(a1+6d)=3a1+9d=3a1-18=99,∴a1=39,∴an=a1+(n-1)d=39-2(n-1)=41-2n.令 an=41-2n>0 得 n<20.5,即在数列{an}中,前 20 项均为正,自第 21 项起以后各项均为负, ) B.21 D.19 B. 3 10 ) B.S7 或 S8 D.S8 )

1 D. 3

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因此在其前 n 项和中,S20 最大.依题意得知,满足题意的 k 值是 20,选 C. 二、填空题 7.(2014· 江苏连云港调研)在数列{an}中,已知 a1=2,a2=3,当 n≥2 时,an+1 是 an· an-1 的个位数,则 a2014=________. [答案] 8 [解析] 数列{an}的前几项依次是 2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8,?,去掉前两项,构成一个周期为 6 的数列,2014=2+335×6+2,∴a2014=a4=8. π π? 8.已知函数 f(x)=sinx+tanx.项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈? ?-2,2?,且公差 d≠0. 若 f(a1)+f(a2)+?+f(a27)=0,则当 k=________时,f(ak)=0. [答案] 14 [解析] ∵f(x)=sinx+tanx 为奇函数,且在 x=0 处有定义,∴f(0)=0. ∵{an}为等差数列且 d≠0, ∴an(1≤n≤27,n∈N*)对称分布在原点及原点两侧, ∵f(a1)+f(a2)+?+f(a27)=0,∴f(a14)=0.∴k=14. 9.(文)将正偶数按下表排成 5 列: 第1列 第1行 第2行 第3行 ?? 16 第2列 第3列 2 14 18 ?? 第4列 4 12 20 28 第5列 6 10 22 26 24 8

那么 2014 应该在第________行第______列. [答案] 252 2 [解析] 通项 an=2n,故 2014 为第 1007 项,∵1007=4×251+3, 又 251 为奇数,因此 2014 应排在第 252 行,且第 252 行从右向左排第 3 个数,即 252 行 第 2 列. (理)已知 an=n 的各项排列成如图的三角形状: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ?????????? 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(31,12)=________. [答案] 912 [解析] 由题意知第 1 行有 1 个数,第 2 行有 3 个数,??第 n 行有 2n-1 个数,故前 n

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n[1+?2n-1?] 2 行有 Sn= =n 个数,因此前 30 行共有 S30=900 个数,故第 31 行的第一个数为 2 901,第 12 个数为 912, 即 A(31,12)=912. 三、解答题 10.(2014· 江西重点中学联考)已知数列{an}中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*). (1)写出 a2,a3 的值(只写结果),并求出数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (2)设 bn= + + +?+ ,若对任意的正整数 n,当 m∈[-1,1]时,不等式 t2 a2n an+1 an+2 an+3 1 -2mt+ >bn(n∈N*)恒成立,求实数 t 的取值范围. 6 [解析] (1)a2=6,a3=12. 当 n≥2 时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),?,a3-a2=2×3,a2-a1=2×2,由累 加法可知 an-a1=(n+2)(n-1),∴an=n(n+1),经验证,当 n=1 时,a1=2=1×2 也成立, 则数列{an}的通项公式为 an=n(n+1),n∈N*. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) ∵ = = - ,∴ bn = + +? + = ( - )+( - ) an n?n+1? n n+1 a2n n+1 n+2 an+1 an+2 n+2 n+3 1 1 1 1 n 1 +?+( - )= - = = . 2n 2n+1 n+1 2n+1 2n2+3n+1 1 ?2n+ ?+3 n 1 1 令 cn=2n+ ,则{cn}为递增数列,∴(bn)max=b1= . n 6 1 1 1 当 m∈[-1,1]时,不等式 t2-2mt+ >bn(n∈N*)恒成立,即 t2-2mt+ > 对 m∈[-1,1]恒 6 6 6 成立,
?t2-2t>0, ? ∴? 2 解得 t∈(-∞,-2)∪(2,+∞). ? ?t +2t>0,

一、选择题 11.(文)设{an}是递减的等差数列,前三项的和是 15,前三项的积是 105,当该数列的前 n 项和最大时,n 等于( A.4 C .6 [答案] A [解析] ∵{an}是等差数列,且 a1+a2+a3=15,∴a2=5, 又∵a1· a2· a3=105, ) B.5 D.7

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? ?a1a3=21, ∴a1a3=21,由? 及{an}递减可求得 a1=7,d=-2,∴an=9-2n,由 an≥0 ?a1+a3=10. ?

