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高三数学第二轮复习专题三:立体几何


高三第二轮复习专题三:立体几何
一、选择题、填空题的一些常考问题
㈠投影问题
1.如图:正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、 D1D、DA的中点,则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是(
A1 K A B C L D A D E

) D1
<

br />H B1 F G

C1

C B

2.如图,点 O 为正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的中心,点 E 为面 B?BCC ? 的中心,点 F 为 B?C ? 的中点,则空间四边形 D?OEF 在该正方体的面上的正投影可能是 (填出所有可 能的序号) .

D?

C?
B?
O FA E C ① B ② ③ ④

A?
A

A

D A

㈡三视图与直观图
3.已知 ?ABC 的斜二测直观图是边长为 2 的等边 ?A1B1C1 ,那么原 ?ABC 的面积为______.
4. 一个多面体中某一条棱的正视图、 侧视图、 俯视图长度分别为 a, b, c , 则这条棱长为______.

5.如图,三棱柱的侧棱长为 2,底面是边长为 1 的正三角形, AA1 ? 面A1 B1C1 ,正视图是长 为 2,宽为 1 的矩形,则该三棱柱的侧视图(或左视图)的面积为( A. 3 C. 1 B. 2 3 D. )
A1 C1 B1

3 2

C A B

6.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2 的正三角形,俯视图是直径为 2 的圆,则 此几何体的外接球的表面积为 .

理数专题三:立体几何·第 1 页(共 21 页)

7.如图,一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方 形与一个正三角形构成的相同的图形, 俯视图是一个半径 为 3 的圆(包括圆心) .则该组合体的表面积等于( A. 15? C. 21? B. 18? D. 24?
正视图、侧视图
俯视图

2 3
?

)

㈢空间点、线、面的位置关系
8.下列命题不正确 的是( ... )

A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直; B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行; C.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行; D.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直. 9.已知 p :直线 a 与平面 ? 内无数条直线垂直, q :直线 a 与平面 ? 垂直.则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

10.已知 m, n 是两条直线,? , ? 是两个平面,给出下列命题:①若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ∥? ; ②若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ?∥? ;③若 n, m 为异面直线

n ? ? , n∥? , m ? ? , m∥? ,则 ?∥? .其中正确命题的个数是(
A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 ) 11.已知直线 m, n 和平面 ? ,则 m //n 的一个必要非充分条件是( A. m //? 且 n // ? C. m //? 且 n ? ? 12.下列命题中,真命题是 B. m ? ? 且 n ? ?

) D. 0 个

D. m, n 与 ? 所成角相等 (将真命题前面的编号填写在横线上) .

①已知平面 ? 、 ? 和直线 a 、 b ,若 ? ? ? ? a , b ? ? 且 a ? b ,则 ? ? ? . ②已知平面 ? 、? 和两异面直线 a 、b ,若 a ? ? ,b ? ? 且 a // ? ,b // ? ,则 ? // ? . ③已知平面 ? 、 ? 、 ? 和直线 l ,若 ? ? ? , ? ? ? 且 ? ? ? ? l ,则 l ? ? . ④已知平面 ? 、 ? 和直线 a ,若 ? ? ? 且 a ? ? ,则 a ? ? 或 a // ? .

理数专题三:立体几何·第 2 页(共 21 页)

㈣空间几何体的表面积与体积
13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.2 B.1 ) D.

2 C. 3
2

1 3

2

3

3

2 正视图

2 侧视图 图1

俯视图

(第 13 题图)

(第 14 题图) )

14.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( A.9 ? B.10 ? C. 11 ? D. 12 ?

15.一个底部水平放置的几何体,下半部分是圆柱,上半部分是正四棱锥,其三视图如图所 示,则这个几何体的体积 V ? ( A. 54? ? 30 B. 69? ) C. 66? D. 54? ? 24

5

5

20

6 6

6
30

6

正视图

侧视图

(第 15 题图)
俯视图

(第 16 题图)

16.某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形 组成,根据图中标出的尺寸(单位:cm)可求得隔离墩的体积为 .

17.正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 、 F 分别在边 AB 、 BC 上,且 AE ? 1 , BF ?

1 ,将 2


此正方形沿 DE 、 DF 折起,使点 A 、C 重合于 P ,则三棱锥 P ? DEF 的体积是( A.

1 3

B.

5 6

C.

2 3 9

D.

2 3

理数专题三:立体几何·第 3 页(共 21 页)

18.如图所示,有一中心角为 90°的扇形 AOB,扇形中的圆弧 AB 所 对的弦 AB 把扇形分为两个部分,如果这两个部分分别绕 AO 旋转 一周所得的两个旋转体的体积分别为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 为( A. 4 ; B. 2 2 ; C. 2 ; ) D. 1 .
(第 18 题图)

19.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm ,则球的表面积是( A. 8?cm2 ; B. 12?cm2 ; C. 16?cm2 ;



D. 20?cm2 .

20.球的表面积扩大为原来的 4 倍,则它的体积扩大为原来的______倍.

