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2013届高考一轮复习单元测试(文数)第八章立体几何




2013 届高考数学(文)一轮复习单元测试 第八章立体几何
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符 合题目要求)
1、 2012 福建文) ( 一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是 ( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 )

2、 【2012 吉林市期末质检文】一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D 为原正方体的顶
A C B

D

点,则在原来的正方体中 A. AB // CD C. AB ? CD B. AB 与 CD 相交 D. AB 与 CD 所成的角为 60 ? ( )

3 . (2012 浙江文)设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面

A.若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β C.若 a⊥β , l ⊥a,则 l ⊥β

B.若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β D.若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β

4. (2012 广东文)(立体几何)某几何体的三视图如图 1 所示,它的体 积为( A. 7 2 ? B. 4 8? C. 3 0 ? D. 2 4 ?
5 . (2012 四川文)下列命题正确的是







A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个 平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 6、 【2012 厦门市高三上学期期末质检文】已知直线 m、n 和平面 α、β,若 α⊥β,α∩β=m,

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n ? α,要使 n⊥β,则应增加的条件是 A. m∥n B. n⊥m C. n∥α D. n⊥α 2 ,E 为侧棱 2

7、如右图所示,正四棱锥 P-ABCD 的底面积为 3,体积为

PC 的中点,则 PA 与 BE 所成的角为( ) π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 8、 (2012 北京文)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 A. 28 ? 6 5 B. 30 ? 6 5 C. 56 ? 12 5 D. 60 ? 12 5





9、 【2012 金华十校高三上学期期末联考文】设 ? 是空间中的一个平面, l , m , n 是三条不同 的直线,则下列命题中正确的是 ( )

10.圆台上、下底面面积分别是 π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是( 2 3 7 3 7 3 A、 π B、2 3π C、 π D、 π 3 6 3

)

11、 (2012 课标文)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此 球的体积为 ( ) A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π 12、 【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷文】如图甲所示,三 棱锥 P ? A B C 的高 P O ? 8, A C ? B C ? 3, ? A C B ? 30 ? , M 、 N 分别在 BC 和 PO 上,且 CM ? x , PN ? 2 x ( x ? (0, 3]) ,图乙中 的四个图像大致描绘了三棱锥 N ? A M C 的体积 V 与 x 的变化 关系,其中正确的是( )

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13、 【2012 山东青岛市期末文】已知长方体从同一顶 ZXXK 点出发的三条棱的长分别为 1 、 2 、
3 ,则这个长方体的外接球的表面积为

. .

14、 【2012浙江宁波市期末文】 如图是一个组合几何体的三视图, 则该几何体的体积是

15、 【2012 金华十校高三上学期期末联考文】在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,直线 BD1 与平 面 A1B1CD 所成角的正切值是 。

16 .( 2012 安 徽 文 ) 若 四 面 体 A B C D ZXXK 三 组 对 棱 分 别 相 等 , 即 的 AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC , 则________.(写出所有正确结论编号)

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)在下面三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观 图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC′,证明:BC′∥平面 EFG.

18.(本小题满分 12 分) 18、 【2012 山东青岛市期末文】如图,四边形 A B C D 为矩形, D A ? 平面 A B E , A E ? E B ? B C ? 2 , B F ? 平面 A C E 于点 F ,且点 F 在 C E 上. C D (Ⅰ)求证: D E ? B E ; (Ⅱ)求四棱锥 E ? A B C D 的体积; (Ⅲ)设点 M 在线段 A B 上,且 A M ? M B , F 试在线段 C E 上确定一点 N ,使得 M N // 平面 D A E .
A E

M .

B

19.(本小题满分 12 分) 1(2012 天津文)如图,在四棱锥
P ? A B C D 中,底面 A B C D 是矩形, A D ? P D , B C ? 1, P C ? 2 3 , P D ? C D ? 2 .

(I)求异面直线 P A 与 B C 所成角的正切值; (II)证明平面 P D C ? 平面 A B C D ; (III)求直线 P B 与平面 A B C D 所成角的正弦值.

