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2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (12)


2015 年全国高中数学联赛山东省预赛
一、 填空题:本大题共 10 小题,每小题 8 分,共 80 分,请将答案填在答题卡的相应位置. 1.复数 z 满足 | z |? 5 ,且 (3 ? 4i) z 是纯虚数(其中 i 是虚数单位,满足 i 2 ? ?1) 则复数 z 的共轭复数是 2.方程 sin 4 x ? cos 4 x ? 1 的解为

( x ? 1)2 ? sin x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m ? x2 ? 1 4.如图,点 O 是半径为 1 的球的球心,点 A, B, C 在球面上, OA, OB, OC 两两垂直, E , F 分别是圆弧 AB, AC 的中点,则点 E , F 在该球面上的球面距离是
3.设函数 f ( x) ? 5.已知 x, y ?[0, ??) 且满足 x3 ? y3 ? 3xy ? 1,则 x 2 y 的最大值是 6.将正整数列 1, 2,3,? 中的所有完全平方数去掉后,按原顺序构成数列 {an } ,则 a2015 ? 7.把 1,2,3,4,5,6 这六个数随机排成一列组成一个数列,要求该数列恰好先增后减,这样的数列 共有 个
x 8.设 a ? 1 ,若关于 x 的方程 a ? x 无实数根,则实数 a 的取值范围是

sin A ? sin B ? sin C ? 3 ,则 ?B ? cos A ? cos B ? cos C 10.已知集合 M ? {x ? N |1 ? x ? 99} ,现随机选取 M 中 9 个元素构成 M 的子集,记该子集中的最小 数为 ? ,则 ? 的数学期望 E (? ) ?
9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 满足 A ? B ? C ,且 二、 本大题共 4 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 11(本小题满分 15 分) 求 证 : 不 存 在 这 样 的 函 数 f : Z ? {1, 2,3} 满 足 对 任 意 的 正 整 数 x, y , 若 | x ? y |?{2,3,5} , 则 f ( x) ? f ( y ) .

12(本小题满分 15 分)
2 对任意实数 x 和正整数 n ,比较 n sin x 和 sin x sin nx 的大小.

13(本小题满分 20 分) 已知椭圆 C1 :

(Ⅰ)求 ?OAB 面积的最大值; (Ⅱ)是否存在椭圆 C2 ,使得对于 C2 的每一条切线和椭圆 C1 均相交,设交于 A, B 两点,且 ?OAB 的面 积恰好取得最大值?若存在,求出该椭圆,若不存在,说明理由.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,不过原点的直线 l 和椭圆相交于两点 A, B. a 2 b2

14(本小题满分 20 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? an ?
3 (Ⅰ)求证:当 n ? 2 时, an ? 3n ;

1 (n ? N * ) 2 an

(Ⅱ)当 n ? 4 时,求 [a9 n3 ] ,其中 [ x ] 表示不大于 x 的正整数)


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