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物理竞赛课件:动力学特别问题与方法


? n 质点系的牛顿第二定律

规律

?F
i ?1

i

? m1a1 ? m2a 2 ? ?? ? ? mi a i
1 2 s ? at ? a ? s 2
规律
规律
i ?1

n

? ? ?<

br />
加速度相关关系

力的加速度效果分配法则

FMmT 牛顿第二定律的瞬时性 示例

m ? F M?m

加速度与力是瞬时对应的,外力一旦改变,加速度也立即改变,力与 加速度的因果对应具有同时性.确定某瞬时质点的加速度,关键在分析该 瞬时质点的受力,对制约着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断.

?

非惯性系与惯性力

规律

Fi

质点系各质点受系统以 外力F1、F2、……
对质点1
F3

mi
F13

F1i

Fi1

m1
F31

F1

… F21

m3

F12

F1 ? F21 ? F31 ? ? Fi 1 ? ? ? m1a1
对各质点

m2
F2

F2 ? F12 ? F32 ? ?Fi 2 ? ? ? m2a2 Fi +F1i ? F2i ? F3i ? ? Fni ? mi ai

?F

n

i

? m1a1 ? m2a 2 ? ?? ? ? mi a i

n

示例

如图所示,跨过定滑轮的一根绳子,一端系着 m=50 kg的 重物,一端握在质量M=60 kg的人手中.如果人不把绳握死,而是相对地面以g/18 的加速度下降,设绳子和滑轮的质量、滑轮轴承处的摩擦均可不计,绳子长度不 变,试求重物的加速度与绳子相对于人手的加速度.

专题6-例1

取人、绳、物组成的系统为研究对象 在图所示坐标轴上建立运动方程为

Mg ? mg ? Ma ? mam a M ? g ? a? am ? ?g m Mg 6 17 2 ? ? g?g ? g 5 18 15 绳相对于人的加速度为 2 1 7 x g? g? g a绳对人=am-a= 15 18 90

am

mg

返回 如图所示,A、B滑块质量分别是mA和mB,斜面 倾角为α,当A沿斜面体D下滑、B上升时,地板突出部分E对斜面体 D的水平压力F为多大(绳子质量及一切摩擦不计)?

专题6-例2

对A、B、D系统在水平方向有

F ? m Aa x
对A、B系统分析受力
B E

α A

ax
a x α

Dα F m Ag

mA g sin ? ? mB g ? ? m A ? m B ? a

m Bg

而 a x ? a cos ?
得 m A sin ? ? m B F ? mA ? g ? cos ? m A ? mB

绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往 有相关联系,确定它们的大小关系的一般方法是:设 想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间,则由

可知,加速度与位移大小成正比,确定了相关

1 2 s ? at ? a ? s 2

物体在同一时间内的位移比,便确定了两者加 速度大小关系.

2x

x

如图所示,质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面 体上,斜面体的质量为M,斜面体与水平地面间的动摩擦因数为 μ.现用水平拉力F向右拉斜面体,要使物体与斜面体间无相互作用 力,水平拉力F至少要达到多大?

专题6-例3

当物体与斜面体间无作用力时,物体的加速度为g 考虑临界状况,斜面体至少具有这 样的加速度a:在物体自由下落了斜 面体高度h的时间t内,斜面体恰右 移了hcotθ ,由在相同时间内

m
θ

F

F M N
F

a h cot ? ? , 故a ? g cot ? g h 对斜面体 F ? ? Mg

1 2 s ? at ? a ? s 2

g

a

? Ma ? Mg cot ?

Mg

F ? ? ? ? cot ? ? Mg

返回 如图所示,A为固定斜面体,其倾角α=30°,B为固定在斜 面下端与斜面垂直的木板,P为动滑轮,Q为定滑轮,两物体的质量分别为m1=0.4 kg和m2=0.2 kg,m1与斜面间无摩擦,斜面上的绳子与斜面平行,绳不可伸长,绳、 滑轮的质量及摩擦不计,求m2的加速度及各段绳上的张力. Q

专题6-例4

m1沿斜面下降,m2竖直上升,若m1下降s, m2上升2s,故

建立如图坐标分析受力
T1 ? m1 g sin ? ? m2 g ? m1 2a2 ? m2 a2
对m1建立方程 牛顿第二定律方程为
T1

a1 ? 2a2

P B m1 α A

m2
m2 g

T1 2m1 g sin ? ? m2 g 代入题给数据 2 a2 ? a2 ? 1.09m/s 4m1 ? m2 T2 ? 2T1 ? 2.18N T1 ? 1.09N

2m1 g sin ? ? m1 2a2 ? m2 g ? m1 2a2 ? m2 a2

m1 g sin ? ? T1 ? m1 2a2 T1 ? m1 g sin ? ? m1 2a2

T1
m1 P T1

T2

问题情景
a
m (a)

F
a a mM m (c) (b) M a mM F (d)

a m M (e) a m F M (f)

M

F

F

FMmT

? F ? ( m1 ? m2 ? m3 ? ?)a ? Fi ? mi a

m ? F M?m
Fi mi ? F m1 ? m2 ? m3 ??