二、解答题的一些常考问题
㈠平行与垂直的证明 ㈡空间角的求解 ㈢空间几何体的表面积与体积 ㈣点到面的距离
?ACB ? 90? , 21. 已知斜三棱柱 ABC ? A 1 B 1C 1 的底面是直角三角形, 侧棱与底面所成角为 ? ,
点 B 1 在底面上的射影 D 落在 BC 上. (1)求证: AC ? 平面 B B1C1C ;

1 (2)若 cos? ? ,且当 AC ? BC ? AA 1? 3 时, 3
求二面角 C ? AB ? C1 的大小. (第 21 题图) 22.如图,在三棱锥 A ? BCD 中, ?ABC ? ?BCD ? ?CDA ? 90? , AC ? 6 3, BC ? CD ? 6 , 设顶点 A 在底面 BCD 上的射影为 E . (1)求证: CE ? BD ; (2)设点 G 在棱 AC 上,且 CG ? 2GA ,试求二面角
C ? EG ? D 的余弦值.
E D G A

B

C

理数专题三:立体几何·第 4 页(共 21 页)

23. 如图,四边形 ABCD 中(图 1 ) , E 是 BC 的中点, DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 ,

AB ? AD ? 2. 将(图 1)沿直线

D

C
D

A C

BD 折起,使二面角 A ? BD ? C 为
60 0 (如图 2) .
(1)求证: AE ? 平面 BDC ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角 的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离.
B
图1 B 图2

A

E
E

(第 23 题图)

24.如图,已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径,A 是半圆周上不同于 B,C 的点,又 DC ⊥面 ABC,四边形 ACDE 为梯形,DE//AC,且 AC=2DE,DC=2,二面角 B—DE—C 的大小为θ , tan ? ?

3 . 4
(第 24 题图)

(1)证明:面 ABE⊥面 ACDE; (2)求四棱锥 B—ACDE 的体积.

25.如图,在六面体 ABCDEFG 中,面 ABC ∥面 DEFG , AD ⊥面 DEFG , AB ? AC ,

ED ? DG , EF ∥ DG .且 AB ? AD ? DE ? DG ? 2 , AC ? EF ? 1 .
(1)求证: BF ∥平面 ACGD ; (2)求二面角 D ? CG ? F 的余弦值; (3)求多面体 ABCDEFG 的体积.

26.如图,△ABC 的外接圆⊙ O 的半径为 5 ,CD ? ⊙ O 所在的平面,BE//CD,CD=4,

21 BC=2,且 BE=1, cos ?AEB ? . 21
(1)求证:平面 ADC ? 平面 BCDE; (2)求几何体 ABCDE 的体积; (3)试问线段 DE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与 平面 ACD 所成角的正弦值为

D

C

E

2 ?若存在,确定点 7

A

O

B

M 的位置,若不存在,请说明理由.
理数专题三:立体几何·第 5 页(共 21 页)

27.一个几何体是由圆柱 ADD1 A1 和三棱锥 E ? ABC 组合而成,点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆 周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,如图所示,其中 EA ? 平面 ABC , AB ? AC , AB ? AC , AE ? 2 . (1)求证: AC ? BD ; (2)求二面角 A ? BD ? C 的平面角的大小. E
C A1
1

E

E

O B

A

A1

O

A

A

D1
1

D D1

D

正 (主) 视图

侧(左)视图

28.如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ? 与平面 ABCD 互相垂直,如图 2. (1)求证:平面 BDE ? 平面 BEC ; (2)求平面 ABCD 与平面 EFB 所成锐二面角的大小.

1 CD ? 1 .现以 2 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF

(第27题图)

E

E

D

C
F
D
C

F

A
图1

B
(第28题图)

A

B
图2

29. 如图, 已知 E ,F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、CD 的中点,EF 与 AC 交于点 O ,PA 、

NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 4 , NC ? 2 , M 是线段 PA 上一动点.
(1)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (2)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (3)当 M 是 PA 中点时,求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.
理数专题三:立体几何·第 6 页(共 21 页)

30.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 2 , AF ? 1 ,M E 是线段 EF 的中点 (1)求证: AM ∥平面 BDE ; (2)求二面角 A ? DF ? B 的大小; (3)在线段 AC 上是否存在点 P ,使得 PF 与 CD 所 成的角是 60 ?
D A
?

M · C

F B

31 . 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形, AA 1 ? 底面ABCD,

AD ? 1, AB ? 2 , E、 F 分别是侧棱 BB1 、 BE ? 1 , CF ? 2 , ?BAD ? 600 , CC1 上一点,
平面 AEF 与侧棱 DD1 相交于 G . (1)证明: 平面AEFG ? 平面BB1 C1C ; (2)求线段 CG 与平面 AEFG 所成角的正弦值; (3)求以 C 为顶点,四边形 AEFG 在对角面

D1 A1
G
D A E

B1

C1 F

BB1 D1 D 内的正投影为底面边界的棱锥的
体积.

C
B

32.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如右图所示,其中正(主)视图与侧(左)视为直角三 角形,俯视图为正方形. (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)若 E 是侧棱 PA 上的动点.问: 不论点 E 在 PA 的任何位置上, 是否都有 BD ? CE ?请证明你 的结论? (3)求二面角 D—PA—B 的余弦值.

