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2013届高考理科数学第一轮复习测试题61-70


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A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

x2 y2 1.(★)(2012· 南宁五校联考)已知 F1,F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两焦 点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F

2,若边 MF1 的中点 P 在双曲线上,则双 曲 A.4+2 3 C. 3+1 2 B. 3-1 D. 3+1

解析 (数形结合法)因为 MF1 的中点 P 在双曲线上, |PF2|-|PF1|=2a,△MF1F2 为正三角形,边长都是 2c,所以 3c-c=2a, c 所以 e=a= 答案 D 【点评】 本题利用双曲线的定义列出关于a、c的等式,从而迅速获解. x2 y2 2. (2012· 贵阳联考)已知双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程是 y= 3 x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( x2 y2 A.36-108=1 x2 y2 C.108-36=1 x2 y2 B. 9 -27=1 x2 y2 D.27- 9 =1
2 ?a =9, ,解得? 2 ,因此选 B. ?b =27

2 = 3+1,故选 D. 3-1

).

解析

?c=6, 2 ?a2+b2=c 由题意可知? ?b= 3, ?a

答案 B x2 y2 3.(2011· 湖南)设双曲线a2- 9 =1(a>0)的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 的值为 (
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).

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A.4 B.3 C.2

D.1

x2 y2 解析 双曲线a2- 9 =1 的渐近线方程为 3x± ay=0 与已知方程比较系数得 a=2. 答案 C 4.(2011· 全国新课标)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂 直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 B. 3 C.2 D.3 ).

x2 y2 x2 y2 解析 设双曲线 C 的方程为a2-b2=1,焦点 F(-c,0),将 x=-c 代入a2-b2=1 b4 b2 c 可得 y =a2, 所以|AB|=2× a =2×2a, 2=2a2, 2=a2+b2=3a2, ∴b c ∴e=a= 3.
2

答案 B y2 5.(2011· 青岛模拟)设 F1、F2 分别是双曲线 x - 9 =1 的左、右焦点,若点 P 在
2

→ PF → → → 双曲线上,且PF1· 2=0,则|PF1+PF2|=( A. 10 B.2 10 C. 5 D.2 5

).

→ PF → → → 解析 如图,由PF1· 2=0 可得PF1⊥PF2, 又由向量加法的平行四边形法则可知?PF1QF2 为矩形,因为矩形的对角线相等, → → → 故有|PF1+PF2|=|PQ|=2c=2 10. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) y2 x2 6.(2011· 江西)若双曲线16- m=1 的离心率 e=2,则 m=________. c 解析 由已知得 e= = a ∴m=48. 答案 48 x2 y2 7.已知双曲线 9 - a =1 的右焦点的坐标为( 13,0),则该双曲线的渐近线方程 为________.
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?b? 1+?a?2= ? ?

1+

m =2. 16

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x2 y2 解析 ∵焦点坐标是( 13,0),∴9+a=13,即 a=4,∴双曲线方程为 9 - 4 = x y 1,∴渐近线方程为3± =0,即 2x± 3y=0. 2 答案 2x± 3y=0 8.(2012· 泉州质检)设双曲线的渐近线方程为 2x± 3y=0,则双曲线的离心率为 ________. c2-a2 4 b 2 13 13 解析 当焦点在 x 轴上时,a=3,即 a2 =9,所以 e2= 9 ,解得 e= 3 ;当 c2-a2 9 b 3 13 13 焦点在 y 轴上时,a=2,即 a2 =4,所以 e2= 4 ,解得 e= 2 ,即双曲线的 13 13 离心率为 2 或 3 . 答案 13 13 或 3 2

三、解答题(共 23 分) x2 y2 9. 分)设双曲线a2-b2=1(b>a>0)的半焦距为 c, (11 直线 l 过(a,0), b)两点, (0, 3 且原点到直线 l 的距离为 4 c,求双曲线的离心率. 解 由 l 过两点(a,0)、(0,b),得 l 的方程为 bx+ay-ab=0. 3 ab 3 由原点到 l 的距离为 4 c,得 2 2= 4 c. a +b 将 b= c2-a2代入,平方后整理,得
2 a2 ?a ?2 16?c2? -16×c2 +3=0. ? ?

a2 3 1 令c2 =x,则 16x2-16x+3=0,解得 x=4或 x=4. c 由 e=a,得 e= 1 2 3 x ,故 e= 3 或 e=2. b2 1+a2> 2,

a2+b2 c ∵0<a<b,∴e=a= a =

2 3 ∴应舍去 e= 3 ,故所求离心率 e=2.
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10.(12 分)求适合下列条件的双曲线方程. ?9 ? (1)焦点在 y 轴上,且过点(3,-4 2)、?4,5?. ? ? (2)已知双曲线的渐近线方程为 2x± 3y=0,且双曲线经过点 P( 6,2). y2 x2 ?9 ? ? 解 (1)设所求双曲线方程为a2-b2=1(a>0, b>0), 则因为点(3, -4 2), 4,5? ? ? 在双曲线上, 9 ?32-b2=1, 2 ?a 所以点的坐标满足方程,由此得? 25 81 ? a2 -16b2=1. ? ?32m-9n=1, ? 1 1 令 m=a2,n=b2,则方程组化为? 81 ?25m-16n=1. ? 1 ?m=16, ? 解方程组得? 1 ?n=9. ? y2 x2 ∴a2=16,b2=9.所求双曲线方程为16- 9 =1. 2 (2)由双曲线的渐近线方程 y=± x, 3 x2 y2 可设双曲线方程为 9 - 4 =λ(λ≠0). 6 4 1 ∵双曲线过点 P( 6,2),∴9-4=λ,λ=-3, 3 1 故所求双曲线方程为4y2-3x2=1. B级 综合创新备选

(时间:30 分钟

满分:40 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) x2 y2 1.(2011· 天津)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px(p>
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0)的焦点的距离为 4, 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2, -1),则双曲线的焦距为( A.2 3 B.2 5 C.4 3 p a+2=4, ). D.4 5

解析

? ? p 由题意得?-2=-2, b ?-1=?-2?· ? a

?p=4, ??a=2, ?b=1

?

c= a2+b2= 5.∴双曲线的焦距 2c=2 5. 答案 B 2.(★)如下图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边上的中点,双曲线均以 F1,F2 为焦点,设图 1,图 2 中双曲线的离心率分别为 e1,e2,则( ).

A.e1>e2 解析

B.e1<e2

C.e1=e2

D.以上皆非

(数形结合法)由题意|F1F2|为双曲线的焦距,由正三角形、正方形的性质,

探求|PF1|, 2|与|F1F2|的关系, |PF 再利用双曲线定义及离心率定义求出离心率 e1, e2. 2a=|F2M|-|F1M|, 2c 由图 1,知 e1=2a= |F1F2| = 3+1, ? 3 1? ? - ?|F1F2| ? 2 2? 10+ 2 |F1F2| = ,所以 e1>e2,故选 A. 2 ? 10 2? ? - 4 ?|F1F2| ? 4 ?

2c 由图 2,知 e2=2a= 答案 A

【点评】 这是一道创新型优质试题,立意新、解法妙,解题方法是在分析图形 的基础上,运用双曲线的最基本的知识定义解题.本题既考查了对“三基”的掌 握情况,同时也考查了创新思维和灵活运用能力. 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
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3.如图,已知双曲线以长方形 ABCD 的顶点 A、B 为左、右焦点,且双曲线过 C、D 两顶点.若 AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.

x2 y2 解析 设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0).由题意得 B(2,0),C(2,3),
2 2 ?4=a +b , 2 ? ?a =1, ∴? 4 9 解得? 2 ?b =3, ?a2-b2=1, ?

y2 ∴双曲线的标准方程为 x2- 3 =1. y2 答案 x2- 3 =1 x2 y2 4. (2011· 辽宁)已知点(2,3)在双曲线 C: 2-b2=1(a>0, b>0)上, 的焦距为 4, C a 则它的离心率为________. 4 9 解析 根据点(2,3)在双曲线上,可以很容易建立一个关于 a,b 的等式,即a2-b2 =1,考虑到焦距为 4,这也是一个关于 c 的等式,2c=4,即 c=2.再有双曲线自 身的一个等式 a2+b2=c2, 这样, 三个方程, 三个未知量, 可以解出 a=1, b= 3, c=2,所以,离心率 e=2. 答案 2 三、解答题(共 22 分) x2 y2 5.(10 分)(2011· 济南模拟)设 A,B 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左,右 顶点,双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程; 3 (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上 → → → 存在点 D,使OM+ON=tOD,求 t 的值及点 D 的坐标.

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解 (1)由题意知 a=2 3,∴一条渐近线为 y= 即 bx-2 3y=0,∴
2

b 2 3

x,

|bc| = 3, b2+12

x2 y2 ∴b =3,∴双曲线的方程为12- 3 =1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84=0, 则 x1+x2=16 3,y1+y2=12,

?x0=4 3 3, ?y0 ∴? 2 x0 y2 ?12- 30=1, ?

?x0=4 3, ∴? ?y0=3,

∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3). 6.(12 分)(2012· 合肥联考)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上, 离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; → MF (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·→ 2=0; (3)求△F1MF2 的面积. (1)解 ∵e= 2,∴设双曲线方程为 x2-y2=λ.

