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高中必修1-5错误解题分析系列-《10.1导数及其运算》


§10.1 导数及其运算 一、知识导学 1.瞬时变化率: 设函数 y ? f ( x) 在 x0 附近有定义, 当自变量在 x ? x0 附近改变量为 ?x 时, 函数值相应地改变 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x) ,如果当 ?x 趋近于 0 时,平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 趋近于一个常数 c (也就是说平均变化率与某个常数 c 的差的绝 ?x ?x
对值越来越小,可以小于任意小的正数) ,那么常数 c 称为函数 f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率。 2.导数:当 ?x 趋近于零时,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 趋近于常数 c。可用符号“ ? ”记作: ?x

当 ?x ? 0 时,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? c ,符号“ ? ” ? c 或记作 lim ?x ?0 ?x ?x

读作 “趋近于” 。 函数在 x0 的瞬时变化率, 通常称作 f ( x) 在 x ? x0 处的导数, 并记作 f ?( x0 ) 。 3.导函数: 如果 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内每一点 x 都是可导的, 则称 f ( x) 在区间 ( a, b) 可导。 这样,对开区间 ( a, b) 内每个值 x ,都对应一个确定的导数 f ?( x) 。于是,在区间 ( a, b) 内,

f ?( x) 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 y ? f ( x) 的导函数。记为 f ?( x) 或 y ?
(或 y ? 。 x) 4.导数的四则运算法则:1)函数和(或差)的求导法则:设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则

( f ( x) ? g ( x))? ? f ?( x) ? g ?( x) 即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数
的和(或差) 。 2)函数积的求导法则:设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则

[ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数
乘上第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数。 3)函数的商的求导法则:设 f ( x) , g ( x) 是可导的, g ( x) ? 0 ,则

? ? f ( x) ? g ( x) f ?( x) ? f ( x) g ?( x) ? g ( x) ? ? g 2 ( x) ? ?

? 5.复合函数的导数:设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u ? x ? ? ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 的 ? ? f ?(u ) ,则复合函数 y ? f [? ( x)] 在点 x 处有导数,且 y? ? ? 对应点 u 处有导数 yu x ? yu ? u x .
6.几种常见函数的导数: (1) C ? ? 0(C为常数) (3) (sin x)? ? cos x (5) (ln x ) ? ?

? ? nxn?1 (n ? Q) (2) (x n)
(4) (cosx)? ? ? sin x (6) (log a x ) ? ?

1 x

1 log a e x

(7) (e x )? ? e x 二、疑难知识导析

(8) (a x )? ? a x ln a

1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率

? ? 2.运用复合函数的求导法则 y? x ? yu ? u x ,应注意以下几点
(1)利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导. (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆,一直计算到最后, 常出现如下错误,如 (cos2 x)? ? ? sin 2 x 实际上应是 ? 2 sin 2 x 。 (3) 求复合函数的导数,关键在于分清楚函数的复合关系,选好中间变量,如

y?

1 1 4 选成 y ? , u ? v , v ? 1 ? w, w ? 3x 计算起来就复杂了。 4 u (1 ? 3x)
3.导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时

速度。对导数的几何意义与物理意义的理解,有助于对抽象的导数定义的认识,应给予足够 的重视。 4. f ?( x0 )与f ?( x)的关系

f ?( x0 ) 表示 f ( x)在x ? x0 处的导数,即 f ?( x0 ) 是函数在某一点的导数; f ?( x) 表示
函数 f ( x) 在某给定区间 ( a, b) 内的导函数,此时 f ?( x) 是在 ( a, b) 上 x 的函数,即 f ?( x) 是 在 ( a, b) 内任一点的导数。 5.导数与连续的关系

若函数 y ? f ( x) 在 x0 处可导,则此函数在点 x0 处连续,但逆命题不成立,即函数

y ? f ( x) 在点 x0 处连续,未必在 x0 点可导,也就是说,连续性是函数具有可导性的必要条
件,而不是充分条件。 6.可以利用导数求曲线的切线方程 由于函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,表示曲线在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,因 此,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程可如下求得: (1)求出函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处的导数,即曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处 切线的斜率。 (2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下, 求得切线方程为:y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) , 如果曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,由切线定 义可知,切线方程为 x ? x0 . 三、经典例题导讲 [例 1]已知 y ? (1 ? cos2x) 2 ,则 y ? ? .

错因:复合函数求导数计算不熟练,其 2 x 与 x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽 视了,导致错解为: y ? ? ?2 sin 2 x(1 ? cos 2 x) .
2 ? ? ? ? 正解:设 y ? u , u ? 1 ? cos 2 x ,则 y? x ? yu u x ? 2u(1 ? cos2 x) ? 2u ? (? sin 2 x) ? (2 x)

? 2u ? (? sin 2 x) ? 2 ? ?4 sin 2 x(1 ? cos2 x) ? y ? ? ?4 sin 2 x(1 ? cos 2 x) .

?1 2 ( x ? 1)(x ? 1) ? ?2 [例 2]已知函数 f ( x) ? ? 判断 f(x)在 x=1 处是否可导? ? 1 ( x ? 1)(x ? 1) ? ?2

1 1 [(1 ? ?x) 2 ? 1] ? (12 ? 1) 2 错解:? lim 2 ? 1,? f ?(1) ? 1 。 ?x?0 ?x
分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导 .

1 1 [(1 ? ?x) 2 ? 1] ? (12 ? 1) ?y 2 解: lim? ? lim? 2 ?1 ?x?0 ?x ?x?0 ?x

∴ f(x)在 x=1 处不可导. 注: ?x ? 0 ,指 ?x 逐渐减小趋近于 0; ?x ? 0 ,指 ?x 逐渐增大趋近于 0。 点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即 lim
+ -

?

