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1.1空间几何体的结构


第一章空间几何体
§1.1 空间几何体的结构
§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
【学习目标】
通过对实物和模型的观察,掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.

【要点导学】
1、 多面体: 由若干个平面多边形围成的图形叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做 多面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 2、旋转体:由一个平面图形绕它所在的平面内任意一条定直线旋转所形成的封闭几何 体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴. 3、棱柱:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱中两个互相平行的面叫做棱 柱的底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面 与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 4、棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些 面所围成的多面体叫做棱锥; 这个多边形面叫做棱锥的底面或底; 有公共顶点的各个三角形 面叫做棱锥的侧面; 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点; 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 5、棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台;原棱 锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点. 6、圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体 叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转 到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 棱柱与圆柱统称为柱体. 7、圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面
1

所围成的几何体叫做圆锥; 旋转轴为圆锥的轴; 垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面; 斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面. 棱锥和圆锥统称为椎体. 8、圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆 锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴. 棱台和圆台统称为台体. 9、球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体, 简称为球.半圆的圆心叫做球的球心, 半圆的半径叫做球的半径, 半圆的直径叫做球的直径. 10、组合体:由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体.

【典例分析】
例 1.下列说法正确的是( ).

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点

例 2. 根据下列对于几何结构特征的描述,说出几何体的名称: ⑴由 7 个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其他面都是全等的矩形; ⑵一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转 180? 形成的封闭曲面所围成的图形;

(3) 一个圆环面绕着过圆心的直线旋转 180? 形成的封闭曲面所围成的图形.

例 3. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB =5, BC =4, AA 1 =3,则一只小虫从 A 点

沿长方体的表面爬到 C1 点的最短距离是



2

若一个几何体有两个面平行,且其余各面均为梯形,则它一定是棱台, 此命题是否正确,说明理由.

【检测达标】 1. Rt?ABC 三边长分别为 3、4、5,绕着其中一边旋转得到圆锥,对所有可能描述不对的 是( ) A.是底面半径 3 的圆锥 C.是底面半径 5 的圆锥 B.是底面半径为 4 的圆锥 D.是母线长为 5 的 ( )

2.一个三棱锥, 如果它的底面是直角三角形, 那么它的三个侧面 A.至多只能有一个直角三角形 C.可能都是直角三角形 B. 至多只能 有两个是直角三角形 D.必然都是非直 角三角形
?

3.已知圆台的母线长为 2 a , 母线与轴的夹角为 30 , 且一个底面半径是另一个底面半径的 2 倍,求这个圆台的两个底面的半径。

【归纳总结】

§1.2 空间几何体的三视图和直观图
§1.2.1 中心投影与平行投影及空间几何体的三视图
3

【学习目标】
掌握画三视图的基本技能,会识别三视图表示的空间图形.

【要点导学】
1.投影:由于光的照射,在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种 现象叫做投影.其中,光线叫做投影线,留下物体影子的屏幕叫做投影面. 2.投影的分类: (1) 中心投影:光由一点向外扩散形成的投影,叫做中心投影. 中心投影的性质:①中心投影的投影线相交于一点;②点光源距离物体越近,投影形成 的影子大. (2) 平行投影:在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影.在平行投影中,投 影线正对着投影面时,叫做正投影,否则叫做斜投影. 平行投影的性质:①平行投影的投影线是平行的.②在平行投影下,与投影面平行的平 面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同. 3.三视图的概念 1.空间几何体的三视图是指正视图、侧视图、俯视图. (1)正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图. (2)侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图. (3)俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图. 2.三视图画法规则: 长对正:主视图与俯视图的长应对正 高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等

【典例分析】 例 1.用列举法表示下列集合 (1)15 的正约数组成的集合; (2)平方后仍为原 数的数组成的集合。

4

例 2.用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; (2)被 3 除 余 2 的正整数集; (3)不等式 2x+5<3 的解集; (4)第一、三象限点的集合。

例 3.已知集合 A ? {x | ax 2 ? 3x ? 2 ? 0} , 若 A 中的元素至多只有一个, 求 a 的取值范围。

【检测达标】
1.下列几何体中: ①圆锥;②正方体;③圆柱;④球;⑤正四面体,三 视图可能完全一样的 有 ( ) A.①③④ B.④⑤ C.②④ D.②④⑤ 2.如果一个几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是 ( ) A.圆锥 B.三棱锥 C.四棱锥 D.三棱台 3.如图是截去一角的长方体,画出它的三视图.

4.已知某物体的三视图如图所示,那么这个物体的形状是_____ __________.