又∵双曲线过(4,- 10)点,∴λ=16-10=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明 法一 由(1)知 a=b= 6,c=2 3,

∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), ∴kMF1= m m ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3

m2 m2 ∴kMF1· 2= kMF = ,又点(3,m)在双曲线上, 9-12 -3 ∴m2=3, → MF ∴kMF1· 2=-1,MF1⊥MF2,MF1·→ 2=0. kMF
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→ → 法二 ∵MF1=(-3-2 3,-m),MF2=(2 3-3,-m), → MF ∴MF1·→ 2=(3+2 3)(3-2 3)+m2=-3+m2. ∵M 在双曲线上,∴9-m2=6, → MF ∴m2=3,∴MF1·→ 2=0. (3)解 ∵△F1MF2 中|F1F2|=4 3,且|m|= 3,

1 1 ∴S△F1MF2=2· 1F2|· |F |m|=2×4 3× 3=6.

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A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值为( 1 A.8 1 B.-8 C.8 D.-8

).

1 1 1 解析 抛物线的标准方程为 x2=ay,由条件得 2=-4a,a=-8. 答案 B x2 y2 2.(2011· 惠州调研)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 6 + 2 =1 的右焦点重合,则 p 的值为( ).

A.-2 B.2 C.-4 D.4 x2 y2 解析 因为椭圆 6 + 2 =1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y2=2px 的焦点为(2,0), 则 p=4. 答案 D 3. (2012· 合肥月考)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切, 则 p 的值为( 1 A.2 ).

B.1 C.2 D.4

p 解析 抛物线 y2=2px(p>0)的准线为 x=-2,圆 x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2 +y2=16,则圆心为(3,0),半径为 4;又因抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+ p y2-6x-7=0 相切,所以 3+ =4,解得 p=2. 2 答案 C 4.(2011· 全国新课标)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A, 两点, B |AB|=12, 为 C 的准线上一点, P 则△ABP 的面积为( A.18 B.24 C.36 D.48 ).

解析 如图,设抛物线方程为
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y2=2px(p>0). p ∵当 x=2时,|y|=p, |AB| 12 ∴p= 2 = 2 =6. 又 P 到 AB 的距离始终为 p, 1 ∴S△ABP=2×12×6=36. 答案 C 5.(2011· 广州调研)从抛物线 y2=4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M, 且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则△MPF 的面积为( A.5 B.10 C.20 D. 15 ).

解析 由抛物线方程 y2=4x 易得抛物线的准线 l 的方程为 x=-1,又由|PM|=5 1 可得点 P 的横坐标为 4,代入 y2=4x,可求得其纵坐标为± 4,故 S△MPF=2×5×4 =10. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,|AF|=2,则 |BF|=________. p 解析 ∵y2=4x,∴p=2,F(1,0),又∵|AF|=2,∴xA+2=2,∴xA+1=2,∴xA =1.即 AB⊥x 轴,F 为 AB 的中点. ∴|BF|=|AF|=2. 答案 2 7.(2012· 菏泽调研)已知动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心的 轨迹方程为________. 解析 设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线 x=-1 的 距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2=4x. 答案 y2=4x 8.(2011· 河南洛阳、安阳统考)点 P 在抛物线 x2=4y 的图象上,F 为其焦点,点 A(-1,3),若使|PF|+|PA|最小,则相应 P 的坐标为________.
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解析 由抛物线定义可知 PF 的长等于点 P 到抛物线准线的距离, 所以过点 A 作 1? ? 抛物线准线的垂线,与抛物线的交点?-1,4?即为所求点 P 的坐标,此时|PF|+ ? ? |PA|最小. 1? ? 答案 ?-1,4? ? ? 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m) 到焦点的距离为 5,求抛物线的方程和 m 的值. 解 法一 根据已知条件,抛物线方程可设为

? p ? y2=-2px(p>0),则焦点 F?-2,0?. ? ? ∵点 M(-3,m)在抛物线上,且|MF|=5,
2 ?m =6p, ? 故? p? ? ?-3+2?2+m2=5, ? ? ? ?

?p=4, 解得? ?m=2 6

?p=4, 或? ?m=-2 6.

∴抛物线方程为 y2=-8x,m=± 6. 2 p 法二 设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则准线方程为 x=2,由抛物线定义,M p 点到焦点的距离等于 M 点到准线的距离,所以有2-(-3)=5,∴p=4. ∴所求抛物线方程为 y2=-8x, 又∵点 M(-3, m)在抛物线上, m2=(-8)×(- 故 3),∴m=± 6. 2 10. (★)(12 分)抛物线的顶点在原点, x 轴为对称轴, 以 经过焦点且倾斜角为 135° 的直线,被抛物线所截得的弦长为 8,试求该抛物线的方程. 解 依题意,设抛物线方程为 y2=2px(p>0), 1 则直线方程为 y=-x+2p. 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、D,
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则由抛物线定义得 |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| p p =x1+2+x2+2, 即 x1+x2+p=8.① 又 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点, 1 ? ?y=-x+ p, 2 由? 2 ?y =2px, ?
2

消去 y,

p2 得 x -3px+ 4 =0,所以 x1+x2=3p. 将其代入①得 p=2,所以所求抛物线方程为 y2=4x. 当抛物线方程设为 y2=-2px(p>0)时, 同理可求得抛物线方程为 y2=-4x. 综上,所求抛物线方程为 y2=4x 或 y2=-4x. 【点评】 ?1?根据问题的条件,抛物线方程可能是 y2=2px?p>0?,也可能是 y2 =-2px?p>0?,任何一种情况都不要漏掉.?2?要由定“性”和“量”两个方面来 确定抛物线的方程.定“性”, 即确定开口方向, 便于设抛物线的方程.定“量”, 即求所设方程中的参数 p. B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.(2011· 湖北)将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦 点的正三角形个数记为 n,则( A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3 解析 3 3 结合图象可知,过焦点斜率为 3 和- 3 的直线与抛物线各有两个交点, ).

所以能够构成两组正三角形. 本题也可以利用代数的方法求解, 但显得有些麻烦. 答案 C 2.(2011· 台州模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,F 关于原点的对称点
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为 P,过 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 M、N 两点,有下列四个命题: ①△PMN 必为直角三角形;②△PMN 不一定为直角三角形;③直线 PM 必与抛 物线相切;④直线 PM 不一定与抛物线相切. 其中正确的命题是( A.①③ B.①④ ). C.②③ D.②④

解析 因为|PF|=|MF|=|NF|,故∠FPM=∠FMP,∠FPN=∠FNP,从而可知∠ p MPN=90° ,故①正确,②错误:令直线 PM 的方程为 y=x+2,代入抛物线方程 可得 y2-2py+p2=0,Δ=0,所以直线 PM 与抛物线相切,故③正确,④错误. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(2011· 重庆)设圆 C 位于抛物线 y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边 界)内,则圆 C 的半径能取到的最大值为________. 解析 依题意, 结合图形的对称性可知, 要使满足题目约束条件的圆的半径最大, 圆心位于 x 轴上时才有可能, 可设圆心坐标是(a,0)(0<a<3), 则由条件知圆的方
2 2 2 ??x-a? +y =?3-a? 程是(x-a) +y =(3-a) .由? 2 消去 y 得 x2+2(1-a)x+6a- ?y =2x 2 2 2

9=0,结合图形分析可知,当 Δ=[2(1-a)]2-4(6a-9)=0 且 0<a<3,即 a=4 - 6时,相应的圆满足题目约束条件,因此所求圆的最大半径是 3-a= 6-1. 答案 6-1

4.(2011· 济南模拟)抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 ________. 解析 如图,设与直线 4x+3y-8=0 平行 且与抛物线 y=-x2 相切的直线为 4x+3y+b=0,
2 ?y=-x , ? 联立方程,得 ?4x+3y+b=0.

4 即 3x2-4x-b=0,则 Δ=16+12b=0,求得 b=-3, 4 所以切线方程为 4x+3y-3=0,则切点到直线 4x+3y-8=0 的距离也就是所求
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4? ? ?-8+3? ? ? 4 的最小值,此最小值也即为两直线间的距离,为 =3. 5 4 答案 3 三、解答题(共 22 分) 5. 分)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F, 是抛物线上除顶点外的任意一点, (10 Q 直线 QO 交准线于 P 点,过 Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于 R 点,求 → RF → 证:PF· =0. p ?p ? 证明 y2=2px(p>0)的焦点 F?2,0?准线为 x=-2. ? ? ? p ? 设 Q(x0,y0)(x0≠0),则 R?-2,y0?, ? ? y0 p 直线 OQ 的方程为 y=x x,此直线交准线 x=-2于 P 点,
0

py0? ? p 易求得 P?-2,-2x ?.∴y2=2px0, 0 ? 0? py2 0 → · =?p,py0?· → ? 2 ? (p,-y0)=p - =p2-p2=0. ∴PF RF 2x0 ? 2x0? 6.(12 分)(2012· 厦门模拟)如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原 点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. 解 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0). ∵点 P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB, 则 kPA= y1-2 y2-2 (x1≠1),kPB= (x ≠1), x1-1 x2-1 2
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∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得
2 y1=4x1,① 2 y2=4x2,②

y1-2 y2-2 ∴1 =-1 ,∴y1+2=-(y2+2). 2 y1-1 y2-1 4 4 2 ∴y1+y2=-4.
2 由①-②得,y1-y2=4(x1-x2), 2

y1-y2 4 ∴kAB= = =-1(x1≠x2). x1-x2 y1+y2

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A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.(2012· 荆州二检)过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这 样的直线有( A.1 条 ). C.3 条 D.4 条

B.2 条

解析 结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0,过点(0,1)且 平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0). 答案 C 2. (2012· 银川模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1, 1), 2, y B(x y2),若|AB|=7,则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为( 5 A.2 解析 7 B.2 C.2 D.3 ).