理数专题三:立体几何·第 7 页(共 21 页)

理数专题三:立体几何参考答案
一、选择题、填空题的一些常考问题
1.B; 6. 2.①②; 7.C; 12. ②③④; 3. 2 6 ; 8.D; 13. C; 18. D; 4.

a 2 ? b2 ? c 2 ; 2

5.A; 10.B; 15. D; 20.8 .

16? ; 3

9.B; 14. D; 19. B;

11. D; 16.

11000 ? cm3 ; 17. B; 3

二、解答题的一些常考问题
21. (1)∵点 B 1 在底面上的射影 D 落在 BC 上,∴ B1D ? 平面 ABC ,

AC ? 平面 ABC ,∴ B1 D ? AC 又∵ ?ACB ? 90? ∴ BC ? AC , B1 D I BC ? D ,


AC ?





BB1C1C .…………………………………………………………………………4 分

(2)以 C 为原点, CA 为 x 轴, CB 为 y 轴,过 C 点且垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系,则 A(3, 0, 0) , B(0,3, 0) , C1 (0, ?1,2 2) , AB ? (?3,3,0) ,

uu u r

uuu r BC1 ? (0, ?4,2 2)













ABC









n ? (0,0,1) .………………………………7 分

uuu r ? ? ?m ? AB ? 0 ??3x ? 3 y ? 0 设平面 ABC1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,由 ? uuu ,即 ? , r ? 4 y ? 2 2 z ? 0 ? m ? BC ? 0 ? ? 1 ?

m ? ( 2, 2,2) ,…………………………………………………………………………
……12 分 ∴ cos ? n, m ?? 14 分
22. (1)方法一:由 AE ? 平面 BCD 得 AE ? CD ,又 AD ? CD ,

2 ? n, m ?? 45? , , ∴二面角 C ? AB ? C1 的大小是 45? . ……………… 2



CD ?





AED





C

?

D D E ,……………………………………………………… 3分
同理可得 CB ? BE ,则 BCDE 为矩形,又 BC ? CD , 则 BCDE 为正方形,故 CE ? BD .………………………………………………………6 分 方法二:由已知可得 AB ? BD ? AD ? 6 2 ,设 O 为 BD 的中点,则 AO ? BD, CO ? BD , 则 BD ? 平面 AOC ,故平面 BCD ? 平面 AOC ,则顶点 A 在底面 BCD 上的射影 E 必
理数专题三:立体几何·第 8 页(共 21 页)

在 OC ,故 CE ? BD . (2)方法一:由(1)的证明过程知 OD ? 平面 AEC ,过 O 作 OF ? EG ,垂足为 F ,则易证得

DF ? EG ,故 ?OFD 即为二面角 C ? EG ? D 的平面角,…………………………………9 分 CG ?2 3, 由已知可得 AE ? 6 ,则 AE 2 ? AG ? AC ,故 EG ? AC ,则 OF ? 2
又 OD ? 3 2 ,则 DF ? 30 ,故 cos ?OFD ?

10 , 5

即二面 角 C ? EG ? D 的余弦值为

10 .………………………………………………………14 分 5

方法二:由 (1)的证明过程知 BCDE 为正方形,如图建立坐标系, 则 E (0,0,0), D(0,6,0), A(0,0,6), B(6,0,0), C(6,6,0) , 得 G(2, 2, 4) ,则 ED ? (0,6,0), EG ? (2, 2, 4) ,易知面 CEG 的一个法向量为 BD ? (?6,6,0) ,

uuu r

uuu r

uuu r

r uuu r ? r n ? ED ?0 r ? 设平面 DEG 的一个法向量为 n ? ( x, y,1) ,则由 ? r uuu 得 n ? (?2,0,1) , r ? ?n ? EG ? 0 uuu r r uuu r r 10 BD ? n 10 则 cos BD, n ? uuu ,即二面角 C ? EG ? D 的余弦值为 . r r ? 5 5 BD ? n

23. (1) 如图取 BD 中点 M, 连接 AM, ME. 因 AB ? AD ? 2. ? AM ? BD . …………………… 1分 因 DB ? 2 ,DC ? 1, BC ? 5 满足:DB 2 ? DC 2 ? BC 2 ,所以 ?BCD 是 BC 为斜 边的直

BD ? DC , 因 E 是 BC 的中点,所以 ME 为 ?BCD 的中位线 ME // 角三角形,
? ME ? BD , ME ?
…… 2 分

1 CD , 2

1 ,……………………………………………………………… 2

? ?AME A ? BD ? C 是 二 面 角 的 平 面 角 0 ? ?AME = 60 ,………………………………3 分 ? AM ? BD , ME ? BD 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线, ? AE ? ? BD ? 平面AEM 平 面 AEM? BD ? AE .………………………………………4 分 1 因 AB ? AD ? 2. , DB ? 2 ? ?ABD 为等腰直角三角形,? AM ? BD ? 1 , 2
理数专题三:立体几何·第 9 页(共 21 页)

AE 2 ? AM 2 ? ME 2 ? 2 AM ? ME ? cos?AME ? 1 ?


