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第二章变化率与导数单元测试(北师大版选修2-2)(1)


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北师大版数学选修 2-2 第二章变化率与导数单元测试
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? 1 的图象上一点 (11) , 及邻近一点 (1 ? ?x,

1 ? ?y) ,则 A.4 B. 4 ? 2?x C. 4 ? ?x D. 4?x ? (?x)2 )
?y 等于( ?x



1 2.某汽车的路程函数是 s ? 2t 3 ? gt 2 ( g ? 10m / s2 ) ,则当 t ? 2s 时,汽车的加速度是( 2

A.14m/s 2 B.4m/s 2 C.10m/s 2 D. ?4m/ s2 3.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如图所示,那么 水瓶的形状是( )

1 1 16 4.已知曲线 y ? x3 ? x 2 ? 4 x ? 7 在点 Q 处的切线的倾斜角 ? 满足 sin 2 ? ? ,则此切线 3 2 17 的方程为( ) 5 A. 4x ? y ? 7 ? 0 或 4 x ? y ? 6 ? 0 6 5 B. 4 x ? y ? 6 ? 0 6 5 C. 4x ? y ? 7 ? 0 或 4 x ? y ? 6 ? 0 6 D. 4x ? y ? 7 ? 0

5.已知 f ( x) 在 x ? x0 处可导,则 lim A. f ?( x0 )

[ f ( x)]2 ? [ f ( x0 )]2 ?( x ? x0 x ? x0



B. f ( x0 )

C. [ f ?( x0 )]2

D. 2 f ?( x0 · ) f ( x0 ) )

6.若对于任意 x ,有 f ?( x) ? 4 x3 , f (1) ? ?1 ,则此函数解析式为( A. f ( x) ? x 4 C. f ( x) ? x 4 ? 1 B. f ( x) ? x 4 ? 2 D. f ( x) ? x 4 ? 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.将答案填在题中横线上.
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7.若曲线 C : y ? x3 ? 2ax 2 ? 2ax 上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,那么整数 a 的值为 .
x x 8. y ? x ? sin · cos 的导数 2 2

. . .

sin x ,x ? (?π,π) ,当 y? ? 2 时, x ? 1 ? cos x 10.设 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? n) ,则 f ?(0) ?

9.已知 y ?

11.质量为 10kg 的物体按照 s(t ) ? 3t 2 ? t ? 4 的规律作直线运动,求运动开始后 4s 时物体的
1 ? ? J ? ? E ? mV 2 ? . 2 ? ? 12.某一等边三角形的边长为 a 米,若当边长以 10 米/分的速率增长时,其面积 S 以 10 米

动能

/秒的速度增加,则 a ? . 三、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(本小题满分 12 分)
2

对于函数 f ( x) ,已知 f (3) ? 2,f ?(3) ? ?2 ,求 lim
x ?3

2 x ? 3 f ( x) 的值. x ?3

14.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? ax 与 g ( x) ? bx 2 ? c 的图象都经过点 P(2, 0) ,且在点 P 处有公共切线, 求 f ( x),g ( x) 的表达式.

15.(本题满分 14 分) 已知曲线 C1 : y ? x 2 与 C2 : y ? ?( x ? 2)2 ,直线 l 与 C1,C2 都相切,求直线 l 的方程.

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参考答案
一、选择题(满分 30 分,每题 5 分) 1.答案:B 2.答案:A 3.答案:B 4.答案:C 5.答案:D 6.答案:B 二、填空题 (满分 30 分,每题 5 分) 7.答案:1
1 8.答案: y? ? 1 ? cos x 2

9.答案: ?

2π 3

10.答案: n ! 11.答案:3125 12.答案: 40 3 三、解答题(满分 40 分) 2 x ? 6 ? 6 ? 3 f ( x) 3 f (3) ? 3 f ( x) ? ? 13.解:上式化为 lim ? lim ? 2 ? ? x ?3 x ?3 x ?3 x ?3 ? ?
? 2 ? 3lim
x ?3

f ( x) ? f (3) ? 2 ? 3 ? (?2) ? 8 . x ?3

14.解:∵ f ( x) ? 2 x 3 ? ax 图象过点 P(2, 0) P,

∴a ? ?8 ,∴ f ( x) ? 2 x3 ? 8x .
由于 g ( x) ? bx 2 ? c 图象过点 P(2, 0) , 所以可得 4b ? c ? 0 . 又 g ?( x) ? 2bx , g ?(2) ? 4b ? f ?(2) ? 16 ,

∴b ? 4 ,∴ c ? ?16,g ( x) ? 4 x 2 ? 16 .
综上可知 f ( x) ? 2 x3 ? 8x,g ( x) ? 4 x 2 ? 16 .
? ( x2 ? 2)2 ) .对于 C1 : y? ? 2x ,则与 C1 15.解:设 l 与 C1 相切于点 P( x1,x12 ) 与 C2 相切于 Q( x2,

相切于点 P 的切线方程为 y ? x12 ? 2 x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 2 x1 x ? x12 , 对于 C2 : y? ? ?2( x ? 2) ,则与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y ? ( x2 ? 2)2 ? ?2( x2 ? 2)( x ? x2 ) ,
2 ?4. 即 y ? ?2( x2 ? x) x ? x2

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∵ 两切线重合,
2 ? 4. ∴2x1 ? ?2( x2 ? 2) ,且 ? x12 ? x2

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解得 x1 ? 0,x2 ? 2 或 x1 ? 2,x2 ? 0 . ∴ 直线 l 方程为 y ? 0 或 y ? 4 x ? 4 .

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