由题知抛物线的焦点为(1,0),准线方程为 x=-1.由抛物线定义知:|AB|

p p =|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+p,即 x1+x2+2=7,得 x1+x2=5,于是弦 5 5 7 AB 的中点 M 的横坐标为2,因此 M 到抛物线准线的距离为2+1=2. 答案 B x2 y2 3.设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公 共点,则双曲线的离心率为( 5 A.4 5 B.5 C. 2 D. 5 ).

? b ?y= x, x2 y2 b 解析 双曲线a2-b2=1 的一条渐近线为 y=ax, 由方程组? a ?y=x2+1 ?
2

消去 y 得,

a2+b2 b b c ?b?2 x -ax+1=0 有唯一解, 所以 Δ=?a? -4=0, =2, a= a = e= a ? ? = 5. 答案 D
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?b? 1+?a?2 ? ?

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4.(2011· 全国)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A, B 两点,则 cos∠AFB=( 4 A.5 3 B.5 3 C.-5 4 D.-5 ).

2 ?y =4x 解析 设点 A(x1,y1)、B(x2,y2).由题意得点 F(1,0),由? 消去 y 得 x2 ?y=2x-4

-5x+4=0, x=1 或 x=4, 因此点 A(1, -2)、 B(4,4), →=(0, FA -2), →=(3,4), FB cos∠AFB= 答案 D 5.(2011· 兰州模拟)已知 A,B 为抛物线 C:y2=4x 上的两个不同的点,F 为抛物 → → 线 C 的焦点,若FA=-4FB,则直线 AB 的斜率为( 2 A.± 3 3 B.± 2 3 C.± 4 4 D.± 3 ). = → → |F A ||F B | F→ · → A FB 0×3+?-2?×4 4 =-5,选 D. 2×5

解析 由题意知焦点 F(1,0),直线 AB 的斜率必存在,且不为 0,故可设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 y2=4x 中化简得 ky2-4y-4k=0, A(x1, 1), 设 y 4 → → B(x2,y2),则 y1+y2=k,①y1y2=-4,②又由FA=-4FB可得 y1=-4y2,③ 4 联立①②③式解得 k=± . 3 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) x2 y2 6.(2011· 北京东城检测)已知 F1、F2 为椭圆25+ 9 =1 的两个焦点,过 F1 的直线 交椭圆于 A、B 两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________. 解析 由题意知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由 a=5,可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|=8. 答案 8 y2 7.(2012· 东北三校联考)已知双曲线方程是 x - 2 =1,过定点 P(2,1)作直线交双
2

曲线于 P1,P2 两点,并使 P(2,1)为 P1P2 的中点,则此直线方程是________.
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2 2 y2-y1 2?x2+x1? 2 y1 2 y2 设点 P1(x1,1), 2(x2,2), y P y 则由 x1- 2 =1,2- 2 =1, k= x 得 = x2-x1 y2+y1

解析

2×4 = 2 =4,从而所求方程为 4x-y-7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得 14x2-56x+51=0,Δ>0,故此直线满足条件. 答案 4x-y-7=0 8.(2011· 河南洛阳、安阳统考)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(0, -1),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点为(2,-2),则直线 l 的方程为________. 解析 由题意知,抛物线的方程为 x2=-4y,设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1≠x2,
2 ?x1=-4y1, 联立方程得? 2 两式相减得 x2-x2=-4(y1-y2), 1 2 x2=-4y2, ?

y1-y2 x1+x2 ∴ = =-1, x1-x2 -4 ∴直线 l 的方程为 y+2=-(x-2),即 y=-x. 答案 x+y=0 三、解答题(共 23 分) y2 9.(★)(11 分)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +b2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1
2

的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 思路分析 第(1)问由椭圆定义可求;第(2)问将直线 l 与椭圆联立方程组,利用 弦长公式求解. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=3. (2)l 的方程为 y=x+c, 其中 c= 1-b2.

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?y=x+c, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组? 2 y2 ?x +b2=1, ? +b2)x2+2cx+1-2b2=0. -2c 1-2b2 则 x1+x2= ,x x = .因为直线 AB 的斜率为 1, 1+b2 1 2 1+b2 4 所以|AB|= 2|x2-x1|,即3= 2|x2-x1|. 4?1-b2? 4?1-2b2? 8 8b4 2 2 则9=(x1+x2) -4x1x2= 2 2- 2 = 2 2,解得 b= 2. ?1+b ? 1+b ?1+b ?

化简得(1

错误!
x2 y2 3 10.(12 分)(2011· 陕西)设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为5. (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被 C 所截线段的中点坐标. 16 解 (1)将(0,4)代入 C 的方程得 b2 =1,∴b=4,
2 2 c 3 a -b 9 16 9 又 e=a=5得 a2 =25,即 1- a2 =25,∴a=5,

x2 y2 ∴C 的方程为25+16=1. 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为 y=5(x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y=5(x-3)代入 C 的方程,得 x2 ?x-3? 2 25+ 25 =1,即 x -3x-8=0.
2

4 4 12 ∴x1+x2=3,y1+y2=5(x1+x2-6)=5(3-6)=- 5 . x1+x2 3 y1+y2 6 ∴ 2 =2, 2 =-5. 6? ?3 即中点为?2,-5?. ? ?
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B级

综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

x2 2 1.(★)直线 y=kx+1,当 k 变化时,此直线被椭圆 4 +y =1 截得的最大弦长是 ( 4 3 A.4 B. 3 C.2 D.不能确定 ).

x2 解析 (筛选法)直线 y=kx+1 恒过点(0,1), 该点恰巧是椭圆 4 +y2=1 的上顶点, 椭圆的长轴长为 4, 短轴长为 2, 而直线不经过椭圆的长轴和短轴, 因此排除 A、 C;将直线 y=kx+1 绕点(0,1)旋转,与椭圆有无数条弦,其中必有最大弦长,因 此排除 D.故选 B. 答案 B 【点评】 本题通过运动的观点,得到直线在各种位置下的情形,从而排除错误 选项,得到正确答案,避免了冗长的计算. 2. (2011· 四川)在抛物线 y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,2=2 的两点, x 过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2 =36 相切,则抛物线顶点的坐标为( A.(-2,-9) C.(2,-9) B.(0,-5) D.(1,-6) ).

解析 由已知得抛物线经过(-4,11-4a)和(2,2a-1)两点, 过这两点的割线斜率 k 2a-1-?11-4a? = =a-2. 2-?-4? 于是,平行于该割线的直线方程为 y=(a-2)x+b. 该直线与圆相切,所以 b2 36 2= . 5 1+?a-2?

该直线又与抛物线相切,于是(a-2)x+b=x2+ax-5 有两个相等的根, b2 36 即由方程 x +2x-5-b=0 的 Δ=0 得 b=-6,代入 = , 1+?a-2?2 5
2

注意到 a≠0, a=4.所以抛物线方程为 y=x2+4x-5=(x+2)2-9, 得 顶点坐标为 (-2,-9).
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答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) x2 y2 3. (2012· 揭阳模拟)过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭 圆的另一个交点为 M,与 y 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为 ________. 解析 由题意知 A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为 y=x+a,∴B 点的坐标为(0, 6 ? a a? a),故 M 点的坐标为?-2,2?,代入椭圆方程得 a2=3b2,∴c2=2b2,∴e= 3 . ? ? 答案 6 3

x2 y2 4.(2012· 金华模拟)已知曲线 a - b =1(a· b≠0,且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交 1 1 → OQ → 于 P、Q 两点,且OP· =0(O 为原点),则a-b的值为________. x2 y2 解析 将 y=1-x 代入 a - b =1, 得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设 P(x1,1), 2, y Q(x y2),则 x1+x2= a+ab → → 2a ,x1x2= .OP· =x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)= OQ a-b a-b

2x1x2-(x1+x2)+1. 2a+2ab 2a 所以 - +1=0,即 2a+2ab-2a+a-b=0, a-b a-b 1 1 即 b-a=2ab,所以a-b=2. 答案 2 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)(2012· 株洲模拟)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,△ ABC 的三个顶点都在抛物线上, 且△ABC 的重心为抛物线的焦点, BC 所在直 若 线 l 的方程为 4x+y-20=0. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 O 是坐标原点,P,Q 是抛物线 C 上的两动点,且满足 PO⊥OQ,证明: 直线 PQ 过定点. (1)解 设抛物线 C 的方程为 y2=2mx,
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?4x+y-20=0, 由? 2 得 2y2+my-20m=0, ?y =2mx, ∵Δ>0,∴m>0 或 m<-160. m 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 y1+y2=- 2 , y1? ? y2? m ? ∴x1+x2=?5- 4 ?+?5- 4 ?=10+ 8 . ? ? ? ? ?m ? 再设 A(x3,y3),由于△ABC 的重心为 F? 2 ,0?, ? ?

?x1+x2+x3=m, ? 3 2 则? y +y +y ? 1 32 3=0, ?

?x3=11m-10, ? 8 解得? m ?y3= 2 . ?