1 1 3 3 ? 2 ? 1 ? ? cos60? ? ? AE ? 4 2 4 2

? AE 2 ? ME 2 ? 1 ? AM 2 ? AE ? ME ,………………………………………………
……6 分

? BD ? ME, BD ? 面BDC, ME ? 面BDC ? AE ? 平面BDC .…………………
………7 分 (2) 如图, 以 M 为原点 MB 为 x 轴, ME 为 y 轴, 建立空间直角坐标系, ……………………… 8分 则由 (1) 及已知条件可知 B(1,0,0), E (0, ,0) ,A(0, ,

1 2

1 3 ) ,D (?1,0,0) ,C (?1,1,0) , 2 2

1 3 AB ? (1,? ,? ), CD ? (0,?1,0), …………………………………………………… 2 2
………9 分 设
cos? ?




?



线

AB



CD









?

,



AB ? CD AB ? CD

1 2 ? 2 ,……………11 分 2 2 ?1

由 AD ? (?1,? ,?

1 3 ), CD ? (0,?1,0), 可知 n ? ( 3,0,?2) 满足, 2 2 是 平 面 ACD 的 一 n n ? AD ? 0, n ? CD ? 0,







量, …………………………………12 分 记点 B 到平面 ACD 的距离 d,则 AB 在法向量 n 方向上的投影绝对值为 d, 则

d?

AB ? n n







d?

? 3 ? ? 0 ? ?? 2?
2

3 ?0? 3

?

2

2 21 .…………………………………14 分 7

24. (1)∵ BC 是圆 O 的直径,点 A 在圆周上,∴ ?BAC ? 90? ,∴ BA ? AC . ∵ DC ? 面 ABC , BA ? 面 ABC ,∴ DC ? BA . 又∵ AC ? DC ? C , AC ? 面 ACDE , DC ? 面 ACDE ,∴ BA ? 面 ACDE . ∵ BA ? 面 ABE ,∴面 ABE ? 面 ACDE . (2) V ?

3 7 . 8

25.解法一:向量法
理数专题三:立体几何·第 10 页(共 21 页)

(1)由已知,AD、DE、DG 两两垂直,建立如图的坐标系,则 A(0,0,2) ,B(2,0, 2) , C(0,1,2) ,E(2,0,0) ,G(0,2,0) ,F(2,1,0) ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ BF ? CG ,所以 BF∥CG.又 BF ? 平面 ACGD,故 BF//平面 ACGD. ?? ??? ? (2) FG ? (0, 2,0) ? (2,1,0) ? (?2,1,0) ,设平面 BCGF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , ?? ??? ? ?? ? n ? CG ? y ? 2z ? 0 ? 1 则 ? ?? ??? , 令 y ? 2 , 则 n1 ? (1, 2 , 1) , 而 面 ADGC 的 法 向 量 ? n ? FG ? ? 2 x ? y ? 0 ? ? 1 ?? ? ? , n2 ? i ? (1, 0, 0 )
∴ BF ? (2,1,0) ? (2,0, 2) ? (0,1, ?2) , CG ? (0, 2,0) ? (0,1, 2) ? (0,1, ?2) ,

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1?1 6, ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? = ? 2 2 2 2 2 2 6 | n1 | ? | n2 | 1 ? 2 ?1 ? 1 ? 0 ? 0
故二面角 D-CG-F 的余弦值为

6 . 6

(3)设 DG 的中点为 M,连接 AM、FM,则 V = V三棱柱ADM-BEF +V三棱柱ABC-MFG =

1 1 DE ? S△ADM ? AD ? S△MFG = 2 ? ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ?1 = 4 . 2 2

解法二:几何法 (1)设 DG 的中点为 M,连接 AM、FM,则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边 形, 所以 MF//DE,且 MF=DE 又∵AB//DE,且 AB=DE ∴MF//AB,且 MF=AB, ∴四边形 ABMF 是平行四边形,即 BF//AM,又 BF ? 平面 ACGD,故 BF//平面 ACGD. (2)由已知 AD⊥面 DEFG∴DE⊥AD ,DE⊥DG 即 DE⊥面 ADGC , ∵MF//DE, 且 MF=DE , ∴MF⊥面 ADGC. 在平面 ADGC 中, 过 M 作 MN⊥GC, 垂足 为 N,连接 NF,则显然∠MNF 是所求二面角的平面角. ∵在四边形 ADGC 中, AD⊥AC, AD⊥DG, AC=DM=MG=1, ∴ CD ? CG ? 5 , ∴MN= ?

2 5 2 5 .在直角三角形 MNF 中,MF=2,MN ? , 5 5
2 6 MF = = 5 ,cos ?MNF = , 故二面角 D-CG-F 的余弦 6 MN 2 5 5

∴ tan ?MNF =

理数专题三:立体几何·第 11 页(共 21 页)

值为

6 . 6
1 1 2 ? ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ?1 = 4 . 2 2

(3) V多面体ABC-DEFG = V三棱柱ADM-BEF +V三棱柱ABC-MFG = DE ? S△ADM ? AD ? S△MFG =

26. (1) ∵CD ⊥平面 ABC, BE// CD, ∴BE⊥平面 ABC, ∴BE⊥AB. ………………………… 1分 ∴

cos ?AEB ?