如果引起整体加速度的外力大小为F,则引起各部 分同一加速度的力大小与各部分质量成正比, F这 个力的加速度效果将依质量正比例地分配.

如图所示,质量为M、m、m的木块以线a、b相连,质 量为Δm小木块置于中间木块上,施水平力F拉M而使系统一起 沿水平面运动;若将小木块从中间木块移至质量为M的木块之 上,两细绳上的张力Ta、Tb如何变化?

对左木块

m Tb ? F M ? 2m ? ?m
对左与中两木块

m

Tb

Δm

m

Ta

M

F

2m 2m ? ?m Ta ? F ? F M ? 2m ? ?m M ? 2m ? ?m

Tb不变

Ta减小

如图所示,在光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个 木块,其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连,木块间 的最大静摩擦力是μ mg.现有用水平拉力F拉其中一个质量为2m的 木块,使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对m的最大拉力是多少?

产生整体加速度的力是F, 使BCD产生同样加 速度的力是AB间静摩擦力,最大静摩擦力大小应为

4m 2 ? mg ? F? F 6m 3
当F=3μmg/2时,绳上拉力最大

F 3 ? ? mg T? 4 2

C

T

B

f

D

A

F =3μmg/2

如图所示,木块A、B静止叠放在光滑水平面上, 返回 A的质量为m,B的质量2m.现施水平力F拉B ,A、B刚好不发生相 对滑动而一起沿水平面运动;若改用水平力 拉A,要使A、B不 F?

专题5-例5

发生相对滑动,求

的最大值. F?

∵A、B刚好不发生相对滑动而一起沿水平面运动

? FBA

F ? fm ? 3 2F ? ? ? fm 3

A B

F?
F

要使A、B仍不发生相对滑动,须满足

? FAB
由上二式得

F F? ? 2

如图所示,一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2的 两根细绳上,l1与竖直成θ角,l2水平拉直,物体处于平衡状 态.现将l2剪断,求剪断瞬时l1细绳上的拉力及物体的加速度. 剪断l2瞬时,F2力消失,绳l1上微小 形变力立即变化,适应此瞬时物体 运动状态——线速度为零,向心加 θ l1 速度为零; F F1 故绳l1拉力大小等于物体重力的法 向分力: l2

F1 ? mg cos ?

F2

则此瞬物体所受合力为
此瞬时物体加速度为

mg sin ?

mg

a ? g sin ?

如图所示,质量分别为mA、mB的两个物体A和B,用弹簧连在一起,放在粗 糙的水平面上,在水平拉力F(已知)作用下,两物体做加速度为a的匀加速直线运动, 求在撤去外力F的时刻,A、B两物体的加速度大小分别为多少?

F ? ? m A ? mB ? a
撤去F力瞬时,A受力 未及改变,故: aA ? a 撤去F力瞬时,B受力 少了F,故:

撤去F力前:

a A B F

mB F a ? aB ? mB F ?a? mB mA aB ? ? a mB

mB F m a B B a ? ?

返回 专题5-例6 如图所示,木块A、B的质量分别为mA=0.2 kg,mB =0.4 kg,盘C的质量m =0.6 kg,现挂于天花板O处,整个装置处

于静止.当用火烧断O处的细线的瞬间,木块A的加速度aA及木块B 对盘C的压力FBC各是多少?

C

O处细线断瞬间,A受弹簧力未及改变,重力不变,故

aA ? 0

B、C间弹力是微小形变力,其发生突变!以适应 B、C在此瞬间的运动:

? aB ? aC

? mA ? mB ? mC ? g ?
mB ? mC
2

O A

? aB ? aC ? 12m/s

方向竖直向下!
对C运用牛顿第二定律:
B mcg FBC

C

mC g ? FBC ? mC aC FBC=1.2N

相对于惯性系以加速度a运动的参考系称 非惯性参考系. 牛顿运动定律在非惯性参考系中不能适用 a

Fi ? ? ma

小球不受外 力而向我加 速

? ma ? m ? ? a ?