?m? ?11m ? ∵点 A 在抛物线上,∴? 2 ?2=2m? 8 -10?. ? ? ? ? ∴m=8,抛物线 C 的方程为 y2=16x. (2)证明 当 PQ 的斜率存在时,设 PQ 的方程为 y=kx+b,显然 k≠0,b≠0,

∵PO⊥OQ,∴kPOkOQ=-1,设 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∴xPxQ+yPyQ=0, 将直线 y=kx+b 代入抛物线方程,得 ky2-16y+16b=0, 16b y2 y2 b2 P Q ∴yPyQ= k .从而 xPxQ= 162 =k2, b2 16b ∴k2+ k =0, ∵k≠0, b≠0, ∴直线 PQ 的方程为 y=kx-16k, 过点(16,0); PQ 当 PQ 的斜率不存在时,显然 PQ⊥x 轴,又 PO⊥OQ, ?y=|x|, ∴△POQ 为等腰三角形,由? 2 ?y =16x, 得 P(16,16),Q(16,-16),此时直线 PQ 过点(16,0), ∴直线 PQ 恒过定点(16,0). 6.(12 分)(2011· 福建)已知直线 l:y=x+m,m∈R, (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方 程; (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′, 问直线 l′与抛物线 C:2=4y 是否相切? x 说明理由.
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解 法一

(1)依题意,点 P 的坐标为(0,m). 0-m ×1=-1, 2-0

因为 MP⊥l,所以

解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2). 从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0?2+?0-2?2=2 2, 故所求圆的方程为 (x-2)2+y2=8. (2)因为直线 l 的方程为 y=x+m, 所以直线 l′的方程为 y=-x-m, ?y=-x-m, 由? 2 得 x2+4x+4m=0. ?x =4y Δ=42-4×4m=16(1-m). (1)当 m=1,即 Δ=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; (2)当 m≠1,即 Δ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 综上,当 m=1 时,直线 l′与抛物线 C 相切;当 m≠1 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 法二 (1)设所求圆的半径为 r, 则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2

?4+m =r , 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m),则?|2-0+m| ? 2 =r,
?m=2, 解得? ?r=2 2. 所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. (2)同法一.

2

2

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活页限时训练 A级 基础达标演练 满分:60 分) (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 表示的是( A.一条直线和一条双曲线 C.两个点 ).

B.两条双曲线 D.以上答案都不对

?x-y=0, 解析 (x-y)2+(xy-1)2=0?? ?xy-1=0, ?x=1, ?x=-1, ∴? 或? ?y=1 ?y=-1. 答案 C 1 ?1 ? 2.(2012· 厦门模拟)已知点 F?4,0?,直线 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过 ? ? B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M, 则点 M 的轨迹是( A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 ).

解析 由已知:|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准 线的抛物线,故选 D. 答案 D → → 3.设 P 为圆 x +y =1 上的动点,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,若PM=λMQ
2 2

(其中 λ 为正常数),则点 M 的轨迹为( A.圆 B.椭圆 C.双曲线

).

D.抛物线

解析 设 M(x,y),P(x0,y0),则 Q(x0,0), → → ?x-x0=λ?x0-x?, 由PM=λMQ得? (λ>0), ?y-y0=-λy ?x0=x, ∴? ?y0=?λ+1?y. 由于 x20+y20=1,∴x2+(λ+1)2y2=1,∴M 的轨迹为椭圆. 答案 B
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4.(2012· 长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为 圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方 程为 ( 4x2 4y2 A. 21 - 25 =1 4x2 4y2 C. 25 - 21 =1 4x2 4y2 B. 21 + 25 =1 4x2 4y2 D. 25 + 21 =1 ).

解析 M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|, ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故 M 的轨迹为椭圆, 5 21 ∴a=2,c=1,则 b2=a2-c2= 4 , 4x2 4y2 ∴椭圆的标准方程为 25 + 21 =1. 答案 D 5.(2011· 湘潭模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是 圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( ).

A.椭圆 B.双曲线

C.抛物线

D.圆

解析 由条件知|PM|=|PF|. ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|. ∴P 点的轨迹是以 O、F 为焦点的椭圆. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) → → y? ? 6.平面上有三个点 A(-2,y),B?0,2?,C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨 ? ? 迹方程是________.

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→ y? y? ? ? 解析 AB=?0,2?-(-2,y)=?2,-2?, ? ? ? ? → y? ? y? ? BC=(x,y)-?0,2?=?x,2?, ? ? ? ? → → → → ∵AB⊥BC,∴AB· =0, BC y? ? y ? ? ? ∴?2,-2?·x,2?=0,即 y2=8x. ? ?? ? ∴动点 C 的轨迹方程为 y2=8x. 答案 y2=8x ? a ? ?a ? 7.(2012· 佛山月考)在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B?-2,0?,C?2,0? ? ? ? ? 1 (a>0),且满足条件 sin C-sin B=2sin A,则动点 A 的轨迹方程是________. |AB| |AC| 1 |BC| 解析 由正弦定理: 2R - 2R =2× 2R , 1 ∴|AB|-|AC|=2|BC|,且为双曲线右支. 16x2 16y2 答案 a2 - 3a2 =1(x>0 且 y≠0) x y 8.直线a+ =1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是______. 2-a x y 解析 (参数法)设直线a+ =1 与 x、y 轴交点为 A(a,0)、B(0,2-a),A、B 中 2-a a a 点为 M(x,y),则 x=2,y=1-2,消去 a,得 x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0, x≠1. 答案 x+y=1(x≠0,x≠1) 三、解答题(共 23 分) 9.(★)(11 分)设圆 C:(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中 点的轨迹方程. 解 法一 直接法.

如图,设 OQ 为过 O 点的一条弦,P(x,y)为其中点,

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?1 ? 则 CP⊥OQ.因 OC 中点为 M?2,0?,连接 PM. ? ? 1 1 1 ? 1? 故|MP|=2|OC|=2,得方程?x-2?2+y2=4,由圆的范围知 0<x≤1. ? ? 法二 定义法. ∵∠OPC=90° , ?1 ? ? 1? ∴动点 P 在以点 M?2,0?为圆心,OC 为直径的圆上,由圆的方程得?x-2?2+y2 ? ? ? ? 1 =4(0<x≤1). 法三 代入法. 设 Q(x1,y1),则

?x=x1, ? 2 ? y1 ? ?y= 2

?x1=2x, ?? 又∵(x1-1)2+y21=1, ?y1=2y.

∴(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1). 法四 参数法. 设动弦 OQ 的方程为 y=kx,代入圆的方程得(x-1)2+k2x2=1. 即(1+k2)x2-2x=0, ∴x= x1+x2 k 1 y=kx= , 消去 k 即可得到(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1). 2 =1+k2, 1+k2

【点评】 本题中的四种解法是求轨迹方程的常用方法,在求轨迹方程时,要注 意挖掘题目中的条件,恰当地选取方法. 10.(12 分)(2012· 苏州模拟)已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; → → (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求RP· 的最小值. RQ 解 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x2=4y. (2)由题意知,直线 l2 方程可设为 y=kx+1(k≠0),
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与抛物线方程联立消去 y,得 x2-4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4. ? 2 ? 又易得点 R 的坐标为?-k,-1?, ? ? → → 2 2 ? ?? ? ? ∴RP· =?x1+k,y1+1?·x2+k,y2+1? RQ ? ?? ? 2?? 2? ? =?x1+k??x2+k?+(kx1+2)(kx2+2) ? ?? ? 4 ?2 ? =(1+k2)x1x2+?k+2k?(x1+x2)+k2+4 ? ? ?2 ? 4 =-4(1+k2)+4k?k+2k?+k2+4 ? ? ? 2 1? =4?k +k2?+8. ? ? 1 ∵k2+k2≥2,当且仅当 k2=1 时取等号, → → → → ∴RP· ≥4×2+8=16,即RP· 的最小值为 16. RQ RQ B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶 点 C 的轨迹方程是( x2 y2 A. 9 -16=1 x2 y2 C. 9 -16=1(x>3) ) x2 y2 B.16- 9 =1 x2 y2 D.16- 9 =1(x>4)

解析 如图|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点, x2 y2 实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为 9 -16=1(x>3). 答案 C 2.|y|-1= 1-?x-1?2表示的曲线是( ).
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A.抛物线 C.两个圆

B.一个圆 D.两个半圆

解析

?|y|-1≥0 2 原方程等价于?1-?x-1? ≥0 ??|y|-1?2=1-?x-1?2

?|y|-1≥0 ?? 2 2 ??x-1? +?|y|-1? =1 ?y≥1 ?y≤-1 ?? 或? 2 2 2 2 ??x-1? +?y-1? =1 ??x-1? +?y+1? =1 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) x2 y2 3.(2012· 开封模拟)已知 P 是椭圆a2+b2=1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦 → → → 点,O 为坐标原点,OQ=PF1+PF2,则动点 Q 的轨迹方程是______________. → → → 解析 由OQ=PF1+PF2, → → → → → 又PF1+PF2=PM=2PO=-2OP, → → 1 1 设 Q(x,y),则OP=-2OQ=-2(x,y) y? ? x =?-2,-2?, ? ? y? ? x 即 P 点坐标为?-2,-2?,又 P 在椭圆上, ? ? ? x ?2 ? y ?2 ?-2? ?-2? ? ? ? ? x2 y2 则有 a2 + b2 =1,即4a2+4b2=1. x2 y2 答案 4a2+4b2=1 4.已知两条直线 l1:2x-3y+2=0 和 l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径 都动)与 l1、l2 都相交,且 l1、l2 被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,则圆心的 轨迹方程是____________.
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解析 设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,点 M 到直线 l1,l2 的距离分别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得,
2 2 ? ?r -d21=169, ?2 r -d21=26, ? 即? 2 ?r -d22=144, ?2 r2-d22=24, ?