BE 21 ? AE 21

. ∵ BE=1 , ∴

AE ? 21 , 从 而

AB ? AE2 ? BE2 ? 2 5 .2 分
∵ ⊙

O

的 半 径 为

5

, ∴ AB

是 直 径 , ∴ AC ⊥

BC.…………………………………………3 分 又∵CD ⊥平面 ABC,∴CD⊥BC,故 BC⊥平面 ACD.

? BC ?





BCDE









ADC

?





BCDE.…………………………………………5 分 (2) 由 (1) 知:AC ? 6分 ……………………………………………………… AB2 ? BC 2 ? 4 ,

V ABCDE ?
………9 分

1 1 1 1 20 S BCDE ? AC ? ? ( BE ? CD ) ? BC ? AC ? ? (1 ? 4) ? 2 ? 4 ? . 3 3 2 6 3

(3)方法一:假设点 M 存在,过点 M 作 MN⊥CD 于 N,连结 AN,作 MF⊥CB 于 F, 连结 AF. ∵面 ADC ? 面 BCDE, ∴MN⊥面 ACD, ∴∠MAN 为 MA 与面 ACD 所成的角. …… 10 分 设 MN ? x , 计算易得 DN= 11 分 故 AM ?

3 3 x, MF= 4 ? x , ………………………………………… 2 2

3 AF 2 ? MF 2 ? AC 2 ? CF 2 ? MF 2 ? 16 ? x 2 ? (4 ? x)2 , 2
MN ? AM x 16 ? x 2 ? (4 ? 3 2 x) 2 ? 2 ,…………………………………… 7

sin ?MAN ?

理数专题三:立体几何·第 12 页(共 21 页)

……12 分 解得:x ? ? (舍去) 或x? 13 分 故

8 3

4 , ………………………………………………………… 3

MN ?

2 CB 3

, 从 而 满 足 条 件 的 点

M

存 在 , 且

DM ?

2 DE .…………………………14 分 3
方法二:建立如图所示空间直角坐标系 C—xy z,则:A(4,0,0) ,B(0,2,0) , D(0,0,4) ,E(0,2,1) ,O(0,0,0) ,则 DE ? (0, 2, ?3) .………………………

??? ?

10 分 易知平面 ABC 的法向量为 OB ? (0, 2,0) ,

??? ?

假设 M 点存在,设 M (a, b, c) ,则 DM ? (a, b, c ? 4) ,再设 DM ? ? DE, ? ? (0,1]

???? ?

???? ?

??? ?

?a ? 0 ?a ? 0 ???? ? ? ? ? ?b ? 2? ? ?b ? 2? ( 2 , 4 , 3 ?) ? ? , , 即 M0 从而 AM ? (?4, 2?, 4 ? 3?) . … ?c ? 4 ? ?3? ?c ? 4 ? 3? ? ?
11 分 设直线 BM 与平面 ABD 所成的角为 ? ,则:

???? ? ??? ? sin ? ? cos AM , OB ?
……12 分 解

2? ? 2 2? 16 ? 4? 2 ? (4 ? 3? ) 2

?

2 ,…………………………… 7



? ? ? 或? ? ,………………………………………………………………………13 分
其中 ? ? ? ? (0,1] 应舍去,而 ? ? 故 满 足 条 件 的 点 M

4 3

2 3

4 3

2 ? (0,1] , 3
存 在 , 且 点 M 的 坐 标 为

4 (0, , 2) .……………………………………14 分 3
27.方法 1:
理数专题三:立体几何·第 13 页(共 21 页)

( 1 )因为 EA ? 平面ABC , AC ? 平面ABC ,所以 EA ? AC ,即 ED ? AC .又因为 AC ? AB , AB ? ED ? A , 所以 AC ? 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD , 所以 AC ? BD . ……… 4分 (2)因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径.设圆 O 的半径

1 ? 2rh ? r ? 2 ? 10, ? ? 2 为r, 圆柱高为 h , 由正 (主) 视图、 侧 (左) 视图的面积可得,? … ?2rh ? 1 ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2
6分 解 得

? r ? 2, ? ? h ? 2.







BC ? 4



AB ? AC ? 2 2 .……………………………………………7 分
过点 C 作 CH ? BD 于点 H , 连接 AH , 由 (1) ,AC ? BD ,AC ? CH ? C , ∴ BD ? 面

ACH .∵ AH ? 面 ACH ,∴ BD ? AH .∴ ?AHC 为二面角 A ? BD ? C 的平面
角.…9 分 由(1)知, AC ? 平面 ABD , AH ? 平面 ABD ,∴ AC ? AH ,即△ CAH 为直 角三角形. 在 Rt △ BAD 中 , AB ? 2 2 , AD ? 2 , 则 BD ? AB2 ? AD2 ? 2 3 . 由

AB ? AD ?


B? D , AH


AH ?

2 6 3







t

?AHCa?

AC ? n .………………………………………… 3 13 分 AH D 的 C 平 面 角 大 小 为 所 以 ?A H C? 60? . 所 以 二 面 角 A ? B ?

