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矩阵行列式练习卷


矩阵行列式
一、矩阵例题讲解
?1 5 ? ?4 3 ? ? 4 ? ,写出其对应的线性方程组. 1、已知一个线性方程组对应的矩阵为 ? 7 2 1 ? 5 ?2 ?3 8 ? ? ?

2、写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,并用矩阵变换的方法求解:
? x ? 3y ? 2 ⑴ ? ; ?2 x ? 4 y ? 3
?x ? y ? z ? 6 ? ⑵ ?3 x ? y ? 2 z ? 7 . ?5 x ? 2 y ? 2 z ? 15 ?

3、甲、乙、丙三人做一批零件,若甲、乙两人合作,甲做 8 天,乙做 5 天恰好完成;若甲、 丙两人合作,甲做 6 天,丙做 9 天恰好完成;乙、丙两人合作,乙做 10 天,丙做 6 天恰好 完成. 如果甲、乙、丙单独做,各需多少天才能完成?

4

计算:
? 1 2 ?? 2 ?3 ? ⑴ ? ?? ?; ? 2 1 ?? 3 1 ?
?3 4 2? 2?? ?1 1 ? ⑵ ? ?? 5 4 6 ? . 1 ? 1 0 ? ?? ? ?2 2 1?

5、小王、小李在两次数学考试中答对的题数如下表所示: 考试 分值 姓名 小王 小李 填空题 每题 4 分 10 9 期中 选择题 每题 4 分 3 5 解答题 每题 10 分 2 3 填空题 每题 4 分 8 7 期末 选择题 每题 4 分 4 3 解答题 每题 10 分 4 3

⑴ 如何用矩阵表示他们的答对的题数? 他们期中、期末的成绩? ⑵ 果期中分数占总评成绩的 40%,而期末成绩则占 60%,求两位同学的总评成绩.

1/6

?1 2 3? ? ? 练习:1、已知 A ? ? 4 5 6 ? ,则 a12 ? a23 ? ___________. ? 7 8 9? ? ?

y ? ? 3 1? ?x 2、设 ? ??? ? ,则 x ? y ? z ? ___________. ?2 x ? y? ?2 z? ?x ? y ? 6 ? 0 3、 线性方程组 ? 对应的系数矩阵是___________,增广矩阵是___________. ?3 x ? 5 y ? 4 ? 0 ? 1 3? ?2 1 ? 4、已知 A ? ? ?,B ? ? ? ,则 2 A ? 3 B ? ___________. ? ?1 0 ? ?0 4 ?
? 2 1? ? ?1 4 ? ? ? ? ? 5、若 A ? ? 0 3 ?,B ? ? 2 0 ? ,且 2 A ? 3 X ? B ,则矩阵 X ? ___________. ? ?1 4 ? ? 5 ?3 ? ? ? ? ?

6、计算:
? 1 2 ?? 2 ?3 ? ⑴ ? ?? ? ? ________ ? 2 1 ?? 3 1 ?
?3 4? ?1 1 2 ? ? ? ? ? ? 5 4 ? ? ___________. ?1 ?1 0 ? ? ? ?2 7?



?2? ? ?3 0 ? ? ? 7、已知矩阵 A ? ? 1 ?,B ? (?1,2),C ? ? ? ,则 ( AB)C ? ___________. ? ?1 2 ? ? ?3 ? ? ?

8、 将下列线性方程组写成矩阵形式,并用矩阵变换的方法求解:
?3 x ? 2 y ? 11 ? 0 ⑴ ? ; ?2 x ? y ? 5 ? 0

? 1 1 1 ?? x ? ? 6 ? ? ?? ? ? ? ⑵ ? 1 ?2 1 ?? y ? ? ? 0 ? . ? 2 ?1 1 ?? z ? ? 3 ? ? ?? ? ? ?

2/6

?1 1? 9、已知矩阵 A ? ? ? ,求向量 (2,3) 经过矩阵 A 变换后所得的向量. ?1 1?

? 1 1? 10、如果 AB ? BA ,矩阵 B 就称为与矩阵 A 可交换,若 A ? ? ? ,求所有与 A 可交换的矩 ? 0 1?

阵.

? 2 0 ?? x ? ? ?2 ? 11、若 ? ?? ? ? ? ? ,则 x ? y ? ___________. ? ?1 3 ?? y ? ? 7 ?

? 1 ?? ? cos60? ? sin 60? ? ? 2 12、若矩阵 A ? ? , B ? ? ? 3 ? sin 60? cos60? ? ? ? 2
?1 0 ? 13、已知 A ? ? ?. ?1 1 ?