消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d22-d21=25, ?3x-2y+3?2 ?2x-3y+2?2 即 - =25. 13 13 化简得(x+1)2-y2=65. 此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程. 答案 (x+1)2-y2=65 三、解答题(共 22 分) x2 5.(10 分)已知双曲线 2 -y2=1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P(x1,y1),Q(x1, -y1)是双曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H(0, h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点, l1⊥l2, 且 求 h 的值. 解 (1)由题设知|x1|> 2,A1(- 2,0),A2( 2,0), 则有直线 A1P 的方程为 y= 直线 A2Q 的方程为 y= y1 (x+ 2),① x1+ 2

-y1 (x- 2).② x1- 2

2 2y1 联立①②解得交点坐标为 x=x ,y= x , 1 1 2 2y 即 x1= x,y1= x ,③ 则 x≠0,|x|< 2. x2 而点 P(x1,y1)在双曲线 2 -y2=1 上, x21 ∴ 2 -y21=1.
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将③代入上式,整理得所求轨迹 E 的方程为 x2 2 2 +y =1,x≠0 且 x≠± 2. (2)设过点 H(0,h)的直线为 y=kx+h(h>1), x2 联立 2 +y2=1 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0. 令 Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0 得 h2-1-2k2=0, 解得 k1= h2-1 2 ,k2= - h2-1 2 .

h2-1 由于 l1⊥l2,则 k1k2=- 2 =-1,故 h= 3. 过点 A1,A2 分别引直线 l1,l2 通过 y 轴上的点 H(0,h),且使 l1⊥l2,因此 A1H⊥ A2H, 由 h ? h? ×?- ?=-1,得 h= 2.此时, 2? 2 ?

l1,l2 的方程分别为 y=x+ 2与 y=-x+ 2, ? 2 2 2? ? 2 2 2? ?与? ?. 它们与轨迹 E 分别仅有一个交点?- , 3 ? ?3, 3 ? ? 3 所以,符合条件的 h 的值为 3或 2. y2 6.(12 分)设椭圆方程为 x2+ 4 =1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,O → → → 1 ?1 1? 为坐标原点,点 P 满足OP=2(OA+OB),点 N 的坐标为?2,2?,当直线 l 绕点 M ? ? 旋转时,求: (1)动点 P 的轨迹方程; → (2)|NP|的最大值,最小值. 解 (1)直线 l 过定点 M(0,1),设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. ?y=kx+1, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,A、B 的坐标满足方程组? 2 y2 ?x + 4 =1. ? 消去 y 得(4+k2)x2+2kx-3=0.
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则 Δ=4k2+12(4+k2)>0. -3 2k ∴x1+x2=- . 2,x1x2= 4+k 4+k2 → → → 1 设 P(x,y)是 AB 的中点,则OP=2(OA+OB),得 k ?x=1?x1+x2?=4+k2, ? 2 ? 1 4+2k2 1 y=2?y1+y2?=2?kx1+1+kx2+1?= ; ? 4+k2 ? 消去 k 得 4x2+y2-y=0. 当斜率 k 不存在时,AB 的中点是坐标原点,也满足这个方程, 故 P 点的轨迹方程为 4x2+y2-y=0. ? 1? 1 (2)由(1)知 4x2+?y-2?2=4 ? ? 1 1 ∴-4≤x≤4 ? 1? ? 1? 而|NP|2=?x-2?2+?y-2?2 ? ? ? ?
2 ? 1?2 1-16x =?x-2? + 4 ? ?

7 ? 1? =-3?x+6?2+12, ? ? → 1 21 ∴当 x=-6时,|NP|取得最大值 6 , → 1 1 当 x=4时,|NP|取得最小值4.

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A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.(2012· 宝鸡联考)为了了解所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的 长度,在这个问题中,200 个零件的长度是( A.总体 C.总体的一个样本 ).

B.个体是每一个零件 D.样本容量

解析 200 个零件的长度是总体的一个样本. 答案 C 2.用随机数表法从 100 名学生(其中男生 25 人)中抽取 20 人进行评教,某男学 生被抽到的概率是( 1 A.100 1 B.25 1 C.5 1 D.4 ).

解析 从容量 N=100 的总体中抽取一个容量为 n=20 的样本,每个个体被抽到 n 1 的概率都是N=5. 答案 C 3.(2012· 濮阳调研)甲校有 3 600 名学生,乙校有 5 400 名学生,丙校有 1 800 名 学生.为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为 90 的样本,应该在这三校分别抽取的学生人数是( A.30,30,30 C.20,30,10 解析 抽取比例是 B.30,45,15 D.30,50,10 90 1 =120,故三校分别抽取的学生人数为 3 3 600+5 400+1 800 ).

1 1 1 600×120=30,5 400×120=45,1 800×120=15. 答案 B 4. 某工厂生产 A, C 三种不同型号的产品, B, 产品的数量之比依次为 3∶4∶7, 现在用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本,样本中 A 型产品有 15 件,那么样 本容量 n 为( ).
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A.50

B.60 C.70

D.80

解析 n× 答案 C

3 =15,解得 n=70. 3+4+7

5. (2011· 青岛二模)(1)某学校为了了解 2010 年高考数学科的考试成绩, 在高考后 对 1 200 名学生进行抽样调查,其中文科 400 名考生,理科 600 名考生,艺术和 体育类考生共 200 名,从中抽取 120 名考生作为样本.(2)从 10 名家长中抽取 3 名参加座谈会.Ⅰ.简单随机抽样法;Ⅱ.系统抽样法;Ⅲ.分层抽样法. 问题与方法配对正确的是( A.(1)Ⅲ,(2)Ⅰ C.(1)Ⅱ,(2)Ⅲ 解析 ).

B.(1)Ⅰ,(2)Ⅱ D.(1)Ⅲ,(2)Ⅱ

通过分析可知,对于(1),应采用分层抽样法,对于(2),应采用简单随机

抽样法. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2012· 太原模拟)体育彩票 000001~100000 编号中,凡彩票号码最后三位数为 345 的中一等奖,采用的抽样方法是________. 解析 系统抽样的步骤可概括为:总体编号,确定间隔,总体分段,在第一段内 确定起始个体编号,每段内规则取样等几步.该抽样符合系统抽样的特点. 答案 系统抽样 7.(2011· 上海)课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、 丙三组,对应的城市数分别为 4,12,8,若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应 抽取的城市数为________. 解析 由已知得抽样比为 答案 2 8.商场共有某品牌的奶粉 240 件,全部为三个批次的产品,其中 A,B,C 三个 批次的产品数量成等差数列,现用分层抽样的方法抽取一个容量为 60 的样本, 则应从 B 批次产品中抽取的数量为________件. 240 解析 A,B,C 三个批次的产品数量成等差数列,其中 B 批次的产品数量是 3
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6 1 1 = ,∴丙组中应抽取的城市数为 8× =2. 24 4 4

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60 1 1 =80(件),由抽取比例是240=4,故 B 批次的产品应该抽取 80×4=20(件). 答案 20 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)(2012· 重庆模拟)某企业共有 3 200 名职工,其中中、青、老年职工的比 例为 5∶3∶2,从所有职工中抽取一个容量为 400 的样本,应采用哪种抽样方法 更合理?中、青、老年职工应分别抽取多少人? 解 由于中、青、老年职工有明显的差异, 采用分层抽样更合理. 按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为: 5 3 2 10×400=200,10×400=120,10×400=80, 因此应抽取的中、青、老年职工分别为 200 人、120 人、80 人. 10.(12 分)一个城市有 210 家百货商店,其中大型商店有 20 家,中型商店有 40 家,小型商店有 150 家.为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 21 的样本,按分层抽样方法抽取样本时,各类百货商店要分别抽取多少家?写 出抽样过程. 解 ∵21∶210=1∶10, 20 40 150 ∴10=2,10=4, 10 =15. ∴应从大型商店中抽取 2 家, 从中型商店中抽取 4 家, 从小型商店中抽取 15 家. 抽样过程: 21 1 (1)计算抽样比210=10; (2)计算各类百货商店抽取的个数: 20 40 150 10=2,10=4, 10 =15; (3)用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取 2 家、4 家、15 家; (4)将抽取的个体合在一起,就构成所要抽取的一个样本. B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟

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一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.某校共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随 机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( ).

一年级 女生 男生 A.24 B.18 C.16 D.12 373 377

二年级 x 370

三年级 y z

x 解析 设二年级女生的人数为 x,则由2 000=0.19,得 x=380,即二年级的女生 有 380 人,那么三年级的学生的人数应该是 2 000-373-377-380-370=500, 即总体中各个年级的人数比例为 3∶3∶2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学 2 生人数为 64×8=16. 答案 C 2.(2012· 成都月考)为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编号 依次为 1 到 50 的袋装奶粉中抽取 5 袋进行检验,用每部分选取的号码间隔一样 的系统抽样方法确定所选取的 5 袋奶粉的编号可能是( A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 B.2,4,8,16,32 D.7,17,27,37,47 ).