60? .………………………14 分
方法 2: (1)因为点 A 、 B 、C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径.设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,由正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

1 ? 2rh ? r ? 2 ? 10, ? ? 2 …2 分 ? ?2rh ? 1 ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2
理数专题三:立体几何·第 14 页(共 21 页)





? r ? 2, ? ? h ? 2.







BC ? 4



AB ? AC ? 2 2 .……………………………………………3 分
以点 D 为原点, DD1 、 DE 所在的射线分别为 x 轴、 z 轴建立如图的空间直角坐标 系 D ? xyz ,则 D ? 0,0,0? , D1 ? 4,0,0? , A? 0,0,2? , B ? 2,2,2? , C ? 2, ?2,2? , ∴

??? ? DB ? ? 2, 2, 2 ? .…………………………………………………………5 分 ??? ? ??? ? ∵ , ∴ . AC ? DB AC ? DB ? (2,?2,0) ? (2,2,2) ? 0
AC ? BD .………………………9 分
(2) 设 n ? ? x, y, z ? 是平面 BCD 的法向量, 因为 BC ? ? 0, ?4,0 ? , 所以 ? 取

???? AC ? ? 2, ?2,0 ?

, ∴

??? ?

??4 y ? 0, , ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0.
一 个 法 向

z ? ?1





平 n ? ?1 ,? ? 0 是 , 1 面

BCD



量.…………………………………11 分 由(1)知, AC ? BD ,又 AC ? AB , AB ? BD ? B ,所以 AC ? 平面 ABD . 所 以

???? AC ? ? 2 ? ,

?

2是 , 平0



ABD











量.…………………………………………12 分

???? ???? ???? ???? n ? AC 2 1 因为 cos n, AC ? ? ,所以 n, AC ? 60? .而 n, AC 等于 ???? ? 2?2 2 2 n ? AC
二面角

A ? BD ? C 的 平 面 角 , 所 以 二 面 角 A ? BD ? C 的 平 面 角 大 小 为

60? .…………………14 分 28. (1) (法一) ∵面 ADEF ? 面 ABCD , 且面 ADEF ? 面 ABCD ? AD , 又在正方形 ADEF
中,

ED ? AD



∴ 平 面 中 ,

ED ?





A

B C D .…………………………………………………………… 2分


BC ?

A
,

B



C

∴ D , ∴

ED ? BC .…………………………………………………………3 分
在 直 角 梯 形
2 2

ABCD

CD ? 2

BD ? AB2 ? AD2 ? 2


BC ? (CD ? AB ) ? AD ? 2 ,


BD2 ? BC 2 ? CD 2

BC ? BD .………………………………………………………4 分
又 ED ,BD ? 平面 BDE ,ED ? BD ? D , ∴ BC ? 平面 BDE . ……………………… 6分
理数专题三:立体几何·第 15 页(共 21 页)

而 (

BC ?
法 二



面 )

BEC
同 法

, 一



平 ,

面 得

B

D ?

E 平


面 面

BEC .……………………………………………7 分
ED ?

A

B C D .…………………………………………………… 2分
DA , DE 分别为 x ,y z 轴, DC , 以 D 为原点, 建立空间直角坐标系. 则 D(0 , 0 , 0) ,

B(1 , 1 , 0)



C (0 , 2 , 0)



E (0 , 0 , 1) .…………………………………………………………3 分
∴ BC ? (?1 , 1 , 0) , DB ? (1 , 1 , 0) , DE ? (0 , 0 , 1) , ∴ BC ? DB ? (?1) ?1 ? 1?1 ? 0 ? 0 ? 0 , BC ? DE ? (?1) ? 0 ? 1? 0 ? 0 ?1 ? 0 , ∴

BC ? DB



BC ? DE .……………………………………………………………………5 分 又 DB ,DE 不共线,DB ,DE ? 面 BDE , ∴ BC ? 平面 BDE . ………………………
6分 而

BC ?





BEC









B

D ?

E 平



BEC .……………………………………………7 分
(2) (法一) ∵ EF // AD ,EF ? 面 ABCD ,AD ? 面 ABCD , ∴ EF // 面 ABCD . ……… 9分 ∵面 EFB 与面 ABCD 有公共点 B ,∴可设面 EFB ? 面 ABCD ? BG , G ? CD . ∵ EF // 面 ABCD ,EF ? 面 EFB , 面 EFB ? 面 ABCD ? BG , ∴ EF // BG . ……… 10 分

CD =2 , 从而 BG // AD , 又 AB // DG , 且 AB ? 1 , ∴G 为CD 中点,ABGD 为正方形. …
12 分 易知 BG ? 面 ECD ,∴ BG ? EG , BG ? DG .∴ ?EGD 是平面 ABCD 与平面

EFB 所成
锐二面角的平面角,而 ?EGD ? 45? , ∴ 平 面

A

B

C与 D 平



EFB















45 ? .…………………………………………14 分
(法二) 由 (1) 知, 平面 ABCD 的一个法向量是 m ? (0 , 0 , 1) . ………………………… 9分 设平面 EFB 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ,因为 EF ? DA ? (1 , 0 , 0) ,