小球不受外 力而静止

为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式,我们可以引入 一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为

可适用于非惯性系. 惯性力与物体实际受到的力(按性质命名的力)不同,它是虚构的,没 有施力物,不属于哪种性质的力.

? F ? Fi ? ma非

体,它的斜面倾角为α,在这斜面上放一质量为m的物体,物体与斜 面间摩擦因数为μ.当用方向水平向右的力F推劈形物体时,μ等于 多少时物体间才没有相对运动? 取劈形物体M为参考系,设M相对 m 地面的加速度为a,方向向右,在这 a 个参考系中分析m受力: M F α

专题5-例7 如图所示,在光滑水平桌面上有一质量为M的劈形物

φ ? tan ?? ? ? ? ? ? M ? m ? g ? 则? ma mg ma mg F ? tan ?? ? ? ? ? ? ? M ? m ? g? M ? m ? g sin ? ? F cos ? ? F cos ? ? ? M ? m ? g sin ? ? ? ? tan ? ? ? F sin ? ? ? M ? m ? g cos ? F sin ? ? ? M ? m ? g cos ?

Fi ? ma ? mg tan ?? ? ? ? Fi ? ma ? mg tan ?? ? ? ? 对整体在水平方向有 F ? ? M ? m ? a F ?

在劈参考系中m静止,合力为零!

F约

F约

φ α

α

一质量为M、斜面倾角为α的三棱柱体,放在粗糙的 水平面上,它与水平面间的摩擦因数为μ,若将一质量为m的光滑质 点轻轻地放在斜面上,M发生运动,试求M运动的加速度a. 设M运动的加速度为a,显然a的方向水平向右: 设m相对于M的加速度为a非,a非的方向与 Fn 水平成α角向下,即,沿三棱柱体的斜面: m FN 设水平面对三棱柱体的摩擦力为Ff,支持力为FN: Fi 研究M、m构成的系统,在水平方向有 Ma F f ? ? Ma ? m(-a ? a非 cos ? ) α μ ? x Ff 在竖直方向有 ? M ? m ? g ? FN ? ma非 sin? mg 由摩擦定律 F f ? ? FN 取m为研究对象 mg sin ? +ma cos ? ? ma非
? ?? M ? m? g ? ma非 sin? ? ? m ? a非 cos? ? a ? ? Ma ? ?

专题5-例8

(M+m)g

a非 ? g sin ? ? a cos ?

a非 ?

? M ? m ?? ? g ? a ?

a?

m cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? ? ? M m sin ? ? sin ? ? ? cos ? ? ? M

g

m cos ? ? ? m sin ?

一个定滑轮的两边.人握住绳子不动,则他落地的时间为t1,人若沿 绳子向上攀爬,则他落地时间 2t .若滑轮、绳子的质量及摩擦可不 1 计,求此人往上爬时相对于绳子的加速度. 前、后 两次人下落加速度分别设为a1、a2, 1 2 由s ? at 2 2 a1 t2 2 a1 人两次从同一高度下落,有 ? 2 ? a2 ? a2 1 t1 2 第一次,人、重物(绳)加速度相同,由系统牛顿第二定律

专题5-例9 某人质量M=60 kg,一重物质量m=50 kg,分别吊在

? M ? m ? g ? ? M ? m ? a1

第二次,人、重物(绳)加速度各 为a2、a′,由质点系“牛二律”

g a1 ? 11

a1 M ? m ? g ? M ? ma? a ? ? 8 g 方向竖直向下 ? 2 55 g 8 ? ?0.1g 人相对绳以 ?? a人对绳 ? a2 ? a ? g 0.1g向上爬 22 55

关于惯性力,下列说法中正确的是 A. 惯性力有反作用力 B. 惯性力是由非惯性系中物体施予的 C . 同一物体对不同参考系有不同惯性力 D. 惯性力与合外力一定平衡

惯性力是虚拟的力,没有施力物,也没有反 作用力.

惯性力Fi=-ma, a为参考系加速度,参考系不 同,匀加速不同,惯性力Fi就不同! 在非惯性系中有加速度的运动物体,其所受 惯性力与合外力不平衡

如图,在与水平成角α的静止的劈面上放一根不可伸长的轻 绳.绳的一端系在墙上A点,小物体系在绳子B点上.某一时刻劈开始以恒定加速 度a1向右运动.求物体还在劈上时所具有的加速度a2 ?

本题涉及相关加速度
劈加速度a1、物体加速度a2、物体 相对劈加速度a21间矢量关系是

x21
A

B
?