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20.(本小题满分 12 分)(2012 广东文)(立体几何)如图 5 所示,在四棱锥 P ? A B C D 中, AB ? 平面 P A D , AB ∥ C D , PD ? AD , E 是 PB 的中点, F 是 D C 上的点且 D F ? 为 ? PAD 中 AD 边上的高. (Ⅰ)证明: PH ? 平面 A B C D ; (Ⅱ)若 PH ? 1 , AD ? 体积; (Ⅲ)证明: EF ? 平面 PAB .
2 , F C ? 1 ,求三棱锥 E ? B C F 的

1 2

A B , PH

21.(本小题满分 12 分) 【2012 北京海淀区期末文】在四棱锥 P - A B C D 中,底面 A B C D 是 菱形, AC ? BD = O . (Ⅰ)若 A C ? P D ,求证: A C ? 平面 PBD ; (Ⅱ)若平面 P A C ^ 平面 A B C D ,求证: P B = P D ; (Ⅲ)在棱 P C 上是否存在点 M (异于点 C )使得 B M ∥平面 P A D ,若存在,求 由.
PM PC

的值;若不存在,说明理

P

D A B
22.(本小题满分 12 分)(2012 湖北文)某个实心零部件的

O

C

形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台
A1 B1C 1 D1 ? A B C D ,上不是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全

等的矩形的四棱柱 A B C D ? A2 B 2 C 2 D 2 . (1) 证明:直线 B1 D1 ? 平面 A C C 2 A2 ; (2) 现 需 要 对 该 零 部 件 表 面 进 行 防 腐 处 理 , 已 知
A B? 1 0 1 A 1 B , ? 2 0 A ?A ,2 3 0 A, A ?(单位:厘米),每平方厘米的加 1 3 1

工处理费为 0 .2 0 元,需加工处理费多少元?

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祥细答案
一、选择题 1. 【答案】D 【解析】分别比较 A、B、C 的三视图不符合条件,D 的正视图、侧视图是矩形,而府视图 是圆,符合 2、 【答案】D 【解析】将平面展开图还原成几何体,易知 AB 与 CD 所成的角为 60 ? ,选 D。
3、 【答案】B

【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识,具体为线面平行、线面垂直、面面平行、 面面垂直的判定和性质. 【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的,∵ l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β .如选项 A: l ∥a, l ∥ β 时, a⊥β 或 a∥β ;选项 C:若 a⊥β , l ⊥a, l ∥β 或 l ? ? ;选项 D:若若 a⊥β , l ⊥a, l ∥β 或 l ⊥β . 4. 答案:C 解析:该几何体下部分是半径为 3,高为 4 的圆锥,体积为 V ? 半球,体积为 V ?
1 2 ? 4 3 ? ? ? 3 ? 18? ,所以体积为 3 0 ? .
3

1 3

? ? ? 3 ? 4 ? 12 ? ,上部分是
2

5、[答案]C [解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也 可能相交,所以 A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个 平面平行,故 B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故 D 错;故选 项 C 正确. 6、 【答案】B 【解析】 已知直线 m、n 和平面 α、β,若 α⊥β,α∩β=m,n ? α,应增加的条件 n⊥m,才 能使得 n⊥β。 7、答案 C 解析 连结 AC、BD 交于点 O,连结 OE,易得 OE∥PA. ∴所求角为∠BEO. 6 1 2 由所给条件易得 OB= ,OE= PA= ,BE= 2, 2 2 2 1 ∴cos∠OEB= ,∴∠OEB=60° ,选 C. 2 8、 【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面的 面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式,可得: S 底 ? 10, S 后 ? 10, S 右 ? 10, S 左 ? 6 5 , 因此该几何体表面积 S ? 30 ? 6 5 ,故选 B. 9、 【答案】 C

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【解析】本题主要考查空间直线与直线,直线与平面、平面与平面的有关知识. 属于基础知 识、基本运算的考查.
m ? ? , n ? ? , l ? m , l ? n , 需要 m ? n ? A 才有 l ? ? ,A 错误.

