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吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数与定积分应用(4)学案 理


导数与定积分(尖刀班)(4)
【探究 11】 利用导数证明不等式 思路提示 利用导数证明不等式常用的方法是构造辅助函数, 通过构造辅助函数将不等式的证明问 题转化为函数的单调性证明或函数的最值问题. 例 18 设 a 为实数,函数 f ? x ? ? e ? 2x ? 2a, x ? R
x

(1)求 f ? x ? 的单调区间与极值;

(2)求证:当 a ? ln 2 ? 1 且 x ? 0 时 e x ? x 2 ? 2ax ? 1
x 2

分析 构造辅助函数 g ? x ? ? e ? x ? 2ax ?1 ,转化为证明函数在 ? 0, ? ? ? 上恒大于0. 解析 (1)由 f ? x ? ? e ? 2x ? 2a( 知 f ? x ? ? e ? 2 ? x ? R ? ,令 f ? ? x ? ? 0 得 , x ? R)
x
x

x ? ln 2 ,于是当 x 变化时, f ? x ?,f ? ? x ? 的变化如表 3-12 所示

x
f ? ? x?
f ? x?
最小值, f ? ln 2? ? e
x ln2

? ??,
?
?

ln 2?

表 3-12

ln 2
0 极小值

?ln 2,
?
?

? ??

故 f ? x ? 的单调减区间是 ? ??, ln 2? ,单调增区间是 ? ln 2, ? ?? , f ? x ? 在 x ? ln 2 处取得

? 2ln 2 ? 2a ? 2 ?1 ? ln 2 ? a ? .
x

(2)设 g ? x ? ? e ? x ? 2ax ?1, x ? R ,于是 g? ? x ? ? e ? 2x ? 2a, x ? R .由(1)
2

知当 a ? ln 2 ? 1时, g? ? x ? 的最小值为 g? ? 2? ? 2 ?1 ? ln 2 ? a ? ? 0 .于是对任意 x ? R ,都 有 g? ? x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在R上单调递增,于是当 a ? ln 2 ? 1 时,对 x ? ? 0, ??? 都有
x 2 x 2 2 x ?? 1 0 , 而 g ? 0? ? 0 , 从而 g ? x ? ? 0 , 即 e ?x ? a 故 e ? x ? 2ax ? 1. g ? x ? ? g ? 0? ,

评注 一般地,要证 f ? x ? ? g ? x ? , x ? ? 0, ??? ,在区间I上恒成立,构造辅助函数

F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,通过分析 F ? x ? 的单调性,从而求出 F ? x ? 在I上的最小值,只要
能证明 F ? x ?min ? 0 ,就可证明 f ? x ? ? g ? x ? . 变式1 设 a ? 0, f ? x ? ? x ?1 ? ln x ? 2a ln x
2

? x ? 0? . (1)令 F ? x ? ? xf ? ? x ? ,讨论 F ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上的单调性并求极值;
2 (2)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2ax ? 1

变式 2 已知函数 f ? x ? ? ax ?

y ? x ?1.
(1)用 a 表示出 b, c ;

b ? c ? a ? 0 ? 的图象在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 x

(2)若 f ? x ? ? ln x 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围.

1 1 1 n ? ? ? ? ? ln ? n ? 1? ? ? n ? 1, n ? N * ? 2 3 n 2 ? n ? 1? ln x ? k 变式 3 (2012 山东理 22)已知函数 f ( x) ? ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对 ex 数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值;
(3)证明: 1 ?
1

(Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? ( x2 ? x) f '( x) ,其中 f '( x ) 为 f ( x ) 的导函数.证明:对任意

x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .
三.方法提升 1.用定义求导数的步骤 (1) 求函数的改变量 ; (2) :求平均变化率 (3) 、取极限 (2) 导数物理意义与几何意义 (3) 求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则; (4) 求切线方程时已知点是否切点至关重要。 2、求参数范围的方法:①分离变量法;②构造(差)函数法. 3、构造函数法是证明不等式的常用方法:构造时要注意四变原则:变具体为抽象,变常量 为变量,变主元为辅元,变分式为整式. 4、通过求导求函数不等式的基本思路是:以导函数和不等式为基础,单调性为主线,最(极 值)为助手,从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. 四、反思感悟:

五、课后作业(1) 一、选择题 ( 06 江西)对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ? x ?1? f ?( x) ≥ 0 ,则必有(D) 1.

