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2016届高考数学大一轮复习 第8章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系课时提升练 文 新人教版


课时提升练(四十七)
一、选择题

直线与圆锥曲线的位置关系

→ → 1? ? 2 1.过点?0,- ?的直线 l 与抛物线 y=-x 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则OA·OB的 2? ? 值为( ) 1 B.- 4 C.-4 D.无法确定

1 A.- 2

1 【解析】 由题意

可知,直线 l 的斜率存在且不为 0,设其方程为 y=kx- . 2 1 ? ?y=kx- , 2 由? 2 ? ?y=-x , 得 2x +2kx-1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2

x1+x2=-k, ? ? 则? 1 x1x2=- . ? 2 ?
→ → 1?? 1? 1 1 1 2 ? 2 ∴OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+?kx1- ??kx2- ?=(k +1)x1x2- k(x1+x2)+ =- (k + 2? ? 2? 2 4 2 ? 1 1 1 1)- k·(-k)+ =- .故选 B. 2 4 4 【答案】 B 2.(2014·豫西五校联考)已知椭圆 + 2=1(0<b<2),左、右焦点分别为 F1,F2,过 4 b

x2 y2

F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是(
A.1 C. 3 2 B. 2 D. 3

)

【解析】 由椭圆的方程可知 a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8, 2b 所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,则
2

a

=3.所以 b =3,即 b= 3. 【答案】 D 3.已知双曲线 - =1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个 12 4 交点,则此直线斜率的取值范围是( )
1

2

x2

y2

A.?- C.?-

? ? ? ?

3 3? , ? 3 3? 3 3? , ? 3 3?

B.(- 3, 3)

D.[- 3, 3]

【解析】 由题意知,焦点为 F(4,0),双曲线的两条渐近线方程为 y=±

3 x.当过点 F 3

的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图象,数形结合可知应选 C. 【答案】 C 4.过椭圆 + =1 内一点 P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是( 16 4 A.3x+4y-13=0 C.3x-4y+5=0 B.4x+3y-13=0 D.3x+4y+5=0

x2

y2

)

【解析】 设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由于 A,B 两点均在椭圆上, 故 + =1, + =1, 16 4 16 4 两式相减得 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0. 16 4 又∵P 是 A,B 的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2, ∴kAB=

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

y1-y2 3 =- . x1-x2 4

3 ∴直线 AB 的方程为 y-1=- (x-3). 4 即 3x+4y-13=0. 【答案】 A 5.(2014·湖北高考)设 a,b 是关于 t 的方程 t cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根, 则过 A(a,a ),B(b,b )两点的直线与双曲线 2 - 2 =1 的公共点的个数为( cos θ sin θ A.0 C.2 B.1 D.3
2 2 2

x2

y2

)

2

【解析】 由根与系数的关系,得 a+b=-tan θ ,ab=0,则 a,b 中必有一个为 0, 另一个为-tan θ .不妨设 A(0,0), B(-tan θ , tan θ ), 则直线 AB 的方程为 y=-xtan θ . 根据双曲线的标准方程,得双曲线的渐近线方程为 y=±xtan θ ,显然直线 AB 是双曲线的 一条渐近线,所以直线与双曲线没有公共点. 【答案】 A 6.(2014·四川高考)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴 → → 的两侧,OA·OB=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 C. 17 2 8 B.3 D. 10 )
2 2

【解析】 设直线 AB 的方程为 x=ny+m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2), → → ∵OA·OB=2,∴x1x2+y1y2=2. 又 y1=x1,y2=x2,∴y1y2=-2. 联立?
2 2 2

?y =x, ? ? ?x=ny+m,

2

得 y -ny-m=0, ∴y1y2=-m=-2, ∴m=2,即点 M(2,0). 1 1 1 1 又 S△ABO=S△AMO+S△BMO= |OM||y1|+ |OM||y2|=y1-y2,S△AFO= |OF|·|y1|= y1, 2 2 2 8 1 ∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+ y1 8 9 2 = y1+ ≥2 8 y1 9 2 y1· =3, 8 y1

4 当且仅当 y1= 时,等号成立. 3 【答案】 B 二、填空题

3

7.(2013·江西高考)抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交 3 3 于 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________.

2

x 2 y2

p ? ?y=- , 2 【解析】 由于 x =2py(p>0)的准线为 y=- ,由? 2 ? ?x2-y2=3,
2

p

解得准线与双曲线 x -y =3 的交点为

2

2

A?-

? ?