解析 利用系统抽样,把编号分为 5 段,每段 10 个,每段抽取一个,号码间隔 为 10,故选 D. 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(2011· 舟山模拟)为了了解某校高中学生的近视眼发病率,在该校学生中进行 分层抽样调查,已知该校高一、高二、高三分别有学生 800 名、600 名、500 名, 若高三学生共抽取 25 名,则高一年级每一位学生被抽到的概率是________. 解析 无论高几, 每一位学生被抽到的概率都相同,故高一年级每一位学生被抽 25 1 到的概率为500=20.
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1 答案 20 4.某单位 200 名职工的年龄分布情况如右图,现要 从中抽取 40 名职工作样本.用系统抽样法,将全体职 工随机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组 (1~5 号,6~10 号,?,196~200 号).若第 5 组抽出 的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是________.若用 分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取________人. 解析 ∵间距为 5,第 5 组抽 22 号,∴第 8 组抽出的号码为 22+5(8-5)=37,40 40 岁以下职工人数为 100 人,应抽取200×100=20(人). 答案 37 20

三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)(2012· 开封模拟)某公路设计院有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人, 要从这些人中抽取 n 个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样 和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果参会人数增加 1 个,则在采用系统 抽样时,需要在总体中先剔除 1 个个体,求 n. 解 总体容量为 6+12+18=36. 36 n 当样本容量是 n 时,由题意知,系统抽样的间隔为 n ,分层抽样的比例是36,抽 n n n n n n 取的工程师人数为36×6=6,技术员人数为36×12=3,技工人数为36×18=2, 所以 n 应是 6 的倍数,36 的约数,即 n=6,12,18.

当样本容量为(n+1)时,总体容量是 35 人,系统抽样的间隔为 须是整数,所以 n 只能取 6.即样本容量 n=6.

35 35 ,因为 必 n+1 n+1

6.(12 分)(2010· 广东)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调 查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如下表所示:

文艺节目

新闻节目

总计

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20 至 40 岁 大于 40 岁 总计

40 15 55

18 27 45

58 42 100

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应 该抽取几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的 概率. 解 (1)因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目,而大于 40 岁的 42 名观众中有 27 名观众收看新闻节目,所以,经直观分析,收看新闻节目 的观众与年龄是有关的. 27 3 (2)应抽取大于 40 岁的观众人数为45×5=5×5=3(名). (3)用分层抽样方法抽取的 5 名观众中,20 至 40 岁有 2 名(记为 Y1,Y2),大于 40 岁有 3 名(记为 A1, 2, 3).5 名观众中任取 2 名, A A 共有 10 种不同取法: 1Y2, 1A1, Y Y Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3,A1A2,A1A3,A2A3. 设 A 表示随机事件“5 名观众中任取 2 名,恰有 1 名观众年龄为 20 至 40 岁”, 则 A 中的基本事件有 6 种: Y1A1,Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3, 6 3 故所求概率为 P(A)=10=5.

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A级

基础达标演练

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

满分:60 分)

1.(2011· 重庆)从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克): 125,120,122,105,130,114,116,95,120,134, 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 4 解析 数据落在[114.5,124.5)内的有: 120,122,116,120 共 4 个, 故所求频率为10= 0.4. 答案 C 2.(2012· 银川模拟)样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均 值为 1,则样本方差为( A. 6 5 6 B.5 C. 2 ). ).

D.2 a+0+1+2+3 =1,解得 a=-1,所以 5

解析 由题可知样本的平均值为 1,所以

1 样本的方差为5[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2. 答案 D 3.(2011· 厦门质检)某工厂对一批产品进行了抽样检测,如图是根据抽样检测后 的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是 [96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106], 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并 且小于 104 克的产品的个数是( ).

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A.90 B.75 C.60

D.45

解析 产品净重小于 100 克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300, 设样本容量为 n, 36 则 n =0.300, 所以 n=120, 净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的频率 为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120×0.75=90. 答案 A 4.(2011· 安庆模拟)如图是根据某校 10 位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶 图, 其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字,右边的 数字表示学生身高的个位数字,从图中可以得到这 10 位同学身高的中位数是 ( ).

A.161 cm C.163 cm

B.162 cm D.164 cm 161+163 =162(cm). 2

解析 由给定的茎叶图可知,这 10 位同学身高的中位数为 答案 B

5.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下 表:

甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5

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乙的成绩 环数 频数 7 6 8 4 9 4 10 6

丙的成绩 环数 频数 7 4 8 6 9 6 10 4

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有 ( A.s3>s1>s2 C.s1>s2>s3 解析 ∵ x 甲= B.s2>s1>s3 D.s2>s3>s1 ?7+8+9+10?×5 =8.5, 20 20 ).

2 2 2 2 2 5×[?7-8.5? +?8-8.5? +?9-8.5? +?10-8.5? ] s1=

=1.25, x 乙=

?7+10?×6+?8+9?×4 =8.5, 20 20

2 2 2 2 2 6×[?7-8.5? +?10-8.5? ]+4×[?8-8.5? +?9-8.5? ] s2=

=1.45, x 丙=

?7+10?×4+?8+9?×6 =8.5, 20 20

2 2 2 2 2 4×[?7-8.5? +?10-8.5? ]+6×[?8-8.5? +?9-8.5? ] s3= 2 =1.05.由 s2>s2>s3,得 s2>s1>s3. 2 1

答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6. 在如图所示的茎叶图中, 乙两组数据的中位数分别是________, 甲、 ________.

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解析 由茎叶图可知,甲图中共有 9 个数,分别为 28,31,39,45,42,55,58,57,66, 其中位数为 45;乙图中共有 9 个数分别为 29,34,35,48,42,46,53,55,67 其中位数为 46. 答案 45 46

7.(2011· 哈尔滨模拟)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行 投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表:

学生 甲班 乙班

1号 6 6

2号 7 7

3号 7 6

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2=________. 解析 甲班数据的平均值为 7, ?6-7?2+02+02+?8-7?2+02 2 方差 s甲= =5; 5
2

乙班数据的平均值为 7, 方差 s2 = 乙 ?6-7?2+02+?6-7?2+02+?9-7?2 6 =5, 5

2 所以 s2=s2 =5. 甲 2 答案 5 8.(2011· 浙江)某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3 000 名学生中随机 抽取 200 名, 并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布 直方图(如图).根据频率分布直方图推测,这 3 000 名学生在该次数学考试中成 绩小于 60 分的学生数是________.

解析 根据样本的频率分布直方图, 成绩小于 60 分的学生的频率为(0.002+0.006 +0.012)×10=0.20, 所以可推测 3 000 名学生中成绩小于 60 分的人数为 600 名.
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答案 600 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)(2011· 新课标全国)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值 越大表明质量越好, 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新 配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验, 各生产了 100 件这种产品, 并测量了每 件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值 分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8

B 配方的频数分布表 指标值 分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10

(1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式

?-2,t<94, 为 y=?2,94≤t<102, ?4,t≥102.
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润. 22+8 解 (1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 100 =0.3,所 以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 32+10 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 100 =0.42,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42. (2)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94,由试验结果知,质量指标值 t≥94 的频率为 0.96.所以用 B 配方生产的一 件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96.
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用 B 配方生产的产品平均一件的利润为 1 100×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元). 10.(12 分)某市统计局就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据 画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点,不包括右端点, 如第一组表示[1 000,1 500))

(1)求居民收入在[3 000,3 500)的频率; (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (3)为了分析居民的收入与年龄、 职业等方面的关系, 必须按月收入再从这 10 000 人中按分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析,则月收入在[2 500,3 000)的这段 应抽取多少人? 解 (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为 0.000 3×(3 500-3 000)=0.15. (2)∵0.000 2×(1 500-1 000)=0.1, 0.000 4×(2 000-1 500)=0.2, 0.000 5×(2 500-2 000)=0.25, 0.1+0.2+0.25=0.55>0.5, 所以,样本数据的中位数为 2 000+ 0.5-?0.1+0.2? =2 000+400=2 400(元). 0.000 5

(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频数为 0.25×10 000=2 500(人),从 10 000 人中 100 用分层抽样方法抽出 100 人,则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取10 000×2 500=25(人).

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B级

综合创新备选

(时间:30 分钟

满分:40 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2012· 湖州质检)对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查,所得样本的频率 分布直方图如图所示,由图可知,这一批电子元件中使用寿命在 100~300 h 的 电子元件的数量与使用寿命在 300~600 h 的电子元件的数量的比是( ).

1 A.2

1 B.3

1 C.4

1 D.6

解析 寿命在 100~300 h 的电子元件的频率为 3 ? 4 1 ? 1 ?2 000+2 000?×100= = ; 20 5 ? ? 寿命在 300~600 h 的电子元件的频率为 1 3 ? 4 ? 1 ?400+250+2 000?×100= . 5 ? ? 1 4 1 ∴它们的电子元件数量之比为5∶5=4. 答案 C 2.(2012· 太原质检)一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每 一个数据都加上 60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是 ( A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6 D.62.8,3.6 解析 平均数增加,方差不变. 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
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).

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3.(2011· 青岛模拟)某校开展“爱我青岛,爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参 赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示. 记分员在去掉一个最高分和一个最低分后, 算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清, 若记分员计算无误,则数字 x 应该是________.

