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函数的方程迭代竞赛练习题


函数的方程迭代竞赛练习题 一、填空题 1.已知 f(x)+2f( 1 )=3x,则 f(x)的解析式为 x . 2.已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)= . 二、解答题 3.设 f(x)=x2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}. ①求证:A?B;②如果 A={-1,3},求 B. 4.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(1)=1,对任意 x∈R 都有下列两式成立: ①f(x+5)≥f(x)+5;②f(x+1)≤f(x)+1. 若 g(x)=f(x)+1-x,求 g(6)的值. 5. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx (a,b 是常数, 且 a≠0)满足条件: f(x-1)=f(3-x), 且方程 f(x)=2x 有等根. ①求 f(x)的解析式; ②是否存在实数 m,n (m<n),使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]?如果存在, 求出 m,n 的值;如果不存在,请说明理由. 6.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足:①f(2)=1;②f(xy)=f(x)+f(y),其中 x,y 为任意实数; ③任意正实数 x,y 满足 x>y 时,f(x)>f(y).试求下列问题: (1)求 f(1), f(4); (2)试判断函数 f(x)的单调性; (3)如果 f(x)+f(x-3)≤2,试求 x 的取值范围. 7 . 已 知 函 数 f(x)=6x - 6x2 , 设 函 数 g1(x)=f(x), g2(x)=f[g1(x)], g3(x)=f[g2(x)], ? , gn(x)=f[gn-1(x)], ?. ①求证:如果存在一个实数 x0,满足 g1(x0)=x0,那么对一切 n∈N*, gn(x0)=x0 都成立; ②若实数 x0,满足 gn(x0)=x0,则称 x0 为稳定动点,试求所有这些稳定不动点. ③设区间 A=(-∞,0),对于任意 x∈A,有 g1(x)=f(x)=a<0, g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0,且 n≥2 时, gn(x)<0.试问是否存在区间 B (A∩B≠?), 对于区间内任意实数 x, 只要 n≥2, 都有 gn(x)<0? 8. 对于函数 y=f(x), 若存在实数 x0, 满足 f(x0)=x0, 则称 x0 为 f(x)的不动点.已知 F1(x)=f(x), F2(x)=f[F1(x)], F3(x)=f[F2(x)], ?, Fn(x)=f[Fn-1(x)] (n∈N*,n≥2). ①若 f(x)存在不动点,试问 F2(x), F3(x), ?,Fn(x)是否存在不动点?写出你的结论,并加以 证明. ②设 f(x)=2x-x2.求使所有 Fn(x)<0 (n∈N*,n≥2)成立的所有正实数 x 值的集合. 9. 设函数 f(x)的定义域是 R, 对于任意实数 m,n, 恒有 f(m+n)=f(m)?f(n), 且当 x>0 时, 0<f(x)<1. ①求证:f(0)=1,且当 x<0 时,有 f(x)>1; ②判断 f(x)在 R 上的单调性; ③设集合 A={(x,y)|f(x2)?f(y2)>f(1)},集合 B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若 A∩B=?,求 a 的 取值范围. 1 10 设 p 为奇素数,试求 1 1 2 + = 的正整数解. x y p 11 求方程组 ? ? xz ? 2 yt ? 3 的整数


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