得 n≤4,∴选 A. 1 (理)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列{ }的前 100 项和为 anan+1 ( ) 100 A. 101 99 C. 100 [答案] A [解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的运用,以及裂项求和的综 合应用. ∵a5=5,S5=15, ∴ 5?a1+a5? =15,即 a1=1. 2 99 B. 101 101 D. 100

a5-a1 ∴d= =1,∴an=n. 5-1 ∴ 1 1 1 1 = = - . anan+1 n?n+1? n n+1

1 1 1 1 1 1 1 100 则数列{ }的前 100 项的和为: T100=(1- )+( - )+?+( - )=1- = . 2 2 3 100 101 101 101 anan+1 故选 A. [点评] 本题亦可利用等差数列的性质,由 S5=15 得 5a3=15,即 a3=3,再进一步求解. 12.(2014· 哈三中二模)已知正项等差数列{an},若存在常数 t,使得 a2n=tan 对一切 n∈N* 成立,则 t 的集合是( A.{1} C.{2} [答案] B [解析] ∵a2n=tan,∴a2=ta1,∴d=a1(t-1),又 a4=ta2,∴2d=a2(t-1),若 t=1,则 d a2 =0,若 t≠1,则 =2,∴t=2,故选 B. a1 13.(2013· 浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中,首项 a1=1 且前 n 项和 Sn 满足 Sn Sn-1-Sn-1 Sn=2 SnSn-1(n∈N*且 n≥2),则 a81=( A.641 C.639 B.640 D.638 ) ) B.{1,2} 1 D.{ ,2} 2

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[答案] B [解析] 由已知 Sn Sn-1-Sn-1 Sn=2 SnSn-1可得, Sn- Sn-1=2,所以{ Sn}是以 1 为 首项,2 为公差的等差数列,故 Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,所以 a81=S81-S80=1612-1592= 640,故选 B. 14.(2014· 黑龙江七台河中学第三次月考)在等差数列{an}中,am=n,an=m,则 am+n 的 值为( ) 1 B. (m+n) 2 D.0

A.m+n 1 C. (m-n) 2 [答案] D

[解析] ∵am-an=(m-n)d=n-m,∴d=-1, ∴am+n=am+nd=n-n=0. 二、填空题 15.(2014· 河北冀州模拟)在等差数列{an}中,an>0,且 a1+a2+?+a10=30,则 a5· a6 的 最大值等于________. [答案] 9 30 [解析] 由 a1+a2+?+a10=30,得 a5+a6= =6, 5 a5+a6 2 6 2 又∵an>0,∴a5· a6≤( ) =( ) =9. 2 2 16.(文)(2013· 南京模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若(a2-1)3+2012(a2-1)=1, (a2011-1)3+2012· (a2011-1)=-1,则下列四个命题中真命题的序号为________. ①S2011=2011;②S2012=2012;③a2011<a2;④S2011<S2. [答案] ②③ [解析] 设 f(x)=x3+2012x,则 f(x)为奇函数,f ′(x)=3x2+2012>0,∴f(x)单调递增.由 f(1)=2013>1 知 f(1)>f(a2-1),∴1>a2-1,∴a2<2. 又 f(a2 - 1) =- f(a2011 - 1) = f(1 - a2011) ,∴ a2 - 1 = 1 - a2011 ,∴ a2 + a2011 = 2 ,∴ S2012 = a1+a2012 ×2012=2012,故②正确; 2 又 f(a2-1)>f(a2011-1),∴a2-1>a2011-1, ∴a2011<a2,∴③正确; S2011=S2012-a2012=2012-(a2011+d)=2012-(2-a2+d)=2010+a1>a1+a2=S2,∴④错 误; 假设 S2011=2011,则 2010+a1=2011,∴a1=1,