? ?n ? EF ? x ? 0 , , EB ? DB ? DE ? (1 , 1 , 0) ? (0 , 0 , 1) ? (1 , 1 , ?1) ,∴ ? ? n ? EB ? x ? y ? z ? 0 . ?


y ?1





z ?1







n ? (0 , 1 , 1) .………………………………………………………11 分
理数专题三:立体几何·第 16 页(共 21 页)

设面 ABCD 与面 EFB 所成锐二面角为 ? ,则 cos? ? 13 分 ∴ 平 面

m?n 1 2 .……… ? ? | m || n | 2 2
成 锐 二 面 角 为

A

B

C与 D 平



EFB



45 ? .……………………………………………14 分
29.解法 1:几何法 (1)连结 BD ,∵ PA ? 面 ABCD , BD ? 面 ABCD ,∴PA ? BD ,又∵ BD ? AC ,

AC ? PA ? A ,
F 分别是 BC 、 CD 的中点, ∴BD ? 面 PAC , 又∵ E , ∴EF // BD , ∴EF ? 面 PAC ,


EF ?



NEF







PAC ?



NEF .……………………………………………………4 分
(2)连结 OM ,∵ PC // 平面 MEF ,平面 PAC ? 平面 MEF ? OM ,∴PC // OM , ∴

PM OC 1 ? ? PA AC 4





P

:

?

M 1 M : A .……………………………………………………… 8分

3

(3)∵ EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴EF ? OM ,在等腰三角形 NEF 中,点

O 为 EF
的中点, ∴NO ? EF , ∴?MON 为所求二面角 M ? EF ? N 的平面角, ……………… 10 分 ∵点 M 是 PA 的中点,∴AM ? NC ? 2 , ∴在矩形 MNCA 中, 可求得 MN ? AC ? 4 2 ,NO ? 6 ,MO ? 22 , …………… 12 分 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 cos ?MON ? ∴ 二 面 角

MO2 ? ON 2 ? MN 2 33 , ?? 2 ? MO ? ON 33
F 的 N 余
弦 值 为

M?

?E

?

33 .…………………………………………………14 分 33
解法 2: ( 1 ) 同 解 法

1;………………………………………………………………………………………4 分 (2)建立如图所示的直角坐标系,则 P(0, 0, 4) , C (4, 4,0) , E (4, 2,0) , F (2, 4,0) , ∴PC ? (4, 4, ?4) , EF ? (?2,2,0) ,

??? ?

??? ?

设点 M 的坐标为 (0,0, m) , 平面 MEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则M E ? (4 ,2 , ? m ) ,
理数专题三:立体几何·第 17 页(共 21 页)

?

????

? ???? ? n ?4 x ? 2 y ? mz ? 0 6 6 ? ? ? ME ? 0 ∴ ? ? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? ,故 n ? (1,1, ) , ? m m ??2 x ? 2 y ? 0 ? ?n ? EF ? 0 ??? ? ? 24 ? 0 ,解得 m ? 3 , ∵PC // 平面 MEF ,∴PC ? n ? 0 ,即 4 ? 4 ? m 故 AM ? 3 , 即 点 M 为 线 段 PA 上 靠 近 P 的 四 等 分 点 ; 故 PM : MA ? 1: 3 .………………8 分 ?? ???? ??? ? ?? ? N ?0 ?m ?E (3)N (4, 4, 2) , 则 EN ? ( , 设平面 NEF 的法向量为 m ? ( x, y, z) , 则 ? ?? ??? , 0 , 2 , 2 ) ? F ?0 ? ?m ?E
即?

?? ?2 y ? 2 z ? 0 ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? ?1 ,即 m ? (1,1, ?1) , ??2 x ? 2 y ? 0
?

当 M 是 PA 中点时, m ? 2 ,则 n ? (1,1,3) ,∴cos ? m, n ?? ∴ 二 面 角

?? ?

1?1? 3 33 , ?? 33 3 ? 11
弦 值 为

M?

?E

F 的

N 余

?

33 .…………………………………………………14 分 33

30 . ( 1 ) 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.……………………………………………………………………1 分 2 2 2 2 设 AC∩BD=N, 连结 NE, 则N( 2 , 2 ,0)、 E(0, 0, 1), ∴ NE =(- 2 ,- 2 ,1). 2 2 又 A( 2, 2,0) , M( 2 , 2 ,1) , ∴

AM ? (?

2 2 ,? ,1) ,…………………………2 分 2 2 ∴NE∥AM. 又 NE ? 平面 BDE , AM ? 平面 BDE, ∴AE∥平面 BDE. ………………

4分 (2)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,∴AB⊥面 ADF,

AB = ( - 2 , 0 , 0) ∴ 量.…………………………………………………5 分
又 ∵





DAF







NE ? DB ? (?

2 2 ,? ,1) ? (? 2 , 2 ,0) ? 0 2 2



NE ? NF ? (?
7分 又

2 2 2 2 ,? ,1) ? ( , ,1) ? 0 , 2 2 2 2

∴NE⊥DB, NE⊥NF, ∴NE⊥平面 BDF, 即 NE 为平面 BDF 的法向量. ……………… ∵

cos ? NE, AB ?



