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二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习


专题:超几何分布与二项分布 ● 假定某批产品共有 100 个,其中有 5 个次品,采用不放回和放回抽样方式从中取出 10 件产品,那么次品数 X 的概率分布如何? 一、先考虑不放回抽样: 10 从 100 件产品中随机取 10 件有 C100种等可能基本事件.{X = 2}表示的随机事件是“取到 2 8 2 件次品和 8 件正品” ,依据乘法原理有 C5C95种基本事件,根据古典

概型,得 P(X = 2) = C5C95 10 则称 X 服从超几何分布 C100
2 8

类似地,可以求得 X 取其它值时对应的随机事件的概率,从而得到次品数 X 的分布列 X P 0
0 5 C5C95 10 C100

1
1 4 C5C95 10 C100

2
2 3 C5C95 10 C100

3
3 2 C5C95 10 C100

4
4 1 C5C95 10 C100

5
5 0 C5C95 10 C100

二、再考虑放回抽样: 从 100 件产品中有放回抽取 10 次,有 10010 种等可能基本事件.{X = 2}表示的随机事件 2 是“取到 2 件次品和 8 件正品” ,依据乘法原理有 C10·52·958 种基本事件,根据古典概型, 得 C10·52·958 P(X = 2) = 10010 P(X = k) = Cn pkqn ? k,
k 2

? C10(

2

5 2 95 8 )( ). 100 100

一般地,若随机变量 X 的分布列为 其中 0 < p < 1,p + q = 1,k = 0,1,2,?,n,则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布记作 X~ B(n,p)。 例 1: 袋中有 8 个白球、2 个黑球,从中随机地连续抽取 3 次,每次取 1 个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解: (1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑
? ? 球的概率均为,3 次取球可以看成 3 次独立重复试验,则 X ~ B ? 3, ? . 5 ? ? 1

64 ?4? 0 ?1? ∴ P( X ? 0) ? C3 ; ? ? ?? ? ? 5 5 125 ? ? ? ? 48 ?4? 1?1? P( X ? 1) ? C3 ; ? ? ?? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 12 ?1? ? 4? P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? ? ; ? 5 ? ? 5 ? 125
2 3 2 1 1 2

0

3

1

1 ?4? 3?1? P( X ? 3) ? C3 . ? ? ?? ? ? 5 5 125 ? ? ? ?

3

0

因此, X 的分布列为
X P

0
64 125

1
48 125

2
12 125

3
1 125

2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为 0,1,2,且有:
P(Y ? 0) ?
0 3 1 2 2 1 C2 C8 C2 C8 C2 C8 1 7 7 ; ; ? P ( Y ? 1) ? ? P ( Y ? 2) ? ? . 3 3 3 C10 15 C10 15 C10 15

因此, Y 的分布列为
Y P

0
7 15

1
7 15

2
1 15

辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到 某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽 样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何 分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放 回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重 要的. 超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别: 超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要; 超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复) 当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布 超几何分布与二项分布练习: 1.一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类:A 类、B 类、C 类.检验员定时从该 生产线上任取 2 件产品进行一次抽检,若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品,就需 要调整设备,否则不需要调整.已知该生产线上生产的每件产品为 A 类品,B 类品和 C 类品 的概率分别为 0.9,0.05 和 0.05,且各件产品的质量情况互不影响. (1)求在一次抽检后,设备不需要调整的概率; (2)若检验员一天抽检 3 次,以 ξ 表示一天中需要调整设备的次数,求 ξ 的分布列. 2、.甲、乙两人参加 2010 年广州亚运会青年志愿者的选拔.打算采用现场答题的方式来 进行,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题.规定每次考 试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才能入选. (1)求甲答对试题数 ξ 的概率分布; (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率.
2

3、已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分. 现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得 分数之和.(Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X).

4、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意时刻发 生故障的概率分别为
1 和 p. 10 49 ,求 p 的值; 50

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(Ⅱ)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分布 列及数学期望 E? . 5、有一个 3×4×5 的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成 60 个 1×1×1 的小正方体,从
这些小正方体中随机地任取 1 个,设小正方体涂上颜色的面数为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

6、一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球.
(1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的分布列与期望。 7、甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打 满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ( p ?