?

3? ? 2 ? ,则 AB ? ___________. 1 ? ? ? 2 ?

⑴ 分别计算 A2、A3 ,猜测 An (n ? 2,n ? N* ) ; 的矩阵 B,并说明 B n 的值.

⑵ 另写出一个具有类似性质

二、行列式例题讲解 例1 展开并化简下列各行列式:
x?y ⑴ ?y y ; x?y
3 ?5 1 ⑵ 2 3 ?6 . ?7 2 4

例2

3 1 ?2 按下列要求展开并计算行列式 D ? 5 ?2 7 . 3 4 2

⑴ 按第一行展开;

⑵ 按第一列展开.

3/6

例3

把2

x2 x3

y2 x1 ? y3 x3

y1 x ?3 1 y3 x2

y1 表示成一个三阶行列式. y2

例4

3 1 ?2 已知行列式 5 ?2 7 . 3 4 2

例5

⑴ 求行列式中元素 4 的余子式与代数余子式; ⑵ 按第二列展开并计算行列 式; ⑶ 验证行列式第一行的元素与第三行对应元素代数余子式的乘积之和为零. 计算:



b e

c a ? f d

1 1 1 c a b ? ?a b c f d e d e f

⑵ a2

b2 b3

c2 a ? b2 2 c3 a3

c2 a ? c2 2 c3 a3

b2 . b3

例6 例7

“二元一次方程组的系数行列式 D ? 0 ”是“方程组无解”的___________条件. 用行列式解下列线性方程组:
?2 x ? 3 y ? 7 ? 0 ⑴ ? ; ?5 x ? 3 y ? 1 ? 0
?2 x ? 3 y ? 4 z ? 2 ? ⑵ ?3 x ? 5 y ? 7z ? ?3 . ? x ? 2 y ? 3z ? 4 ?

例8

?mx ? 2 y ? 1 ? 0 解关于 x、y 的二元一次方程组 ? ,并对解的情况进行讨论. ?6 x ? 4 y ? n ? 0

2 3 0 练习 1、计算: 9 ?2 10 ? ___________. 1 2 1

4/6

a b 2、行列式 d e g h

c f 中元素 e 的代数余子式是___________. i

3、与 ?ac

bc a a a2 bc a 2 的值相等的三阶行列式是___________. ? b ? b2 2 2 ab c c c ab c

x2 4、关于 x 的方程 x 1

a2 a 1

b2 ?b ? 0 (a ? b ? 0) 的解是___________. 1

?a x ? b1 y ? c1 5、系数行列式 D ? 0 是二元一次方程组 ? 1 有唯一解的___________条件. ?a2 x ? b2 y ? c2

6、用行列式解下列线性方程组:
?2 x ? y ? 5 ? 0 ⑴ ? ; ?2 x ? 4 y ? 11 ? 0
?x ? y ? z ? 3 ? ⑵ ?2 x ? y ? z ? 6 . ?2 x ? y ? z ? 0 ?

?mx ? y ? m ? 1 7、解关于 x、y 的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论: ? . ? x ? my ? 2m

?x ? y ? z ? 0 ? 8、方程组 ?2 x ? 3 y ? 2 z ? 0 ?4 x ? 5 y ? 4 z ? 0 ?

A. 有唯一解 可能无解或有无穷多解

B. 有无穷多解

C. 无解

( ). D.

? x ? y ? mz ? 1 ? 9、解关于 x、y、z 的方程组 ? x ? my ? z ? m . ?x ? y ? z ? 3 ?

5/6

1 1 10、方程 1 9 1 9x

1 0 ? 0 的解为___________. ?3 x

11、解关于 x 的方程

x a 1 2 ,其解集为___________. ?2 1 2 3 4

4 2 k 12、三阶行列式 ?3 5 4 第 2 行第 1 列元素的代数余子式为 ? 10 ,则 k ? ___________. ? 1 1 ?2

13、 如右图 “杨辉三角形” , 从左上角开始的 4 个元素构成的二阶行列式

1 1 1 2



1 1 1 值等于 1; 从左上角开始的 9 个元素构成的三阶行列式 1 2 3 的值也 1 3 6

等于 1;
1 1 行列式 1 1 1 1 1 2 3 4 的值等于 3 6 10 4 10 20

猜想从左上角开始的 16 个元素构成的四阶

1 1 1 1 1 1 1 … 1 2 3 4 5 6 … 1 3 6 10 15 … 1 4 10 20 … 1 5 15 … 1 6 … 1 …

________.

6/6


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