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∵S2011=

2011×?a1+a2011? 2011×?1+a2011? = =2011,∴a2011=1,这与{an}是等差数列矛 2 2

盾,∴①错. 综上,正确的为②③. ( 理 )(2013· 黄山期末 ) 对于正项数列 {an} ,定义 Hn= 阴”值,现知某数列的“光阴”值为 Hn= 2n+1 [答案] an= 2n n [解析] 由 Hn= 可得, a1+2a2+3a3+?+nan n n?n+2? a1+2a2+3a3+?+nan= = ,① Hn 2 a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1 = ?n-1??n+1? ,② 2 n 为 {an} 的“光 a1+2a2+3a3+?+nan

2 ,则数列{an}的通项公式为________. n+2

n?n+2? ?n-1??n+1? 2n+1 2n+1 ①-②得 nan= - = ,所以 an= . 2 2 2 2n 三、解答题 17.(文)(2014· 河北衡水月考)已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn =a2 n+n-4. (1)求证{an}为等差数列; (2)求{an}的通项公式.
2 [解析] (1)证明:当 n=1 时,有 2a1=a2 1+1-4,即 a1-2a1-3=0,解得 a1=3(a1=-1

舍去). 当 n≥2 时,有 2Sn-1=a2 n-1+n-5, 2Sn=a2 n+n-4.
2 两式相减,得 2an=a2 n-an-1+1, 2 2 2 即 a2 n-2an+1=an-1,也即(an-1) =an-1,

因此 an-1=an-1 或 an-1=-an-1. 若 an-1=-an-1,则 an+an-1=1. 因为 a1=3, 所以 a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾, 所以 an-1=an-1,即 an-an-1=1. 因此{an}为等差数列. (2)由(1)知 a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式 an=3+(n-1)=n+2,即 an=n+2.
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[点评] 1.求数列的通项公式常见的有以下三种类型 (1)已知数列的前几项,写出一个通项公式. 依据数列前几项的特点归纳出通项公式:方法是依据数列的排列规律,求出项与项数的 关系.一般步骤是:①定符号,②定分子、分母,③观察前后项的数值特征找规律,④综合 写出项与项数的关系. 要特别注意以下数列特点: ①自然数列,自然数的平方列. ②奇数列,偶数列. 1 ③an=(-1)n,an= [1+(-1)n]. 2 nπ nπ ④an=sin ,an=cos . 2 2 k ⑤an= (10n-1)(k=1,2,?,9). 9 要注意理顺其大小规律 8 32 4 8 16 32 如:2,- ,4,- ,?先变化为: ,- , ,- ,?. 3 5 2 3 4 5 (2)已知数列的递推关系求其通项公式:一般是采用“归纳—猜想—证明”,有时也通过 变形转化为等差、等比数列进行处理. (3)已知数列的前 n 项和求通项公式,用 an=Sn-Sn-1(n≥2)求解. 2.用 an=Sn-Sn-1 求 an 得到 an=pn+q 时,只有检验了 a1 是否满足 an,才能确定其是否 为等差数列,前 n 项和是不含常数项 的 n 的二次函数时,{an}才是等差数列. ..... 1 (理)(2014· 陕西西北工业大学附属中学六模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1= , S =n2an 2 n -n(n-1),n=1,2,?. n+1 (1)证明:数列{ S }是等差数列,并求 Sn; n n Sn 5 (2)设 bn= 3 ,求证:b1+b2+?+bn< . 12 n +3n2 [解析] (1)由 Sn=n2an-n(n-1)知,当 n≥2 时,Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),即(n2-1)Sn -n2Sn-1=n(n-1), ∴ n+1 n S- · S =1,对 n≥2 成立. n n n-1 n-1