若 m ? ? , n ? ? , l ? n , l 与 m 可能平行、相交、也可能异面,B 错误. 若 l ? m , l ? n , l 与 m 可能平行、相交、也可能异面,D 错误. 10、答案 D 解析 上底半径 r=1,下底半径 R=2.∵S 侧=6π,设母线长为 l,则 π(1+2)· l=6π,∴l 1 7 3 =2,∴高 h= l2-?R-r?2= 3,∴V= π· 3(1+1×2+2×2)= π.故选 D. 3 3 11、 【答案】B 【解析】球半径 r ? 12、 【答案】A 【解析】本题主要考查三棱锥的体积,三角形的面积公式,函数图像以及基本不等式的基本 运算. 属于基础知识、基本运算、基本能力的考查.
S ?ABC ? 1 2 1 2 1 3 3 ? 3 ? sin 3 0 ?
?

1? ( 2)

2

?

3 ,所以球的体积为

4 3

? ? ( 3 ) ? 4 3? ,选 B.
3

9 4

,
3 4 1 2

V P ? ABC ? x x( 9 2

1 3

?

9 4

?9 ?

27 4

, x ? 0, V N ? A M C ? 0,

S N ? AM C ? V N ? AM C ?

? 3 ? x ? sin 3 0 ? ? 3 4 x ? (9 ? 2 x ) ?

?

( x ? (0, 3])

? x ) ( x ? (0, 3]) 是抛物线的一部分,答案 A

二、填空题 13、 【答案】 1 4 ? 【 解 析 】 因 长 方 体 对 角 线 长 为 2 r ? 1 ? 4 ? 9 ? 14 , 所 以 其 外 接 球 的 表 面 积
S ? 4? r ? 14? .
2

14、 【答案】 36 ? 128 ? 【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体,下面是一个圆柱,上面是一个三棱柱, 故所求体积为 V ?
5 5
1 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 1 6? ? 8 ? 3 6 ? 1 2 8? 。

15、 【答案】

【解析】本题主要考查空间几何体的线面关系和直线与平面所成角的概念. 属于基础知识、 基本运算的考查.

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连接 B1C 交 B C 于 O ,则 B1C ? B C ,又 A B ? B C ,所以 B1C ? 平 面 A B C D ,连接 D 1O , 则 ? B D1O 就 是 直 线 BD1 与 平 面 A1B1CD 所 成 角 。 不 妨 设 正 方 体 棱 长 为 1 , 则
B D1 ? 3 , BO ?
2 2

, D1 O ?

10 2

, 在 R t ? B D1O 中, tan ? B D1O ?

BO D1 O

?

5 5

.

16、 【解析】正确的是②④⑤ ②四面体 A B C D 每个面是全等三角形,面积相等 ③从四面体 A B C D 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 180 ? ④连接四面体 A B C D 每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分 ⑤从四面体 A B C D 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 三、解答题 17、解析 (1)如图. (2)所求多面体的体积 1 1 284 V=V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6- ×?2×2×2?×2= (cm3). ? 3 ? 3

(3)证明:如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,连结 AD′,则 AD′∥BC′. 因为 E、G 分别为 AA′、A′D′的中点, 所以 AD′∥EG,从而 EG∥BC′. C D 又 BC′?平面 EFG,所以 BC′∥平面 EFG. 18、 【解析】 (Ⅰ)因为 D A ? 平面 A B E , B C ∥ D A 所以 A E ? B C , D A ? B E F 因为 B F ? 平面 A C E 于点 F ,
AE ? BF

因为 BC ? BF ? B ,所以 A E ? 面 B E C , 则 AE ? BE 因为 AE ? AD ? A ,所以 B E ? 面 D A E , 则 DE ? BE

A

HM .

B

P
E

19 、 解 :(1)如 图, 在四棱 锥 P ? A B C D 中 ,因为 底面 A B C D 是 矩形, 所以 A D ? B C , 且

第8页



A D / / B C ,又因为 A D ? P D ,故 ? P A D 或其补角是异面直线 P A 与 B C 所成的角.

在 R t ? P D A 中, tan ? P A D ?

PD AD

? 2 ,所以异面直线 P A 与 B C 所成角的正切值为 2.