解析

当 x≥4 时 ,

89+89+92+93+92+91+94 640 = 7 ≠91 , ∴x < 4 , 则 7

89+89+92+93+92+91+x+90 =91,∴x=1. 7 答案 1 4.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据 的平均数为 10,方差为 2,则 x2+y2 的值为________. 1 1 解析 由5(x+y+10+11+9)=10,5[(x-10)2+(y-10)2+0+1+1]=2,联立解 得,x2+y2=208. 答案 208 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)某制造商 3 月生产了一批乒乓球,随机抽取 100 个进行检查,测得每 个球的直径(单位:mm),将数据进行分组,得到如下频率分布表: 分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计 频数 10 20 50 20 100 频率

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(1)补充完成频率分布表(结果保留两位小数),并在上图中画出频率分布直方图; (2)若以上述频率作为概率,已知标准乒乓球的直径为 40.00 mm,试求这批乒乓 球的直径误差不超过 0.03 mm 的概率; (3)统计方法中, 同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点 值是 40.00)作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数). 解 (1)频率分布表如下: 分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计 频率颁布直方图如图: 频数 10 20 50 20 100 频率 0.10 0.20 0.50 0.20 1

(2)误差不超过 0.03 mm,即直径落在[39.97,40.03]内, 其概率为 0.2+0.5+0.2=0.9. (3)整体数据的平均值为 39.96×0.10+39.98×0.20+40.00×0.50+40.02×0.20= 40.00(mm). 6. 分)(2010· (12 安徽)某市 2010 年 4 月 1 日~4 月 30 日对空气污染指数的监测数 据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75 ,71,49,45. 样本频率分布表: 分组 [41,51) 频数 2 频率 2 30

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[51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111] (1)完成频率分布表; (2)作出频率分布直方图;

1 4 6 10

1 30 4 30 6 30 10 30

2

2 30

(3)根据国家标准,污染指数在 0~50 之间时,空气质量为优;在 51~100 之间 时, 为良; 101~150 之间时, 在 为轻微污染; 151~200 之间时, 在 为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 解 (1)频率分布表: 分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111] (2)频率分布直方图: 频数 2 1 4 6 10 5 2 频率 2 30 1 30 4 30 6 30 10 30 5 30 2 30

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(3)答对下述两条中的一条即可: 1 ①该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平,占当月天数的15.有 26 天处 13 14 于良的水平,占当月天数的15.处于优或良的天数共有 28 天,占当有月数的15. 说明该市空气质量基本良好. 1 ②轻微污染有 2 天,占当月天数的15.污染指数在 80 以上接近轻微污染的天数有 17 15 天,加上处于轻微污染的天数,共有 17 天,占当月天数的30,超过 50%.说明 该市空气质量有待进一步改善.

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活页限时训练 A级 基础达标演练

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

满分:60 分)

1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是( A.正方体的棱长与体积 B.单位面积的产量为常数时,土地面积与总产量 C.日照时间与水稻的亩产量 D.电压一定时,电流与电阻

).

解析 A、B、D 中两个变量间的关系都是确定的,所以是函数关系;C 中的两 个变量间是相关关系,对于日照时间一定的水稻,仍可以有不同的亩产量,故选 C. 答案 C 2.(2012· 石家庄调研)下列结论正确的是( ①函数关系是一种确定性关系; ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. A.①② 解析 B.①②③ C.①②④ D.①②③④ ).

由回归分析的方法及概念判断.

答案 C 3.(2011· 莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数 据得“吸烟与患肺癌有关”的结论, 并且有 99%以上的把握认为这个结论是成立 的,则下列说法中正确的是( ).

A.100 个吸烟者中至少有 99 人患有肺癌 B.1 个人吸烟,那么这人有 99%的概率患有肺癌 C.在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人 D.在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析 统计的结果只是说明事件发生可能性的大小, 具体到一个个体不一定发生.
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答案 D 4.(2011· 陕西)设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直 线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确 的是( ).

A.直线 l 过点( x , y ) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 解析 由样本的中心( x , y )落在回归直线上可知 A 正确;x 和 y 的相关系数表 示为 x 与 y 之间的线性相关程度,不表示直线 l 的斜率,故 B 错;x 和 y 的相关 系数应在-1 到 1 之间,故 C 错;分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对 平均,即无论样本点个数是奇数还是偶数,故 D 错. 答案 A 5.(2011· 山东)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时 销售额为( A.63.6 万元 C.67.7 万元 解析 y= x= ). B.65.5 万元 D.72.0 万元

4+2+3+5 =3.5(万元), 4

49+26+39+54 =42(万元), 4

^ ^ ∴a= y -b x =42-9.4×3.5=9.1, ^ ∴回归方程为y=9.4x+9.1,
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^ ∴当 x=6(万元)时,y=9.4×6+9.1=65.5(万元). 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已知 x、y 的取值如下表: x y 0 2.2 1 4.3
^

3 4.8

4 6.7

从所得的散点图分析,y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则 a=________. 解析 因为回归方程必过样本点的中心(x,y),解得 x=2,y=4.5,将(2,4.5)代入 y=0.95x+a 可得 a=2.6. 答案 2.6 7.某高校“初步统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数 据如下表: 专业 性别 男 女 非统计专业 13 7 统计专业 10 20
^

为了判断 主修 统计专 业是否与 性别 有关系 ,根据表 中的 数据, 得到 K2 = 50×?13×20-10×7?2 ≈4.844,因为 K2≥3.841,所以判定主修统计专业与性别 23×27×20×30 有关系,那么这种判断出错的可能性为________. 答案 5% 8.(2011· 辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单 位:万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数 ^ 据得到 y 对 x 的回归直线方程:y=0.254x+0.321,由回归直线方程可知,家庭 年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加________万元. 解析 由题意,知其回归系数为 0.254,故家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支 出平均增加 0.254 万元. 答案 0.254 三、解答题(共 23 分)
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9.(11 分)(2012· 天津模拟)在某地区的 12~30 岁居民中随机抽取了 10 个人的身 高和体重的统计资料如表: 身高(cm) 体重(kg) 143 41 156 49 159 61 172 79 165 68 171 69 177 74 161 69 164 68 160 54

根据上述数据,画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系. 解 以 x 轴表示身高,y 轴表示体重,可得到相应的散点图如图所示:

由散点图可知,两者之间具有相关关系,且为正相关. 10.(12 分)某种产品的广告费支出 x 与消费额 y(单位:百万元)之间有如下对应 数据: x y (1)画出散点图; (2)求线性回归方程; (3)预测当广告费支出为 700 万元时的销售额. 解 (1)散点图如图所示. 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

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(3)当 x=7(百万元)时,y=6.5×7+17.5=63(百万元). ∴当广告费支出 7 百万元时,销售额约为 63 百万元. B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2011· 合肥二检)已知数组(x1,y1),(x2,y2),?,(x10,y10)满足线性回归方程 ^=bx+a,则“(x ,y )满足线性回归方程y=bx+a”是“x =x1+x2+?+x10, ^ y 0 0 0 10 y1+y2+?+y10 y0= ”的( 10 A.充分不必要条件 C.充要条件 ). 满分:40 分)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

^ 解析 x0,y0 为这 10 组数据的平均值,又因为线性回归方程y=bx+a 必过样本 中心( x , y ),因此( x , y )一定满足线性回归方程,但满足线性回归方程的除 了( x , y )外,可能还有其他样本点. 答案 B 2.在第 29 届奥运会上,中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩,稳居世 界金牌榜榜首, 由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列,也有许多人持反 对意见.有网友为此进行了调查,在参加调查的 2 548 名男性公民中有 1 560 名 持反对意见,2 452 名女性公民中有 1 200 人持反对意见,在运用这些数据说明
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中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时,用什么方法最有说服力 ( A.平均数与方差 C.独立性检验 B.回归直线方程 D.概率 ).

解析 由于参加讨论的公民按性别被分成了两组, 而且每一组又被分成了两种情 况:认为有关与无关,故该资料取自完全随机统计,符合 2×2 列联表的要求, 故用独立性检验最有说服力. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(2011· 东北四校联考(二))某小卖部为了了解热茶销售量 y(杯)与气温 x(℃)之间 的关系,随机统计了某 4 天卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 杯数 18 24 13 34 10 38 -1 64

^ 由表中数据算得线性回归方程y=bx+a 中的 b≈-2,预测当气温为-5 ℃时, 热茶销售量为________杯(已知回归系数

1 1 解析 根据表格中的数据可求得 x =4×(18+13+10-1)=10, y =4×(24+34 +38+64)=40(杯). ∴a= y -b x =40-(-2)×10=60, ^ ∴y=-2x+60,当 x=-5 时, ^=-2×(-5)+60=70(杯). y 答案 70 4.(2012· 石家庄模拟)某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用过血清的人与另外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较, 提出
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假设 H0 :“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用 2×2 列联表计算得 K2≈3.918, 经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中, 正确结论的序号 是________. ①有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”; ②若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95%的可能性得感冒; ③这种血清预防感冒的有效率为 95%; ④这种血清预防感冒的有效率为 5%. 解析 因为 K2≈3.918≥3.841,而 P(K2≥3.814)≈0.05,所以有 95%的把握认为 “这种血清能起到预防感冒的作用”. 要注意我们检验的是假设是否成立和该血 清预防感冒的有效率是没有关系的,不是同一个问题,不要混淆. 答案 ① 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)(2012· 佛山模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分 为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表. 优秀 甲班 乙班 合计 2 已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为7. (1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据, 若按 95%的可靠性要求, 能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的 序号.试求抽到 6 号或 10 号的概率. n?ad-bc?2 附 K= , ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