A. f (0) ? f (2) ? 2 f ?1? C. f (0) ? f (2) ≥ 2 f ?1?

B. f (0) ? f (2) ≤ 2 f ?1? D. f (0) ? f (2) ? 2 f ?1?

2. 设函数 f ( x) , g ( x) 在 ? a, b? 上均可导,且 f ?( x) ? g?( x) ,则当 a ? x ? b 时,有(C)

A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) C . f ( x) ? g ( a ) ? g ( x ) ? f ( a ) D. f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b) 3、 f ( x ) 的导函数 y ? f ?( x ) 的图象如图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是(C)

4、

f0 ( x) ? sin x , f1 ( x) ? f0 ?( x) , f 2 ( x) ? f1?( x) ,?, fn?1 ( x) ? fn ?( x) , n ? N ,则 =(A)
2

A. sin x

B. ? sin x

C. cos x

D. ? cos x

5、若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为(A)

A. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; B. x ? 4 y ? 5 ? 0 ; C. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; D. x ? 4 y ? 3 ? 0
1 x 2

6、曲线 y ? e

2 在点 4, e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D)

?

?

A.

9 2 e 2

B. 4e 2

C. 2e 2

D. e 2

二、填空题: ( 07 届高三皖南八校联考)已知 f ( x) ? x ? 2 xf ?(2) ,则 f ?(2) ? 7、
2

-4

,则 f ?( x) ? 8、已知 f ( x) ? xe 三、解答题: 9、求下列函数的导数:

1?cos x

?1?

y ? ?1 ? sin x ? ;
2

? 2? y ?

1 1 ? x2



? 3? y ? ln

x2 ? 1 ;

? 4? y ?

ex ? 1 ; ex ?1

? 5? y ? sin 2 ? ? 2x ?
?

??

?; 3?

? 6?

y ? ex ? ln x

? 7 ? y ? 1 ? cos x ;

sin x

?8? y ? ? x 2 ? 1? ? sin x ? x ? cos x

10.设,点 P(t,0)是函数 与函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点 P 处有相同的 切线。 (1)用 t 表示 a,b,c; (2)若函数 G(x)在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围。

3

(湖北文)已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是 y ? 11、

1 x ? 2 ,求 2

f (1) ? f ?(1) ? 3
(天津)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. 12、

?1? 讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数的 f ( x) 的极大值还是极小值;(大,小)

? 2 ? 过点 A(0,16) 作曲线 y ?
(a=1,b=0)

f ( x) 的切线,求此切线方程.(y=9x+16)

13.f(x)=lnx-ax ,x∈(0,1] (1)若 f(x)在区间(0,1]上是增函数,求 a 范围; (2)求 f(x)在区间(0,1]上的最大值. (1)∵y=f(x)在(0,1 ]上增 f ' ( x ) ? 0 在(0 ,1 ]上恒成立 即
1 1 ? 2ax 2 1 1 1 f ' ( x ) ? ? 2 ax ? ? 2ax ? 0 在(0,1 ]上恒成立 a ? a ? 得 (2) x x x 2 2x 2

2

1)若 a≤0 时, f ' ( x ) ?

1 ? 2ax 2 ? 0 ∴y=f(x)在(0,1 ]上单调递增 x

f(1)max=-a

14.设函数 f(x)=(1+x) -2ln(1+x) (1)若定义域内存在 x0,使得不等式 f(x0)-m≤0 成立,求实数 m 的最小值; (2)g(x)=f(x)-x -x-a 在区间[0,3]上恰有两个不同的零点,求 a 范围. 解析: (1)存在 x0 使 m≥f(x0)min
2

2

4

f ' ( x ) ? 2(1 ? x ) ?

2 x ( x ? 2) 2 ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

令 f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

∴y=f(x)在(-1,0)上单减,在(0,+ ? )单增 f(0)min=1 ∴m≥1 ∴mmin=1 (2)g(x)=x+1-a-2ln(1+x)在[0,3]上两个零点 ? x+1-2ln(1+x)=a 有两个交点 令 h(x)=x+1-2ln(1+x)
h' ( x ) ? 0 ? x ? 1

h' ( x ) ? 1 ?
h' ( x ) ? 0 ? x ? 1

2 x ?1 ? x ?1 x ?1

∴y=f(x)在[0,1]上单减,(1,3]上单增, h(0)=1-2ln1=1, h(1)=2-2ln2 h(3)=4-2ln4 ∴2-ln2<a≤1
1 1 15、已知函数 f ( x) ? ln( ? ax) ? x 2 ? ax ( a 为常数, a ? 0 ). 2 2 1 (Ⅰ)若 x ? 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值;(a=2) 2
1 (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [ , ??) 上是增函数; 2

1 (Ⅲ)若对任意 的 a ? (1,2) ,总存在 .. ..x0 ? [ 2 ,1] ,使不等式成立,求实数 m 的取范围.
1 1 解析: (Ⅲ),则(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 [ , ??) 上是增函数,所以存在 x0 ? [ ,1] ,使不等 .. 2 2

1 式成立,m<( x0 ? [ ,1] ),=+- ,设 u(a)=+-,求出函数 u(a)在 a ? (1,2)上的最小值, m< 即 2

可. u’ (a)= ,因为 a ? (1,2) ,所以 u’ (a),所以是 u’ (a)减函数,= ,所以 m .

5


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