1 ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时 2

比赛停止的概率为

5 . 9

(1)求 p 的值;

(2)设 ? 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? . 8、某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选手选一题答一题的方式

进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的 比赛:答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰.已知选手甲答对每个问题的概率相
1 同,并且相互之间没有影响,答题连续两次答错的概率为 . 9

⑴求选手甲可进入决赛的概率; ⑵设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试求 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望 9、一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字
是 2,2 张卡片上的数字是 3,学 科 网从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率;
3

(2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列(注:若三个数 a , b, c 满足

a ? b ? c ,则称 b 为这三个数的中位数).

10、学志愿者协会有某大 6 名男同学,4 名女同学. 在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7
名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望 小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ )求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (Ⅱ )设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

超几何分布与二项分布练习题答案 :

1、解析:(1)设 Ai 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 A 类品”,i=1,2. Bi 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 B 类品”,i=1,2. C 表示事件“一次抽检后,设备不需要调整”. 则 C=A1· A2+A1· B2+B1· A2. 由已知 P(Ai)=0.9,P(Bi)=0.05 所以,所求的概率为 P(C)=P(A1· A2)+P(A1· B2)+P(B1· A2) =0.92+2×0.9×0.05=0.9. (2)由(1)知一次抽检后,设备需要调整的概率为 p=P( C )=1-0.9=0.1,依题意知 ξ~B(3,0.1),ξ 的分布列为 ξ p 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001 i=1,2.

2、解析:(1)依题意,甲答对试题数 ξ 的可能取值为 0、1、2、3,则
3 C4 1 C1 C2 3 6· 4 P(ξ=0)=C3 =30,P(ξ=1)= C3 =10, 10 10 2 1 C6 · C4 1 C3 1 6 P(ξ=2)= C3 =2,P(ξ=3)=C3 =6, 10 10

其分布列如下: ξ P 0 1 30 1 3 10 2 1 2 3 1 6

4

超几何分布与二项分布练习题答案

2、(2)法一:设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则
2 1 C6 C4+C3 6 60+20 2 2P(A)= C3 = 120 =3, 10 2 1 C8 C2+C3 56+56 14 8 P(B)= C3 = 120 =15. 10

因为事件 A、B 相互独立, ∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 2?? 14? 1 ? P A ·B =P A · P B =?1-3??1-15?=45, ? ?? ?

(

) ( ) ( ) )

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 1 44 P=1-P A ·B =1-45=45.

(

44 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45. 法二:甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 2 1 1 14 2 14 44 B +P(A· B)= × + × + × = . P=P A·B +P A · 3 15 3 15 3 15 45

(

) (

)

44 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45 3、 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P ( X ? 3) ? P ( X ? 5) ?
3 C5 5 ? ; 3 42 C9 1 2 C5 C4 15 ? ; 3 42 C9

P ( X ? 4) ?

1 C52 C4 20 ? ; 3 42 C9 3 C4 2 ? . 3 C9 42

P ( X ? 6) ?

故,所求 X 的分布列为

X P

3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为: E(X)= ? i ? P( X ? i) ?
i?4

6

13 . 3

错误!未找到引用源。 4、[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1 1 49 1-P(C)=1- P= ,解得 P= ........4 分 5 10 50 1 0 1 3 )? (2)由题意,P( ? =0)= C( 3 10 1000
5

1 27 1 1 2 ) ( 1? ) ? P( ? =1)= C( 3 10 10 1000 1 1 243 2 2 ) ( 1? ) ? P( ? =2)= C( 3 10 10 1000 1 1 729 3 0 3 ) ( 1? ) ? P( ? =3)= C( 3 10 10 1000

所以,随机变量 ? 的概率分布列为:

?
P

0
1 1000

1
27 1000

2
243 1000

3
729 1000

故随机变量 X 的数学期望为: 1 27 243 729 27 ? 1? ? 2? ? 3? ? E ? =0 0 ? . 1000 1000 1000 1000 10 [点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数 学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 5 、 ( 1 ) 60 个 1×1×1 的 小 正 方 体 中 , 没 有 涂 上 颜 色 的 有 6 个 , 6 1 P (? ? 0) ? ? … (3 分) 60 10
(2)由(1)可知

P (? ? 0) ?
分布列

1 11 2 2 P (? ? 1) ? P(? ? 2) ? P (? ? 3) ? 10 ; 30 ; 5; 15

… (7 分)

?
p

0

1

2

3

1 10

11 30

2 5

2 15
… (10 分) …(12 分)