非优秀

总计

10 30 105

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解 (1) 优秀 甲班 乙班 合计 (2)根据列联表中的数据,得到 105×?10×30-20×45?2 k= ≈6.109>3.841, 55×50×30×75 因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. (3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点 数为(x,y),则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、?、(6,6),共 36 个. 事件 A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4), 8 2 共 8 个,∴P(A)=36=9. 6.(12 分)(2010· 辽宁)为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积, 选 200 只家兔做试验,将这 200 只家兔随机地分成两组,每组 100 只,其中一组 注射药物 A,另一组注射药物 B.表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的试 验结果(疱疹面积单位:mm2). 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 [60,65) 30 [65,70) 40 [70,75) 20 [75,80) 10 10 20 30 非优秀 45 30 75 总计 55 50 105

表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 [60,65) 10 [65,70) 25 [70,75) 20 [75,80) 30 [80,85) 15

(1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小; 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

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注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

(2)完成下面 2×2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱 疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3: 疱疹面积 小于 70 mm2 注射药物 A 注射药物 B 合计 解 (1)如图所示. 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 a= c= 疱疹面积不 小于 70 mm2 b= d= n=

合计

注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

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可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间,而注射药物 B 后 的疱疹面积的中位数在 70 至 75 之间,所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小 于注射药物 B 后疱疹面积的中位数. (2)表 3: 疱疹面积小于 70 mm2 注射药物 A 注射药物 B 合计
2

疱疹面积不小于 70 mm2 b=30 d=65 95

合计

a=70 c=35 105

100 100 n=200

200×?70×65-35×30?2 K= ≈24.56. 100×100×105×95 由于 K2>6.635, 所以有 99%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

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A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.如图,A、B、C、D 为四个村庄, 要修筑三条公路,将这四个村庄连接起来, 则不同的修筑方案共有( ).

A.8 种 C.16 种

B.12 种 D.20 种

解析 修筑方案可分为两类, 一类是“折线型”,用三条公路把四个村庄连在一 1 条曲线上(如图(1),A-B-C-D),有2A4种方法;另一类是“星型”,以某一个 4 村庄为中心,用三条公路发散状连接其他三个村庄(如图(2),A-B,A-C,A- D),有 4 种方法.共有 12+4=16 种方法.

图(1) 答案 C

图(2)

2.(2012· 汕头模拟)如图,用 6 种不同的颜色把 图中 A、B、C、D 四块区域分开,若相邻区域 不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有( A.400 种 C.480 种 B.460 种 D.496 种 ).

解析 从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种,C 有 4 种,D、A 同色 1 种,D、A 不同色 3 种,∴不同涂法有 6×5×4×(1+3)=480(种),故选 C. 答案 C 3.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要 求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安
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排方法共有( A.20 种

). C.40 种 D.60 种

B.30 种

2 解析 分三类:甲在周一,共有 A4种排法; 2 甲在周二,共有 A3种排法;甲在周三,共有 A2种排法; 2 2 2 ∴A4+A2+A2=20. 3

答案 A 4.(2011· 西安模拟)三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢, 经过 5 次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( A.6 种 B.8 种 C.10 种 D.16 种 ).

解析 如下图,甲第一次传给乙时有 5 种方法,同理,甲传给丙也可以推出 5 种情况,综上有 10 种传法,故选 C.

答案 C 5.(2012· 杭州五校联考)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构 成一个“平行线面组”. 在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶 点的平面构成的“平行线面组”的个数是( A.60 B.48 C.36 D.24 ).

解析 长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6×6=36 个,另含 4 个顶点 的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”有 6×2=12 个,共 36+12=48 个,故 选 B. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2012· 泉州模拟)将数字 1,2,3,4,5,6 按第一行 1 个数,第二行 2 个数,第三行 3 个数的形式随机排列,设 Ni(i=1,2,3)表示第 i 行中最大的数,则满足 N1<N2< N3 的所有排列的个数是________.(用数字作答)
1 解析 由已知数字 6 一定在第三行,第三行的排法种数为 A3A2=60;剩余的三 5

个数字中最大的一定排在第二行,第二
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1 行的排法种数为 A2A1=4,由分步计数原理满足条件的排列个数是 240. 2

答案 240 7.(2012· 马鞍山质检)数字 1,2,3,?,9 这九个数字填写在如图的 9 个空格中,要 求每一行从左到右依次增大, 每列从上到下也依次增大,当数字 4 固定在中心位 置时,则所有填写空格的方法共有________种.

4

解析 必有 1、4、9 在主对角线上,2、3 只有两种不同的填法,对于它们的每 一种填法,5 只有两种填法.对于 5 的每一种填法,6、7、8 只有 3 种不同的填 法,由分步计数原理知共有 22×3=12 种填法. 答案 12 8.8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单 循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获 胜者角逐冠、亚军,败者角逐第 3、4 名,大师赛共有________场比赛. 解析 小组赛共有 2C2场比赛;半决赛和决赛共有 2+2=4 场比赛;根据分类计 4 数原理共有 2C2+4=16 场比赛. 4 答案 16 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)(2012· 深圳模拟)如右图所示三组平 行线分别有 m、n、k 条,在此图形中 (1)共有多少个三角形? (2)共有多少个平行四边形? 解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的,由分步计

数原理知共可构成 m· k 个三角形. n· (2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的,由分类和 分步计数原理知共可构成 C2 C2+C2C2+C2C2 个平行四边形. m n n k k m 10.(12 分)如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色, 要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色 方法共有多少种?
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解 先涂 A、D、E 三个点,共有 4×3×2=24 种涂法,然后再按 B、C、F 的顺 序涂色, 分为两类: 一类是 B 与 E 或 D 同色, 共有 2×(2×1+1×2)=8 种涂法; 另一类是 B 与 E 或 D 不同色,共有 1×(1×1+1×2)=3 种涂法.所以涂色方法 共有 24×(8+3)=264(种). B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1. (2012· 福州模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践, 但去何工厂可自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有( A.16 种 B.18 种 C.37 种 D.48 种 ).

解析 三个班去四个工厂不同的分配方案共 43 种,甲工厂没有班级去的分配方 案共 33 种,因此满足条件的不同的分配方案共有 43-33=37(种). 答案 C 2.(2011· 全国高考)4 位同学从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选 修课程甲的不同选法有( A.12 种 B.24 种 ). D.36 种

C.30 种

解析 分三步, 第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲. 共有 C2种不同选法, 4 第二步给第 3 位同学选课程,有 2 种选法.第三步给第 4 位同学选课程,也有 2 种不同选法.故共有 C2×2×2=24(种). 4 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(2010· 上海理)从集合 U={a,b,c,d}的子集中选出 4 个不同的子集,需同 时满足以下两个条件: (1)?,U 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A?B 或 A?B.那么,共有________种不 同的选法.
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解析 将选法分成两类.第一类:其中一个是单元素集合,则另一集合为两个或 三个元素且含有单元素集合中的元素,有 C1×6=24(种). 4 第二类:其中一个是两个元素集合,则另一个是含有这两个元素的三元素集合, 有 C2×2=12(种). 4 综上共有 24+12=36(种). 答案 36 4.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则报名方法的种数为 ________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),获得冠军的可能性有 ________种. 解析 报名的方法种数为 4×4×4×4×4=45(种).获得冠军的可能情况有

5×5×5×5=54(种). 答案 45 54

三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)现安排一份 5 天的工作值班表,每天有一个人值班,共有 5 个人,每 个人都可以值多天班或不值班, 但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共 有多少种不同的排法? 解 可将星期一、二、三、四、五分给 5 个人,相邻的数字不分给同一个人. 星期一:可分给 5 人中的任何一人,有 5 种分法; 星期二:可分给剩余 4 人中的任何一人,有 4 种分法;星期三:可分给除去分到 星期二的剩余 4 人中的任何一人,有 4 种分法; 同理星期四和星期五都有 4 种不同的分法,由分步计数原理共有 5×4×4×4×4 =1 280 种不同的排法. 6.(12 分)(2012· 太原月考)已知集合 A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f 是从 A 到 B 的映射. (1)若 B 中每一元素都有原象,这样不同的 f 有多少个? (2)若 B 中的元素 0 必无原象,这样的 f 有多少个? (3)若 f 满足 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的 f 又有多少个? 解 (1)显然对应是一一对应的,即为 a1 找象有 4 种方法,a2 找象有 3 种方法, a3 找象有 2 种方法,4 找象有 1 种方法, a 所以不同的 f 共有 4×3×2×1=24(个).
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(2)0 必无原象, 1,2,3 有无原象不限, 所以为 A 中每一元素找象时都有 3 种方法. 所 以不同的 f 共有 34=81(个). (3)分为如下四类: 第一类,A 中每一元素都与 1 对应,有 1 种方法; 第二类, 中有两个元素对应 1, A 一个元素对应 2, 另一个元素与 0 对应, C2· 1 有 4 C2 =12 种方法; 第三类,A 中有两个元素对应 2,另两个元素对应 0,有 C2· 2=6 种方法; 4 C2 第四类, 中有一个元素对应 1, A 一个元素对应 3, 另两个元素与 0 对应, C1· 1 有 4 C3 =12 种方法. 所以不同的 f 共有 1+12+6+12=31(个).

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