?

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,△x→0,包括 ?x

△x→0 ,与△x→0 ,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其 左、 右极限是否存在且相等, 如果都存在且相等, 才能判定这点存在导数, 否则不存在导数. [例 3]求 y ? 2 x 2 ? 3 在点 P(1,5) 和 Q(2,9) 处的切线方程。 错因:直接将 P , Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析:点 P 在函数的曲线上,因此过点 P 的切线的斜率就是 y ? 在 x ? 1 处的函数值; 点 Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:? y ? 2 x 2 ? 3,? y ? ? 4 x. ? y ?
x ?1 ?

4

即过点 P 的切线的斜率为 4,故切线为: y ? 4 x ? 1 . 设过点 Q 的切线的切点为 T ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 4 x 0 ,又 k PQ ?

y0 ? 9 , x0 ? 2

2x ? 6 故 0 ? 4 x0 ,? 2 x0 2 ? 8x0 ? 6 ? 0. ? x0 ? 1,3 。 x0 ? 2
即切线 QT 的斜率为 4 或 12,从而过点 Q 的切线为:

2

y ? 4 x ? 1, y ? 12x ? 15
点评: 要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出 切点坐标. [例 4]求证:函数 y ? x ? 的切线方程. 分析: 由导数的几何意义知,要证函数 y ? x ?

1 图象上的各点处切线的斜率小于 1,并求出其斜率为 0 x 1 的图象上各点处切线的斜率都小于 1,只 x

要证它的导函数的函数值都小于 1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解.

解:(1) y ? x ?

1 1 1 ,? y ? ? 1 ? 2 ? 1 ,即对函数 y ? x ? 定义域内的任一 x ,其导数值 x x x

都小于 1 ,于是由导数的几何意义可知,函数 y ? x ? (2)令 1 ?

1 图象上各点处切线的斜率都小于 1. x

1 1 ? 0 ,得 x ? ?1 ,当 x ? 1 时, y ? 1 ? ? 2 ;当 x ? ?1 时, y ? ?2 , 2 1 x

? 曲线 y ? x ?
为 y ? 2或

1 的斜率为 0 的切线有两条,其切点分别为 (1,2) 与 (?1,?2) ,切线方程分别 x

y ? ?2 。

点评: 在已知曲线 y ? f ( x) 切线斜率为 k 的情况下,要求其切线方程,需要求出切点, 而切点的横坐标就是 y ? f ( x) 的导数值为 k 时的解,即方程 f ?( x) ? k 的解,将方程

f ?( x) ? k 的解代入 y ? f ( x) 就可得切点的纵坐标, 求出了切点坐标即可写出切线方程, 要
注意的是方程 f ?( x) ? k 有多少个相异实根,则所求的切线就有多少条. [例 5](02 年高考试题)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x 3 ? a , x ? ?0,??? ,设 x1 ? 0 ,记曲 线 y ? f ( x) 在点 M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l . (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 轴交点为 ( x2 ,0) ,求证: ① x2 ?
1 a3 ;

②若 x1 ?

1 a3

1 ,则 a 3

? x2 ? x1

分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程 . 解:(1) f ( x) ? lim
/

?y ( x ? ?x) 3 ? a ? x 3 ? a ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

? lim

3x 2 ?x ? 3x(?x) 2 ? (?x) 3 ?x?0 ?x

? lim [3x 2 ? 3x?x ? (?x) 2 ] ? 3x 2
?x?0

? f ?( x1 ) ? 3x12 ? 切线 l 的方程为 y ? f ( x1 ) ? f ?( x1 )(x ? x1 )
即 y ? ( x1 ? a) ? 3x1 ( x ? x1 ) . (2)①依题意,切线方程中令 y=0 得,
3 2

②由①知 x 2 ? x1 ?

x1 ? a 3x12

3

,? x 2 ? x1 ? ?

x1 ? a 3x12

3

[例 6]求抛物线 y ? x 2 上的点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离. 分析:可设 P( x, x 2 ) 为抛物线上任意一点,则可把点 P 到直线的距离表示为自变量 x 的函 数,然后求函数最小值即可,另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相 切时的切点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离即为本题所求. 解:根据题意可知,与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x 的切线对应的切点到直线 x-y- 2=0 的距离最短,设切点坐标为(
' ),那么 y | x? x0 ? 2x | x? x0 ? 2x0 ? 1 ,∴ x 0 ?
2

1 2

1 1 ? ?2| 7 2 1 1 2 4 ? ∴ 切点坐标为 ( , ) ,切点到直线 x-y-2=0 的距离 d ? , 8 2 4 2 |
∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为 四、典型习题导练 1.函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处不可导,则过点 P( x0 , f ( x0 )) 处,曲线 y ? f ( x) 的切 线 ( ) C.必与 x 轴垂直 D.不同于上面结论

7 2 . 8

A.必不存在 B.必定存在 2. y ?

x?3 在点 x=3 处的导数是____________. x2 ? 3

3.已知 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a 的值为____________. 4.已知 P(-1,1),Q(2,4)是曲线 y ? x 2 上的两点,则与直线 PQ 平行的曲线

y ? x 2 的切线方程是 _____________.
5.如果曲线 y ? x 3 ? x ? 10 的某一切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,求切点坐标与切线 方程. 6.若过两抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 2 和 y ? ? x 2 ? ax ? b 的一个交点为 P 的两条切线 互相垂直.求证:抛物线 y ? ? x 2 ? ax ? b 过定点 Q ,并求出定点 Q 的坐标.


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