1 2 p? ? 3+ p ,- ?,B? 4 2? ?

1 2 p? 3+ p ,- ?,所以 AB=2 4 2? 3 AB=p,解得 p=6. 2

1 2 3+ p . 4

由△ABF 为等边三角形,得 【答案】 6

1 2 8. 已知抛物线 y =8x 的焦点为 F, 直线 y=k(x-2)与此抛物线相交于 P, Q 两点, 则 |FP| + =________. |FQ| 1 【解析】 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知,|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,则 |FP| + 1 1 1 x1+x2+4 2 2 2 = + = ,联立直线与抛物线方程消去 y 得,k x -(4k |FQ| x1+2 x2+2 x1x2+2?x1+x2?+4 1

1 1 x1+x2+4 x1+x2+4 1 2 +8)x+4k =0,可知 x1x2=4,故 + = = = . |FP| |FQ| x1x2+2?x1+x2?+4 2?x1+x2?+8 2 【答案】 1 2
2 2

2 x y 9.设斜率为 的直线 l 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)交于不同的两点,且这两个交点在 2 a b

x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为________.
【解析】 设椭圆的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),两个交点分别为 M,N,由 题意知 M?-c,- ?,N?c, ?,∴kMN= ,又直线的斜率为 a a

? ?

b2?

?

? ?

b2?

?

b2 ac

2 b 2 2 ,∴ = ,即 2b = 2ac, 2 ac 2

2

∴ 2(a -c )=ac,∴ 2e +e- 2=0,解得 e= 【答案】 三、解答题 10.(2014·陕西高考) 2 2

2

2

2

2 2 或- 2,又 0<e<1,∴e= . 2 2

4

图 8?8?4

x y 1 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为 ,左右焦点分别为 F1(-c,0), a b 2 F2(c,0).
(1)求椭圆的方程; 1 (2)若直线 l:y=- x+m 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C,D 两点, 2 |AB| 5 3 且满足 = ,求直线 l 的方程. |CD| 4

2

2

【解】

b= 3, ? ?c 1 (1)由题设知? = , a 2 ? ?b =a -c ,
2 2 2

?a=2, 解得?b= 3, ?c=1,

∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =1, ∴圆心到直线 l 的距离 d= 5 .(*) 2
2 2 2

x2 y2

2|m| , 5

由 d<1 得|m|<

∴|CD|=2 1-d =2

4 2 2 1- m = 5 5

5-4m .

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 ? ?y=-2x+m, 由? x y ? ? 4 + 3 =1
2 2

得 x -mx+m -3=0,

2

2

由根与系数的关系可得 x1+x2=m,x1x2=m -3.

2

5

∴|AB|= 由

?1+?-1?2?[m2-4?m2-3?]= 15 ? ? 2? ? 2 ? ? ??
4-m 2=1, 5-4m
2

4-m .

2

|AB| 5 3 = 得 |CD| 4

解得 m=±

3 ,满足(*). 3

1 3 1 3 ∴直线 l 的方程为 y=- x+ 或 y=- x- . 2 3 2 3 11.(2014·潍坊模拟)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 3 2,其中一条 渐近线的方程为 x- 2y=0.以双曲线 C 的实轴为长轴, 虚轴为短轴的椭圆记为 E, 过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A,B 两点. (1)求椭圆 E 的方程; → → → → 2 2 (2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点,PG=2GO,求|GA| +|GB| 的取值范围; 1 1 2 (3)若点 P 满足|PA|=|PB|,求证: 2+ 2+ 2为定值. |OA| |OB| |OP|

x2 y2 a b

x y 3 2 【解】 (1)由双曲线 2- 2=1 的焦距为 3 2,得 c= , a b 2
9 2 2 ∴a +b = .① 2 ∵渐近线的方程为 y=± x,由题意知 = 3 2 2 由①②解得 a =3,b = , 2

2

2

b a

b a

2 ,② 2

x 2 2 ∴椭圆 E 的方程为 + y =1. 3 3
(2)由(1)知 P(- 3,0). → → 设 G(x0,y0),由PG=2GO,得(x0+ 3,y0)=2(-x0,-y0). 即?

2

?x0+ 3=-2x0, ?y0=-2y0,

? ?x0=- 3, 3 解得? ? ?y0=0,
∴G?-

? ?