理数专题三:立体几何·第 18 页(共 21 页)

(- 2)× (- 2· 2

2 ) 2 1 =2,…………………………………………………9 分 为

∴ NE , AB 的夹角为 60° .又由图可判定二面角 A-DF-B 的大小为锐角, ∴ 所 求 二 面 角 A - DF - B 的 大 小 60° .……………………………………………………10 分 (3)设 P(t,t,0)(0≤t≤ 2),则 PA 1 =( 2-t, 2-t,1), CD =( 2,0,0). 又∵与 CD 所成的角为 60° , ∴ 12 分 |( 2-t)· 2|

1 =2, ……………………… ( 2-t)2+( 2-t)2+1· 2

2 3 2 解之得t= 2 或 t= 2 (舍去), 故存在 AC 的中点 P 满足条件. ………………………… 13 分 31. (1) 连接 BD , 在 ?ABD 中, 由余弦定理得 BD ? 3 , ………………………………………… 1分 由勾股定理逆定理得 ?ADB ? 900 , AD ? BD , 又∵ AA ∴ BD ? 平面AA1 D1 D , …… AA1 ? BD ,AA1 ? AD ? A , 1 ? 底面ABCD , 2分 ∵ 平面AA1 D1 D // 平面BB1 C1C , ∴ AE // FG , 同理 AG // EF , ∴ AEFG 是平行四边形. … 3分 ∴

AG ? EF



AD 2 ? DG 2 ? BC 2 ? (CF ? BE ) 2





DG ? CF ? BE ? 1 ? BE .……4 分 GE // BD , 连接 EG , ∵ DG // BE , ∴ BDGE 是平行四边形, ∵ BD ? 平面AA1 D1 D , …
5分

GE ? 平面AEFG , , ∴ GE ? 平面BB1C1C 平面AEFG ? 平面BB1 C1C .…………6 分 CF 2 ? CE 2 ? EF 2 , (2) 连接 CE , ∵ CF ? 2 , ∴ CE ? EF , … CE ? BC2 ? BE2 ? 2 ? EF ,
∴ 7分 ∵ 平面AEFG ? BB1 C1C , 平面AEFG? BB1 C1C ? EF , CE ? 平面BB1 C1C , ∴

CE ? 平面AEFG.…………………………………………………………………………8 分 连 接 EG , 则 CE ? EG , ?CGE 是 CG 与 平 面 AEFG 所 成 的
角.………………………9 分 因 为

CG ? CD 2 ? DG2 ? 5







s ?CGE i?

CE 2 ?n .………………………10 分 CG 5
理数专题三:立体几何·第 19 页(共 21 页)

(3) 四边形 AEFG 在对角面 BB1 D1 B 内正投影为平行四边形, 且点 A 的正投影为点 D , … 11 分 ∴ 高 底 面 积

S ? DG ? GE ? 3 ,………………………………………………………………12 分
h ? BC ? 1 ,………………………………………………………………………………13 分
所 以 棱 锥 的 体 积

1 3 .……………………………………………………………14 分 V ? Sh ? 3 3
32. (1) 由三视图可知, 四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC ? 底面 ABCD, 且 PC=2 ,

?V

P ? ABCD

?

1 1 2 S正方形ABCD ? PC ? ? 12 ? 2 ? . …………………………………… 4 3 3 3

分 ( 2 ) 不 论 点 E 在 何 位 置 , 都 有 BD ? AE .………………………………………………………5 分 证明:连结 AC,? ABCD 是正方形,? BD ? AC ,? PC ? 面 ABCD,且 BD ? 面 ABCD, ? BD ? PC. ……………………………………………………………………………… ……6 分 ? AC ? PC ? C ? BD ? 又 , 平 面 PAC.……………………………………………………7 分 都有 CE ? 平面 PAC. 都有 BD ? CE. … ? 不论点 E 在何位置, ? 不论点 E 在何位置, 9分

? ?ABP ? ?ADP ? (3) 在平面 DAP 过点 D 作 DF ? PA 于 F, 连结 BF,

?
2

, AD=AB=1,

? Rt ?ADP ? Rt ?ABP , AB=AD, ??PAD ? ?PAB, 又 AF=AF, DP ? BP ? 5 ,

? BF ? AP. ? ?DFB 为二面角 D—AP—B 的平面角. 从而 ?ADF ? ?ABF , ………
12 分 在 Rt ?ACP 中, AP ?

AC 2 ? PC 2 ? ( 2) 2 ? 22 ? 6 ,

故在 Rt ?ADP 中, DF ?

AD ? DP 1? 5 30 ? ? ? BF . AP 6 6

DF 2 ? BF 2 ? BD 2 1 F B 中, ?? . 又 BD ? 2 , 在 ?D 由余弦定理得:cos ?BFD ? 2 ? DF ? BF 5
理数专题三:立体几何·第 20 页(共 21 页)











D



PA



B











1 ? . ……………………………………………………14 分 5

理数专题三:立体几何·第 21 页(共 21 页)


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