1+1 n+1 又∵ S1=1,∴{ S }是首项为 1,公差为 1 的等差数列. 1 n n ∴ n+1 n2 Sn=1+n-1=n,∴Sn= . n n+1

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Sn 1 1 1 1 (2)∵bn= 3 = = ( - ) n +3n2 ?n+1??n+3? 2 n+1 n+3 ∴b1+b2+?+bn= 11 1 1 1 1 1 1 1 15 1 1 5 ( - + - +?+ - + - )= ( - - )< . 22 4 3 5 n n+2 n+1 n+3 2 6 n+2 n+3 12 18.(文)(2013· 河北唐山一模)设函数 f(x)=ax+b(其中 a≠0),若 f(3)=5,且 f(1),f(2),f(5) 成等比数列. (1)求 f(n); (2)令 bn=f(n)· 2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)∵f(3)=5,且 f(1),f(2),f(5)成等比数列,
?3a+b=5, ? ∴? 解得 a=2,b=-1, 2 ? ??a+b??5a+b?=?2a+b? ,

∴f(x)=2x-1,即 f(n)=2n-1. (2)由题意得 bn=(2n-1)· 2n, 则 Tn=1· 21+3· 22+?+(2n-1)· 2n,① 2Tn=1· 22+3· 23+?+(2n-3)· 2n+(2n-1)· 2n 1,②


①-②得:-Tn=2+23+24+?+2n 1-(2n-1)· 2n


+1

=2· 2n 1-6-(2n-1)· 2n


+1

=-(2n-3)· 2n 1-6,


∴Tn=(2n-3)· 2n 1+6.


Sn (理)(2013· 湖南十二校联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 A(n, )(n∈N*)总在直线 y n 1 3 = x+ 上. 2 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn= n+1 an(n∈N*),试问数列{bn}中是否存在最大项,如果存在,请

求出;如果不存在,请说明理由. Sn 1 3 [解析] (1)因为点 A(n, )(n∈N)在直线 y= x+ 上, n 2 2 Sn 1 3 1 3 故有 = n+ ,即 Sn= n2+ n, n 2 2 2 2 1 3 当 n≥2 时,Sn-1= (n-1)2+ (n-1), 2 2 1 3 1 3 所以 an=Sn-Sn-1= n2+ n-[ (n-1)2+ (n-1)]=n+1(n≥2). 2 2 2 2 当 n=1 时,a1=S1=2 满足上式, 故数列{an}的通项公式为 an=n+1.
- 10 -

(2)由 an=n+1,可知 bn=

n+1

n+1,

6 6 3 4 4 20 20 5 b1= 2= 23< 32= 3=b2,b3= 4= 2=b1,b3= 4= 45> 54= 5=b4, 所以,b2>b1=b3>b4, 猜想{bn+1}递减,即猜想当 n≥2 时, n+1 n+1> n+2 n+2,

1-lnx lnx 考察函数 y= (x>e),则 y′= 2 , x x 显然当 x>e 时,lnx>1,即 y′<0, ln?n+2? ln?n+1? n+2 n+1 故 y= < ,即 n+2< n+1, n+2 n+1 3 猜想正确,因此,数列{bn}的最大项是 b2= 3. [点评] 由 n+1 n+1 > n+2 n+2 两 边 取 对 数 得 , 1 1 ln(n + 1)> ln(n + 2) . 即 n+1 n+2

ln?n+1? ln?n+2? lnx > ,于是构造函数 f(x)= (x>e),通过研究函数 f(x)的单调性来证明不等式. x n+1 n+2

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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第8章 第5节 双曲线_数学...· PF2=0,且△F1PF2 的三边长构成等差数列,则此双曲 线的离心率为( A....


【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第6章 第1节 数列的概念

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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第11章 第3节 推理与证明

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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第10章 第2节 用样本估计总体

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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第10章 第2节 用样本估计总体

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