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2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案


2015-2016 学年度第一学期期末考试 高一数学试题
一、选择题(该大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.下列图形中,表示 M ? N 的是 ( ▲ ) M C. N M D.

8.已知平面向量 a , b , | a |? 8 , | b |? 4 ,且 a , b 的夹角是 150? ,则 a 在 b 方向上的射影是 ( ▲ ) A. ?4 B. ?4 3 C. 4 D. 4 3 9.要得到函数 y ? 2sin 2 x 的图像,只需将 y ? 2sin(2 x ?

?
6

) 的图像 ( ▲ )

M A.

N

N B. ( ▲ )

M

N

2. cos 120? ? A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

2 2

? 个单位 12 ? D.向左平移 个单位 12 10.若平面向量 b ? (3, 4) 与向量 a ? (4, 3) ,则向量 a , b 夹角余弦值为 ( ▲ ) 12 24 12 24 A. B. ? C. ? D. 25 25 25 25 x x 11.设 f ? x ? ? 3 ? 3 x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3 x ? 8 ? 0在x ? ? 1, 2? 内近似解的过程中
A.向右平移 B.向右平移 得 f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间 ( ▲ ) A. (1, 1.25) 12.若函数 f ( x ? 2) ? ? A. B. (1.25, 1.5) C. (1.5, 2) D.不能确定 ( ▲ ) D. ?2

? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 6

3.下列命题正确的是 ( ▲ ) ???? ??? ? A.向量 AB 与 BA 是两平行向量;? B.若 a , b 都是单位向量,则 a ? b ;

???? ???? C.若 AB = DC ,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形;?

D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4. cos 45? cos15? ? sin 45? sin15? ? ( ▲ )

1 2

? tan x, x ? 0 ? ,则 f ( ? 2) ? f ( ?98) ? 4 ?lg(? x ), x ? 0 1 B. ? C. 2 2
▲ .

1 1 2 3 A. B. C. D. ? 2 2 2 2 ???? 5.如图,在 ?ABC 中, D 是 AC 的中点,向量 AB ? a , A ???? ???? ▲ ,那么向量 可表示为 ( ) AC ? b BD D 1 1 1 A. b ? a B. a ? b 2 2 2 1 1 C B C. b ? a D. a ? b 2 2 第 5 小题 6.函数 f ( x ) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ? ??, 4? 上是递减的,则实数 a 的取值范 ( ▲ ) A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 5 x 7.已知指数函数 f ( x ) ? a 和函数 g( x ) ? ax ? 2 ,下列图象正确的是 ( ▲ )
y 2 1 o x y 2 1 o x y 2 1 o x y 2 1 o x

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.函数 f ( x ) ?

1 的定义域是 log 2 ( x ? 2)

? 弧度,则该扇形的面积是 ▲ . 3 15.已知平面向量 a ? (4, ?3) 和单位向量 b ,且 b ? a ,那么向量 b 为 ▲ . ?
14.有一半径为 4 的扇形,其圆心角是 16.关于函数 f ( x )=4sin ( 2 x+ ) , ( x ? R) 有下列命题: ① y ? f ( x ) 是以 2? 为最小正周期的周期函数; ② y ? f ( x ) 可改写为 y=4cos( 2 x ③ y ? f ( x ) 的图象关于 ( ?

3

?
6

);

?
6

, 0) 对称;

④ y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? ? 其中正确的序号为 ▲ .

?
6

对称;

A.

B.

C.

D.

1

三、解答题(共 6 小题,共计 70 分) 17.化简或求值:

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2)将 f ( x ) 的图象向右平移

1 (1) 27 ? 3 ? log 2 ? 2 lg 5 ? lg 4 8
?2

2 3

? 个单位长度,再将周期扩大一倍,得到函数 g ( x ) 的图象,求 12

g ( x ) 的解析式.

cos 2 x 3 ? . , 0 ? x ? ,求 ? cos( ? x ) 5 4 4 18.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x 1 ? x ? 7} ,集合 B ? {x a ? 1 ? x ? 2a ? 5} ,若满足
(2)已知 sin x ?

A ? B ? B ,求 (1)集合 CU A ; (2)实数 a 的取值范围.
19.若平面向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?3, 2) , k 为何值时: (1) ( ka ? b) ? (a ? 3b) ; (2) ( ka ? b)//(a ? 3b) ? 20.设函数 f ( x ) ? 2sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) , y ? f ( x ) 图象的一个对称中心是 ( (1)求 ? ; (2)在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,л)的图象; (3)求函数 f ( x ) ? 1( x ? R) 的解集

?2 x ? a 22.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? x 是奇函数 2 ?1 (1)求 a 值; (2)判断并证明该函数在定义域 R 上的单调性; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

?
3

, 0) .