(2)证明:由于底面 A B C D 是矩形,故 A D ? C D ,又由于 A D ? P D , C D ? P D ? D ,因 此 A D ? 平面 P D C ,而 A D ? 平面 A B C D ,所以平 面 P D C ? 平面 A B C D . (3)在平面 P D C 内,过点 P 作 P E ? C D 交直线 C D 于点 E ,连接 E B .由于平面 P D C ? 平面 A B C D ,由 此得 ? P B E 为直线 P B 与平面 A B C D 所成的角. 在 ? P D C 中 , P D ? C D ? 2, P C ? 2 3 , 可 得
? PC D ? 30?

在 R t ? P E C 中, P E ? P C sin 30 ? ?

3

由 AD / / BC , AD ? 平面 P D C ,得 B C ? 平面 P D C ,因此 B C ? P C
PE PB 39 13 39 13

在 R t ? P C B 中, PB ?

PC ? BC
2

2

?

13 ,在 R t ? P E B 中, sin ? P B E ?

?

所以直线 P B 与平面 A B C D 所成角的正弦值为

.

20、 解析:(Ⅰ)因为 AB ? 平面 P A D , PH ? 平面 P A D ,所以 AB ? PH .又因为 PH 为 ? PAD

(Ⅲ)取 P A 中点 G ,连接 G D 、G E .因为 E 是 PB 的中点,所 以 GE ?
DF ? 1 2 1 2 A B , D F ∥ AB ,所以 G E ? D F 且 G E ∥ D F .所以 A B 且 G E ∥ AB . 而 F 是 D C 上 的 点 且

四边形 G D F E 是平行四边形,所以 E F ∥ G D .而 PD ? AD , 所以 G D ? P A .又因为 AB ? 平面 P A D , G D ? 平面 P A D , 所以 A B ? G D .而 AB ? PA ? A , A B ? 平面 PAB , PA ? 平 面 PAB ,所以 G D ? 平面 PAB ,即 EF ? 平面 PAB . 21、 【解析】 (Ⅰ)证明:因为 底面 A B C D 是菱形 所以 A C ? B D . 因为 A C ? P D , PD ? BD ? D , 所以 A C ? 平面 PBD . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知 A C ? B D .

第9页



因为 平面 P A C ^ 平面 A B C D ,平面 PAC ? 平面 A B C D = A C , B D ? 平面 A B C D ,所以 B D ? 平面 P A C . 因为 P O ? 平面 P A C ,所以 B D ? P O . 因为 底面 A B C D 是菱形,所以 B O ? D O . 所以 P B = P D . (Ⅲ)解:不存在. 下面用反证法说明. 假设存在点 M (异于点 C )使得 B M ∥平面 P A D . 在菱形 A B C D 中, B C ∥ A D , 因为 A D ? 平面 P A D , BC ? 平面 P A D , 所以 B C ∥平面 P A D . 因为 B M ? 平面 P B C , B C ? 平面 P B C , BC ? BM = B , 所以 平面 P B C ∥平面 P A D . 而平面 P B C 与平面 P A D 相 交,矛盾.
22、 【解析】(1)因为四棱柱 A B C D ? A2 B 2 C 2 D 2 的侧面是

P

D A B O

M C

全等的矩形,所以 A A2 ? A B , A A2 ? A D 又因为 A B ? A D ? A ,所以 A A2 ? 平面 A B C D 连接 B D ,因为 B D ? 平面 A B C D ,所以 A A2 ? B D

S 2 ? S A1 B1C1 D1 ? S 四 个 侧 面 梯 形 ? ( A1 B1 ) ? 4 ?
2

1 2

( A B ? A1 B1 ) h等 腰 梯 形 的 高

? 20 ? 4 ?
2

1 2

(10 ? 20) 13 ? [
2

1 2

(20 ? 10)] ? 1120( cm )
2 2

第 10 页



于是该实心零部件的表面积为 S ? S 1 ? S 2 ? 1300 ? 1120 ? 2420( cm 2 ) ,故所需加工处理 费为 0 .2 S ? 0 .2 ? 2 4 2 0 ? 4 8 4 (元)

第 11 页



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