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高一数学必修一:1.集合的含义与表示


正在观看电影的一群大象

飞过10米高的电视塔的一群鸟

正在踢足球的一群学生

观察下列的例子:
(1) 1~20以内所有的素数. (2)我国从1991~2003年13年内所发射的 所有人造卫星. (3)长春汽车厂2003年所生产的汽车. (4)所有的正方形. (5)到直线l的距离等于定长d的所有点.



思考:上面几个例子的共同特征是什么?

结论:
一般地,我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合

一、集合的定义:
一般地, 我们把研究对象统称为元素(element), 把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简 称集).
?

让我们回头再看看刚才的几个例子

?

用大写字母A,B,C…表示集合 用小写字母a, b,c …表示集合中的元素. 用花括号{ }把元素括起来表示集合

?

?

例如:A={1,3},B={a,b,c}

思考:
(1)A={1,3},问3,5哪个是A的元素? (2)所有个子高的人能否构成集合? (3)A={2,2,4}表示是否正确? (4)A={太平洋,大西洋}, B={大西洋, 太平洋}

是否表示同一集合?

确定性:给定的集合,他的元素必须是确定
的,也就是说给定一个集合,那么任何一个元素在 不在这个集合中就确定了。即集合中的元素必须是 意义明确的,不能模棱两可,含糊不清。

互异性:一个给定的集合中的元素是互不相
同的,即集合中的元素不能相同。

无序性:集合中的元素是无先后顺序的,即
集合里的任何两个元素可以交换位置。

相等集合:只要构成两个集合的元素是一样的。

判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:

(1)大于3小于11的偶数

(2)漂亮的衣服

(3)我国的小河流

(4)小于2006的实数

(5)和2006非常接近的实数。

三、元素与集合的关系

如果a是集合A的元素,就说a 属于集 合A ,记作 a?A ; 如果a不是集合A的元素,就说a 不属于 集合A ,记作 a?A 。
例如,用A表示“ 1~20以内所有的素数”组 成的集合,则有3 ?A,4 ?A,等等。

常用的数集及其记法
?

非负整数集(或自然数集):全体非负整数 组成的集合,记作N;
正整数集:所有正整数组成的集合,记作N*或 N+ ; 整数集:全体整数组成的集合,记作Z; 有理数集:全体有理数组成的集合,记作Q; 实数集:全体实数组成的集合,记作R.

?

?

?

?

例题
[例1] 用符号“?”或?”填空

例2,在数集{3,x,x ? - 2x}中, 实数x满足的条件是什么? 解:由集合中元素的互异性知
3≠x, 3≠x? - 2x,解之得x ≠ -1,且 x ≠ x≠x? - 2x, 0,且x ≠ 3且x ?R 。

随堂练习

随堂练习
1、用符号“?”或?”填 (1) 设 A为所有亚洲国家组成的集合,则中国 空 :
__ A;美国__ A,印度__ A;英国__ A. (2)若A={方程x? =1的解}则-1__A. (3)若B={方程x? +x-6=0的解}则3__B. (4)若C={满足1≤x≤10的自然数}则8 __ C, 9.1 __ C.

四、集合的表示方法
一、列举法:
把集合中的元素一一列举出来,并用花括号 “{}”括起来表示集合的方法.

例如: “地球上的四大洋”组成的集合可 用列举法表示为: A={太平洋,大西洋,印度洋,北 冰洋}

例1.请用列举法表示下列集合:
(1)小于5的正奇数. (2)能被3整除且大于4小于15的自然 数. 2 (3)方程 x ? 9 ? 0 的解的集合.

问:解决这类问题的关键 是什么? 答:将集合的所有元素都 求出来

思考
(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗?

(2)你能用列举法表示不等式x-7<3的解集 吗?

描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法

一、符号描述法
在花括号内先写上表示这个集合元素的 一般符号及取值(或变化)范围,再画一条 竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有 的共同特征.

例如:所有奇数的集合可表示为:
E={x∈Z|x=2k+1,k ∈Z}

2、文字描述法——用文字把元素所具有的属
性描述出来,如﹛自然数﹜

例1.请用描述法表示下列集合:

(4)由适合 (6)方程组

x ? x ? 2 ? 0 的所有解组成集合.
2

(5){1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}.

?3x ? 2 y ? 2 的解集. ? ?2 x ? 3 y ? 27

练习:P5 2

例2.用描述法分别表示:

(1)抛物线
(2)抛物线

(3)抛物线

x ? y上的点. 2 x ? y上点的横坐标. 2 x ? y 上点的纵坐标.
2

再问:解决这类问题的关键是 什么? 答:找出集合所含元素的 共同特征以及元素的取值 范围。

三、集合的分类
有限集——含有有限个元素的集合。 ? 无限集——含有无限个元素的集合。 空集:不含任何元素的集合。记作 ? , 2 如:
?

{x ? R | x ? 1 ? 0}

补充练习
?x ? y ? 2 1.方程组 ? 的解集用列举法表示 ?x ? y ? 5
为________;用描述法表示为 2. 用列举法表示为 .

{( x, y) | x ? y ? 6, x ? N , y ? N}
.

课堂小结
1.集合的定义; 2.集合元素的性质:确定性,互 异性,无序性;

3.数集及有关符号; 4. 集合的表示方法; 5. 集合的分类.。

作业
教科书12页A组3、4、5

康 托(Georg Cantor, 1845-1918) ——创立集合论的“疯子”

1845年3月3日,康托生于俄国的一 个犹太血统的家庭。像许多优秀的数学 家一样,他在中学阶段就表现出一种对 数学的特殊敏感,并不时得出令人惊奇 的结论。1863进入了柏林大学,康托受 到了著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响 而对纯粹数学产生了极大的兴趣。1874 年康托在克列勒的《数学杂志》上发表 了关于无穷集合论的第一篇革命性文章, 数学史上一般认为这篇文章的发表标志 着集合论的诞生。由于康托推翻了许多 前人的错误看法,一时不能为人所理解, 甚至遭到大多数数学家的嘲讽乃至攻击。 可是,真理是不可战胜的,1897年在苏 黎世举行的第一次国际数学家大会上, 康托得到了肯定。康托的工作被描述为 “可能是这个时代所能夸耀的最巨大的 工作。”


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