5

[来源 :学*科*网]

【归纳总结】
列举法 表示法 描述法 文氏图法 集合表示法及分类 有限集

§1.2.3 空间几何体的直观图
【学习目标】
会用斜二测画法画空间几何值的直观图.

【要点导学】
1、斜二测画法 ① 建立直角坐标系:在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相较于点 O . ② 画出斜坐标系:在画直观图的纸上画出对应的 x ' 轴和轴 , 两轴相交于点 O ' , 且使

?x' O' y' ? 45? 或 135 ? ,它们确定的平面表示水平面.
③ 画对应图形:在已知图形平行于 x 轴的线段,在直观图中画成平行于 x ' 轴,且长度 保持不变;在已知图形平行于 y 轴的线段,在直观图中画成平行于 y' 轴,且长度变为原来 的一半. ④ 擦去辅助线,图画好后,要擦去 x 轴、 y 轴及为画图添加的辅助线. 注意: 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置, 因为多边形顶点 的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观
6

图的画法可以归结为确定点的位置的画法.

【典例分析】
例 1.用列举法表示下列集合 (1)15 的正约数组成的集合; (2)平方后仍为原 数的数组成的集合。

例 2.用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; (2)被 3 除 余 2 的正整数集; (3)不等式 2x+5<3 的解集; (4)第一、三象限点的集合。

例 3.已知集合 A ? {x | ax 2 ? 3x ? 2 ? 0} , 若 A 中的元素至多只有一个, 求 a 的取值范围。

例 4.设集合 A ? {x ? R | 6 ? 3 ? x ? 10} (1) A 是有限集还是无限集? (2)

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

3 ? 10 是不是集合 A 中的元素? 5 3 呢?

【检测达标】
1 用列举法表示下列集合; (1)不大于 10 的非负偶数集; (2)由

a a

?

b b

(a, b ? R ) 所确定的实 数集合。

2 用适当方法表示下列集合:
7

(1)函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的图像上所有点的集 合; (2)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图像的交点组成的集合;

【归纳总结】
列举法 表示法 描述法 文氏图法 集合表示法及分类 有限集 分类 无限集 空集

[来源:学科网 ZXXK][来源:Zxxk.Com]

§1.3 空间几何体的表面积和体积
§1.3.1 柱体、锥体、台体、球的表面积和体积
【学习目标】
掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式,并能初步运用 于实际问题之中.

【要点导学】
1. 柱体、椎体、台体的表面积公式 (1) 棱柱、棱锥、棱台的表面积:棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体, 它们的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积,所以,我们可以利用求平面图 形的方法求多面体的表面积. (2) 圆柱的表面积公式: S ? 2?r 2 ? 2?rl ? 2?r?r ? l ?

?r为底面圆半径,l为母线长?
8

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示 侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式: 名称 S侧 S全 V 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2

球 4π R
2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径。 3.探究柱、锥、台的体积公式: 1、棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到,因此,两个底面积相等、高 也相等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积. 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积,即 V柱体 ? Sh . 2、类似于柱体,底面积相等、高也相等的两个锥体,它们的体积也相等.棱锥的体积 公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到,由于底面积为 S ,高为 h 的棱柱的体积

1 V棱锥 ? Sh ,所以 V锥体 ? Sh . 3
3、台体(棱台、圆台)的体积可以转化为锥体的体积来计算.如果台体的上、下底面 面积分别为 S ?,S ,高为 h ,可以推得它的体积是 V台体 ? 4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下:

1 h( S ? SS ? ? S ?) . 3

1 1 V柱体 ? Sh ? ( S ? ? S )V台体 ? h( S ? SS ? ? S ?)( S ? ? 0) ? V锥体 ? Sh 【典例分析】 3 3
例 1.用列举法表示下列集合 (1)15 的正约数组成的集合; (2)平方后仍为原 数的数组成的集合。

例 2.用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; (2)被 3 除 余 2 的正整数集; (3)不等式 2x+5<3 的解集; (4)第一、三象限点的集合。

例 3.已知集合 A ? {x | ax ? 3x ? 2 ? 0} , 若 A 中的元素至多只有一个, 求 a 的取值范围。
2

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例 4.设集合 A ? {x ? R | 6 ? 3 ? x ? 10} (3) A 是有限集还是无限集? (4)

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3 ? 10 是不是集合 A 中的元素? 5 3 呢?