2015-2016 学年度第一学期期末考试 高一数学试题参考答案
一、选择题(该大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) CAACC ADBDD BC 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. { x | x ? 2 ,且 x ? 3} 或者填 (2, 3) ? (3, ??) .

8? . 3 3 4 3 4 15. ( , ) 和 ( ? , ? ) . 5 5 5 5
14. 16. ② ③ . 三、解答题(共 6 小题,共计 70 分) 17.(本小题满分 8 分) 解:

21.已知函数

f ( x) ? 3 sin2 x ? 2cos2 x .
2

1 1 1 1 ? (?3) ? lg 52 ? lg 4 = 9 ? ? (?3) ? lg 100 = 9 ? ? (?3) ? 2 = 11 3 9 9 9 3 ? (2)? sin x ? , 0 ? x ? 5 4 4 ?cos x ? 1 ? sin2 x = 5
(1)原式= 9 ?

7 cos 2 x cos x ? sin x cos x ? sin x 7 2 ? ? ? ? 5 ? ? 5 2 2 2 2 cos( ? x ) cos x ? sin x 4 2 2 2 2
2 2

? f ( x ) ? 2 sin(2 x ?

?
3

)

(2)列表:

18.(本小题满分 10 分) 解; (1) CU A ? (??, 1] ? [7, ??) (2)? A ? B ? B

x
2x ?

0

?B ? A (i)当 B ? ? 时,由 2a ? 5 ? a ? 1 得 a ? ?4

? 3 f ( x)

? 3 3

? 12 ? 2
2

? 3

?
0

7? 12 3? 2 ?2

5? 6
2? 0

?
7? 3 3

? a ?1? 1 ? (ii)当 B ? ? 时,由 ? 2a ? 5 ? 7 解得 0 ? a ? 1 ?a ? 1 ? 2a ? 5 ? ? a 的取值范围是 (??, ?4] ? [0, 1] .
19.(本小题满分 12 分) 解: (1)? a ? (1, 2), b ? ( ?3, 2)

(3)? f ( x ) ? 1 即 2 sin(2 x ?
sin( 2 x ?
亦即 ?

?
3

)?1

?
3

)?

?
12

1 ? ? 5? ? 2k? , k ? Z 解得 ? 2k? ? 2 x ? ? 2 6 3 6

? k? ? x ?

?

4

? k? , k ? Z

? ka ? b ? (k ? 3, 2k ? 2) a ? 3b ? (10, ?4) ? (ka ? b) ? (a ? 3b) ? (k ? 3) ? 10 ? (2k ? 2) ? (?4) ? 0 k ? 19 解得 ( ka ? b)//(a ? 3b) 得 (2)由(1)及 (k ? 3) ? (?4) ? (2k ? 2) ? 10 ? 0 1 解得 k ? ? 3

所以, f ( x ) ? 1 的解集是 [ ?
21.(本小题满分 12 分)

?
12

? k? ,

?
4

? k? ], k ? Z

解:(1)依题意,得 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)? (

?
3

, 0) 是函数 y ? f ( x )

的图像的对称中心

? 2 sin(2 ? ?

?
3

? ?) ? 0

2? ? ? ? k? (k ? Z ) 3

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 2 2 ? 将 y ? f ( x) 的图像向右平移 个单位长度,得到函数 12 ? ? f1 ( x ) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 1 ? 2sin 2 x ? 1 的图像,该函数的周期为 ? ,若将其 12 6 周期变为 2? ,则得 g( x ) ? 2sin x ? 1 (2)函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? ? , ? ? ? (3)当 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 时,函数单调递增,解得 2 6 2 ? ? k? ? ? x ? k ? ? , k ? Z 3 6 ? ? ? 函数的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 3 6
? 2(
22.(本小题满分 14 分) 解:

2? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 3 ?? ? (0, ? ) ? ? ?

?

3
3

1? a 1 ? 2x ? 0,? a ? 1,? f ( x ) ? 2 1 ? 2x 经验证, f ( x ) 为奇函数,? a ? 1
(1)由题设,需 f (0) ?

(2)减函数. 证明:任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,? x2 ? x1 ? 0 由(1)得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 2 ? (2 x1 ? 2 x2 ) ? ? 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 )

? x1 ? x2 ,? 0 ? 2x1 ? 2x2 ? 2x1 ? 2x2 ? 0 , (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ) ? 0
? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 所以,该函数在定义域 R 上是减函数
(3)由 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 得 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k )

? f ( x ) 是奇函数? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) ,由(2) , f ( x ) 是减函数.

? 原问题转化为 t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 ,即 3t 2 ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立.
1 ? ? ? 4 ? 12k ? 0 ,解得 k ? ? 即为所求. 3

4


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