E ? =0×

1 11 2 2 47 +1× +2× +3× = 5 10 30 15 30

6、解: (1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,两球恰好颜色不同,也就是说从 5 个球中摸出一球, 若第一次摸到白球,则第二次摸到黑球;若第一次摸到黑球,则第二次摸到白球. 因此它的概率 P 是: P ?
1 1 1 1 C3 C3 C2 C2 12 ? ? ? ? 1 1 1 1 C5 C5 C5 C5 25

……………………4 分

(2)设摸得白球的个数为 ξ,则 ξ=0,1,2。
1 1 2 C32 3 C2 ? C3 C2 3 1 P(? ? 0) ? 2 ? ; P(? ? 1) ? ? ; P(? ? 2) ? 2 ? ; 2 C5 10 C5 5 C5 10

…………7 分

? 的分布列为:
6

ξ P

0

1

2

3 10

3 5

1 10

……9 分

E? ? 0 ?

3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? 10 5 10 5
5 , 9

……………………………………

7、解 (1)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛停止,
故 p ? (1 ? p) ?
2 2

解得 p ?

1 2 或p? . 3 3

又p?

1 2 ,所以 p ? .???????6 分 2 3

(2)依题意知 ? 的所有可能取值为 2,4,6.

5 P (? ? 2) ? , 9

5 5 20 P (? ? 4) ? (1 ? ) ? ? , 9 9 81
5 20 16 P(? ? 6) ? 1 ? ? ? , 9 81 81
所以随机变量 ? 的分布列为:

?

2
5 9

4
20 81

6

P

16 81

所以 ? 的数学期望 E? ? 2 ?

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? .??????12 分 9 81 81 81 1 2 ??1 分, p ? ??2 分, 9 3

8、⑴设选手甲任答一题,正确的概率为 p ,依题意 (1 ? p ) 2 ?

2 8 甲选答 3 道题目后进入决赛的概率为 ( ) 3 ? ??3 分,甲选答 4 道、5 道题目后进入决 3 27 2 1 8 16 2 2 3 1 2 ( ) ( ) ? ??5 分,所以,选手甲可进入决赛的 赛的概率分别为 C32 ( ) 3 ? ? 、 C4 3 3 27 3 3 81

概率 P ?

8 8 16 64 ? ? ? ??6 分. 27 27 81 81 8 1 1 ? ? ??8 分, 27 27 3

⑵ ? 可取 3,4,5??7 分,依题意 P(? ? 3) ?

2 1 2 1 2 1 10 P(? ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? ? C32 ( ) 2 ? ? ? ??9 分, 3 3 3 3 3 3 27

1 2 2 1 8 2 2 2 2 1 2 P(? ? 5) ? C 4 ( ) ? ( ) 2 ? ? C4 ( ) ? ( )2 ? ? ??10 分, 3 3 3 3 3 3 27
7

(或 P(? ? 5) ? 1 ? [ P(? ? 3) ? P(? ? 4)] ? 所以, ? 的分布列为:

8 ??10 分) 27
3
4

?
P

5

1 3

10 27

8 27

??11 分
1 10 8 107 E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5? ? ??12 分. 3 27 27 27

9、 (Ⅰ)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为
(Ⅱ) X 的所有可能值为 1,2,3,且

P?

3 3 C4 ? C3 5 ? 3 C9 84

2 1 3 1 1 1 1 3 2 1 C4 C5 ? C4 C3 C4C2 ? C32C6 ? C3 C2 C7 1 17 43 P ? X ? 1? ? ? , P ? X ? 2? ? ? , P ? X ? 3? ? ? . 3 3 3 C9 42 C9 84 C9 12

故 X 的分布列为

X
P

1

2

3

17 42 17 43 1 47 ? 2 ? ? 3? ? 从而 E ? X ? ? 1? 42 84 12 28

43 84

1 12

10、 (Ⅰ)解:设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件 A ,则

P( A) =

1 2 C3 ?C7

0 3 C3 C7

C

3 10

=

49 . 60
49 . 60

所以,选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率为 所以, f ( x) 的最小正周期 T =

2p = p. 2

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.

P( x = k ) =

k 3- k C4 ×C6 (k = 0,1,2,3) . 3 C10

所以,随机变量 X 的分布列是

X
P

0

1

2

3

1 6 1 6 1

1 2 1 3 + 2? 2 10

随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = 0 ?

3 10 1 3? 30

1 30 6 . 5

8


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