【检测达标】
1 用列举法表示下列集合; (1)不大于 10 的非负偶数集; (2)由

a a

?

b b

(a, b ? R ) 所确定的实 数集合。

2 用适当方法表示下列集合: (1)函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的图像上所有点的集 合;
2

(2)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图像的交点组成的集合;

3 .设集合

{x | x 2 ? mx ? n ? 0} ={2},求实数 m,n 的值。

【归纳总结】

10

列举法 表示法 描述法 文氏图法 集合表示法及分类 有限集 分类 无限集 空集

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§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(第 2 课时)
【学习目标】
通过对实物和模型的观察,掌握圆柱、圆锥、圆台的结构特征.

【要点导学】
1、圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体 叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转 到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 2、圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥; 旋转轴为圆锥的轴; 垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面; 斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 3、圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆 锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。

【典例分析】
例 1.用列举法表示下列集合 (1)15 的正约数组成的集合; (2)平方后仍为原 数的数组成的集合。

例 2.用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; (2)被 3 除 余 2 的正整数集; (3)不等式 2x+5<3 的解集; (4)第一、三象限点的集合。

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例 3.已知集合 A ? {x | ax 2 ? 3x ? 2 ? 0} , 若 A 中的元素至多只有一个, 求 a 的取值范围。

例 4.设集合 A ? {x ? R | 6 ? 3 ? x ? 10} (5) A 是有限集还是无限集? (6)

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3 ? 10 是不是集合 A 中的元素? 5 3 呢?

【检测达标】
1 用列举法表示下列集合; (1)不大于 10 的非负偶数集; (2)由

a a

?

b b

(a, b ? R ) 所确定的实 数集合。

2 用适当方法表示下列集合: (1)函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的图像上所有点的集 合;
2

(2)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图像的交点组成的集合;

3 .设集合

{x | x 2 ? mx ? n ? 0} ={2},求实数 m,n 的值。

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【归纳总结】
列举法 表示法 描述法 文氏图法 集合表示法及分类 有限集 分类 无限集 空集

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§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(第 2 课时)
【学习目标】
通过对实物和模型的观察,掌握圆柱、圆锥、圆台的结构特征.

【要点导学】
1、圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体 叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转 到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 2、圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥; 旋转轴为圆锥的轴; 垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面; 斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 3、圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆 锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。

【典例分析】
例 1.用列举法表示下列集合 (1)15 的正约数组成的集合; (2)平方后仍为原 数的数组成的集合。

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例 2.用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; (2)被 3 除 余 2 的正整数集; (3)不等式 2x+5<3 的解集; (4)第一、三象限点的集合。

例 3.已知集合 A ? {x | ax 2 ? 3x ? 2 ? 0} , 若 A 中的元素至多只有一个, 求 a 的取值范围。

例 4.设集合 A ? {x ? R | 6 ? 3 ? x ? 10} (7) A 是有限集还是无限集? (8)

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3 ? 10 是不是集合 A 中的元素? 5 3 呢?

【检测达标】
1 用列举法表示下列集合; (1)不大于 10 的非负偶数集; (2)由

a a

?

b b

(a, b ? R ) 所确定的实 数集合。

2 用适当方法表示下列集合: (1)函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的图像上所有点的集 合;
2

(2)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图像的交点组成的集合;

3 .设集合

{x | x 2 ? mx ? n ? 0} ={2},求实数 m,n 的值。

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【归纳总结】
列举法 表示法 描述法 文氏图法 集合表示法及分类 有限集 分类 无限集 空集

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§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(第 2 课时)
【学习目标】
通过对实物和模型的观察,掌握圆柱、圆锥、圆台的结构特征.

【要点导学】
1、圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体 叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转 到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 2、圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥; 旋转轴为圆锥的轴; 垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面; 斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 3、圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆 锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。

【典例分析】
例 1.用列举法表示下列集合 (1)15 的正约数组成的集合;
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(2)平方后仍为原 数的数组成的集合。

例 2.用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; (2)被 3 除 余 2 的正整数集; (3)不等式 2x+5<3 的解集; (4)第一、三象限点的集合。

例 3.已知集合 A ? {x | ax 2 ? 3x ? 2 ? 0} , 若 A 中的元素至多只有一个, 求 a 的取值范围。

例 4.设集合 A ? {x ? R | 6 ? 3 ? x ? 10} (9) A 是有限集还是无限集?

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

(10) 3 ? 10 是不是集合 A 中的元素? 5 3 呢?

【检测达标】
1 用列举法表示下列集合; (1)不大于 10 的非负偶数集; (2)由

a a

?

b b

(a, b ? R ) 所确定的实 数集合。

2 用适当方法表示下列集合: (1)函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的图像上所有点的集 合;
2

(2)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图像的交点组成的集合;

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3 .设集合

{x | x 2 ? mx ? n ? 0} ={2},求实数 m,n 的值。

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