? ? ? a2 ? a21 ? a1 ? x1 ? x21 ? a1 ? a21

x1

矢量三角形是等腰三角形!
由矢量图得

2 ? 方向与竖直成 2

a2 ? 2a1 sin

?

a21

?

a1
a2

如图,三角凸轮沿水平运动,其斜边与水平线成α 角.杆AB的A端依靠在凸轮上,另一端的活塞B在竖直筒内滑动.如 凸轮以匀加速度a0向右运动,求活塞B的加速度aB .

本题属相关加速度问题 设三角形高h、底边长b 由加速度相关关系

aB

a0 b ? ? cot ? aB h

B a0
?

aB ? a0 tan ?
b

A
h

方向竖直向上

如图所示,质量为m2的立方块放在光滑的地面上, 质量为m1的劈(劈角为α),直角边靠在光滑的竖直墙上,斜边压在 立方体上,试求劈和立方块的加速度 . 劈和立方块的加速度设为a1、a2:FN a1、a2的关系是

FNy
m2 a2

a1 ? a2 tan ?

m1 ? a1
?

设m1、m2间压力为FN

则对m1 对m2

m1 g ? FNy ? m1a1 ? FNy tan ? ? m2 a2
m1 g

? FNy

FN

a1 ?

m1 ? m2 cot 2 ?

m1 g a2 ? m1 tan ? ? m2 cot ?

如图所示,已知方木块的质量为m,楔形体的质量 为M,斜面倾角为θ,滑轮及绳子的质量可忽略,各接触面之间光滑, 求楔形体M的加速度.

情景模拟 楔形体和方木块的加速度设为aM、 am,方木块相对楔形体的加速度amM: amM和aM的关系由位移关系
amM和aM、am的矢量关系是

amM ? a M
2

T

? ? ? a ? 2a sin ? am ? amM ? a M m M

MM θ mg maM cos ? amM

aM

对方块,以M为参考系的运动方程为 系统的“牛二律”方程为

mg sin ? ? T ? ma M cos ? ? ma M

xM

T ? MaM ? mam sin

?
2
?

?
2

aM

mg sin? ? M ? 2m(1 ? cos? )

am

aM

如图所示,在倾角为α的光滑斜面上,放有一个质 量为m2的斜块,斜块上表面水平,在它的上面放有质量为m1的物 块.摩擦不计,求两个物块的加速度.

分离前两者在竖直方向有相同加速度 在竖直方向由质点系“牛二律”
设斜面对m2支持力为F2,m2对m1支持力为F1,m1、m2整体 受力分析如示:

? m1 ? m2 ? g ? F2 cos? ? ? m1 ? m2 ? a2 sin?
m2 ? m1 sin 2 ? 又a1 ? a2 cos ?
2

对m2,在水平方向有 F2 sin ? ? m2 a2 cos ? 情景模拟 x ? m1 ? m2 ? g sin ? F2 a ?
?
m1

y
0

m2

a1 ?

? m1 ? m2 ? g sin
2

2

?

a2 ?

m2 ? m1 sin ?

?m2g

(M+m)g

如图所示,绳子不可伸长,绳和滑轮的质量不计, 摩擦不计.重物A和B的质量分别为m1和m2,求当左边绳的上端剪断 后,两重物的加速度 .

左边上端绳断瞬时,其余绳上力 尚未及改变,A、B受力如图

T1 ? m1 g ? m1a1
B受力如图

T1

m2 g ? T2 ? m2 a2
A、B加速度关系是

a1 ? 2a2 又 2T1 ? T2

A a1 T1

T2

m1g B
a2 m2 g

4m1 ? 2m2 2m1 ? m2 a1 ? g a2 ? g 4m1 ? m2 4m1 ? m2

如图所示,A为定滑轮,B为动滑轮,摩擦不计, 滑轮及线的质量不计,三物块的质量分别为m1、m2、m3 ,求:⑴物 块m1的加速度;⑵两根绳的张力T1和T2 设定坐标方向及线上拉力,对m1、m2、 m3建立运动方程 A T1 T1 ? m1 g ? m1a1 T1

设三者位移各为s1、s2、s3,m2与m3相对滑轮 B的位移设为x 对m2有x= s2+ s1 2s1 =s3- s2
a1 ? g

T2 ? m2 g ? m2 a2 m3 g ? T2 ? m3 a3 FT 1 ? 2FT 2

m1 T2 m1g m2 m2g x

B

T3

对m 由上列五式可得3有x= s3- s1 则a ? a3 ? a2 1 4m2 m3 ? m1 m2 ? m1 m3

m3 m3g

4m2 m3 ? m1 m2 ? m1 m3 8m1 m2 m3 4m1 m2 m3 T1 ? g T2 ? g 4m2 m3 ? m1 m 2 ? m1 m3 4m2 m3 ? m1 m 2 ? m1 m3