3 ? ,0?. 3 ?
6

设 A(x1,y1),则 B(-x1,-y1),

→ → 3?2 2 ? 3? 2 2 ? 2 2 |G A | +|GB| =?x1+ ? +y1+?x1- ? +y1 3? 3? ? ?
2 2 2 2 2 2 =2x1+2y1+ =2x1+3-x1+ 3 3 =x1+
2

11 . 3
2

又∵x1∈[- 3, 3],∴x1∈[0,3], ∴ 11 2 11 20 ≤x1+ ≤ , 3 3 3

→ → ?11 20? 2 2 ∴|GA| +|GB| 的取值范围是? , ?. ?3 3? (3)证明:由|PA|=|PB|,知 P 在线段 AB 的垂直平分线上, 由椭圆的对称性可知 A,B 关于原点对称. 1 1 2 ①若 A, B 在椭圆的短轴顶点处, 则点 P 在椭圆的长轴顶点处, 此时 2+ 2+ 2 |OA| |OB| |OP| 1 1 2 ?1 1? = 2+ 2+ 2=2? 2+ 2?=2.

b

b

a

?a

b?

1 1 2 若 A, B 在椭圆的长轴顶点处, 则点 P 在椭圆的短轴顶点处, 此时 2+ 2+ 2= |OA| |OB| |OP| 1

a

2

1 2 ?1 1? + 2+ 2=2? 2+ 2?=2.

a

b

?a

b?

②当点 A,B,P 不在椭圆顶点处时,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0),则直线 OP 的方 1 程为 y=- x,设 A(x2,y2),B(-x2,-y2).

k

y=kx, ? ? 2 由?x 2y2 + =1, ? ?3 3

3 3k 2 2 解得 x2= 2,y2= 2. 1+2k 1+2k
2

2

3?1+k ? 2 2 2 2 所以|OA| =|OB| =x2+y2= , 2 1+2k 1 3?1+k ? 2 用- 代换 k,得|OP| = . 2 k 2+k 1+2k 1+2k 2?2+k ? ∴ + + =2. 2+ 2+ 2= 2 2 2 |OA| |OB| |OP| 3?1+k ? 3?1+k ? 3?1+k ? 1 1 2 综上, 1 2 + 2+ 2为定值 2. |OA| |OB| |OP|
2 2 2 2 2

1

12.(2014·湖北高考)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴

7

的距离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 【解】 (1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1, 即 ?x-1? +y =|x|+1, 化简整理得 y =2(|x|+x).
?4x,x≥0, ? 2 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y =? ? ?0,x<0.
2 2 2

(2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y =4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). 由方程组?
2

2

?y-1=k?x+2?, ? ?y =4x, ?
2

可得 ky -4y+4(2k+1)=0.(*1) 1 ①当 k=0 时,此时 y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 4

?1 ? 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点? ,1?. ?4 ?
②当 k≠0 时,方程(*1)根的判别式为 Δ =-16(2k +k-1).(*2) 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则 2k+1 由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- .(*3)
2

k

?Δ <0, ? (ⅰ)若? ? ?x0<0,

1 由(*2)(*3)解得 k<-1 或 k> . 2

?1 ? 即当 k∈(-∞,-1)∪? ,+∞?时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点,故 ?2 ?
此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.
? ?Δ =0, (ⅱ)若? ?x0<0, ? ? ?Δ >0, 或? ?x0≥0, ? ? 1? 1 由(*2)(*3)解得 k∈?-1, ?,或- ≤k<0. 2 2 ? ?

? 1? 即当 k∈?-1, ?时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 2? ?

? 1 ? 当 k∈?- ,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. ? 2 ?
1? ? 1 ? ? 故当 k∈?- ,0?∪?-1, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 2 2? ? ? ?

8

?Δ >0, ? (ⅲ)若? ?x0<0, ?

1 1 由②③解得-1<k<- 或 0<k< . 2 2

1? ? 1? ? 即当 k∈?-1,- ?∪?0, ?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点,故此 2? ? 2? ? 时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.

?1 ? 综合①②可知,当 k∈(-∞,-1)∪? ,+∞?∪{0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公 2 ? ?
1? 1? ? 1 ? ? ? 共点;当 k∈?- ,0?∪?-1, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈?-1,- ? 2? 2? ? 2 ? ? ?

? 1? ∪?0, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. ? 2?

9


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