2

如图所示,一根绳跨过装在天花板上的滑轮,一端 接质量为M的物体,另一端吊一载人的梯子而平衡.人的质量为m, 若滑轮与绳子的质量均不计,绳绝对柔软,不可伸长.问为使滑轮 对天花板的反作用力为零,人相对于梯子应按什么规律运动? 由“滑轮对天花板的反作用力为零”知绳上张力为零

则aM ? a梯 ? g 对人与梯由质点系“牛二律” Mg ? ma人 ? ? M ? m ? g
则人相对梯的加速度为
2M ? m a人 ? g m

g

M

g
a人

2M ? m 2M a人梯 ? a人 ? a梯 ? g ? ??g? ? g m m

如图所示,离桌边左方l处放一石块,一根长度为 2l的不可伸长的轻绳将它与另一个相同质量的石块连接起来,搭在 轻滑轮上,两石块维持在同一高度,绳既不拉伸也不下垂,然后放 下右边石块.问:左边石块先到达桌边碰到滑轮,还是右边石块先 碰到桌子?(不计摩擦)

各时刻,绳上张力大 小T总处处相等!

情景模拟
l T

T 左石块加速度 a左 ? m 右石块水平加速度 T cos? a右 ? m

l
T

同样时间内左边石块位移大于右边石块,故

a右 < a左

左边石块先到达桌边

如图所示,质量为m的两个相同的重物,分别固定 在轻杆的两端,杆用铰链与轴相连,轴将杆长分为2∶1,维持杆的 水平,试求释放时两个物体的加速度及杆对轴的压力.

分析释放瞬时杆与两重物系统受力 由质点系“牛二律”

FN ? 2mg ? m a左 ? a右
由两球位移关系知

?

?

2FN/3

FN FN/3

a右 ? 2a左

a左
mg

由四式可得

对左球 2 F ? mg ? ma N 左

3 对右球 mg ? 1 F ? ma N 右 3

mg FN ? 9 2 a右 ? g 5 1 a左 ? g 5

mg a 右

如图所示,一根长度为3l的轻杆上固定质量分别为m1和m2的 两个重物,它们之间的距离以及它们分别到杆两端的距离相等.用两根竖直的绳 子系在杆的两端,使杆水平放置且保持平衡状态.试求当右边绳子被剪断时刻左 边绳子的拉力FT.

分析释放瞬时杆与两重物系统受力 对左球 对右球

m1 g ? 2FT ? m1a1

2FT FT
m1 a m2 1 m2g a2

m2 g ? FT ? m2 a2 a2 ? 2a1

由两球位移关系知

m1g

m1 m2 FT ? g m1 ? 4m2

FT

如图所示,在以加速度a行驶的车厢内,有一长为L,质量为 m的棒AB靠在光滑的后壁上,棒与车厢底面间的摩擦因数为μ.为了使棒不滑动, 棒与竖直平面所成的夹角θ应在什么范围内? .

棒不向右滑,受力如图

A
?

以车为参考系 水平方向 竖直方向

a
B

F2 ? F f ? ma

以A端为支点,应满足

FN ? mg
ma

A
?

F2 FN mg F f

L L ma cos? ? ? mgL cos ? ? mg sin ? ? mgL sin ? 2 2 a 由上可得 tan? ? ? 2?
棒不向左滑,受力如图 以A端为支点,应满足

Ff

g

θ范围为

L L ma cos? ? mg sin? 2 2

a ?1 a ( ? 2? ? ? ? tan ( ? 2? ) ) a g g tan? ? ? 2? g ? mgL sin ? ? ? mgL cos ?

两块与水平成角α的光滑斜面构成轻架,架上有如图所示那 样放置的两个小球,架可以沿水平面做无摩擦滑动,释放质量为m1的上球,试问 在什么条件下,质量为m2的下球将沿架子滚上?

两球受力如图 因为是轻架,即无加速度,所以两球对 架压力的水平分力应相等,有

临界时m2已不再压右边斜架!
m2
? ?

m1

FN 1 ? sin ? ? FN 2 ? sin ?

?

m1、m2在右斜面法线上的加速度应满足

m1g

m2g a1n > a2n m2 g cos ? ? FN 2 sin 900 ? 2? m1 g cos ? ? FN 1 即 > m1 m2 1 cos 2?

?

?

可得

m2 ? m1 cos 2?

m1

>

m2


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