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2015高考数学二轮专题复习题7:三角恒等变换与解三角形含解析


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高考专题训练 (七 ) 三角恒等变换与解三角形
A 级——基础巩固组 一、选择题 24 ? π ? 1.已知 sin2α=- ,α∈?- ,0?,则 sinα+cosα=( 25 ? 4 ? A.- 1 5 B. 1 5 7 5 )

7 C.- 5

D.

? π ? 解析 ∵ α∈?- , 0?,∴cos α>0>sinα 且 cos α>|sinα|,则 sinα+cos α= ? 4 ?

1+sin2α = 答案 B

24 1 1- = . 25 5

?π ? 1 ?π ? 2.若 sin? +α?= ,则 cos? -2α? 等于( ?4 ? 3 ?2 ?

)

A.

4 2 9

4 2 B.- 9 7 D.- 9

7 C. 9

?π ? 解析 据已知可得 cos? - 2α? =sin2α ?2 ? ?π ? ? ?π ?? 7 =-cos2? +α?=-?1- 2sin2? +α? ?=- . ?4 ? ? ?4 ?? 9

答案 D
? π? 4 3 π 3.(2014· 河北衡水一模 )已知 sin?α+ ? +sinα=- ,- <α<0,则 ? 3? 5 2 ? 2π? cos?α+ ? 等于( ? 3?

)

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A.- 4 C. 5

4 5

3 B.- 5 D. 3 5

xk b 1 .co m

? π? 4 3 π 解析 ∵sin?α+ ?+sinα=- ,- <α<0, ? 3? 5 2

3 3 4 3 ∴ sinα+ cos α=- , 2 2 5 ∴ 3 1 4 sinα+ cos α=- . 2 2 5
? ?

∴cos?α+ 答案 C

2π? 2π 2π 1 3 4 ? =cos αcos -sinαsin =- cos α- sinα= . 3? 3 3 2 2 5

4.(2014· 江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, π c.若 c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 3 3 C. 2 解析 ∵ c2= (a-b)2+ 6, ∴ c2=a2+b2- 2ab+ 6.① π π ∵C= ,∴c2=a2+b2- 2abcos =a2+b2-ab.② 3 3 由①②得-ab+ 6= 0,即 ab= 6. 1 1 3 3 3 ∴S△ ABC= absinC= ×6× = . 2 2 2 2 答案 C 5. (2014· 江西七校联考)在△ABC 中, 若 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin( A +C),则△ABC 的形状一定是( ) B. 9 3 2 )

D.3 3

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A.等边三角形 C.钝角三角形

B.不含 60° 的等腰三角形 D.直角三角形

解析 sin(A- B)= 1+ 2cos(B+C)sin(A+ C)= 1- 2cos AsinB, ∴sinAcos B -cos AsinB= 1- 2cos A· sinB,∴sinAcosB+cos AsinB= 1,即 sin(A+ B)= 1, π 则有 A+ B= ,故三角形为直角三角形. 2 答案 D 6.(2014· 东北三省二模)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, c-b sinA b,c,且 = ,则 B=( c-a sinC+sinB π A. 6 π C. 3 ) π B. 4 D. 3π 4

c-b a b c a 解析 由 sinA= ,sinB= ,sinC= ,代入整理得 = ?c2 2R 2R 2R c-a c+b 1 π -b2=ac-a2,所以 a2+ c2-b2=ac,即 cos B= ,所以 B= ,故答案为 C. 2 3 答案 C 二、填空题
? π? 1 7.设 θ 为第二象限角,若 tan?θ+ ?= ,则 sinθ+cos θ=________. ? 4? 2 ? π? 1+ tanθ 1 1 解析 tan?θ+ ? = = ,解得 tanθ=- ,又 θ 为第二象限角, ? 4? 1- tanθ 2 3

得 sinθ=

10 3 10 10 ,cos θ=- ,所以 sinθ+ cos θ=- . 10 10 5 10 5

答案 -

8.(2014· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,

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1 已知 b-c= a,2sinB=3sinC,则 cos A 的值为________. 4 解析 由正弦定理得到边 b, c 的关系, 代入余弦定理的变式求解即可.
来 [ 源: 学#科#网 Z# X #X # K]

3 由 2sinB= 3sinC 及正弦定理得 2b= 3c,即 b= c. 2 1 1 1 又 b- c= a,∴ c= a,即 a= 2c. 4 2 4 9 2 2 32 2 c + c - 4 c - c b + c -a 4 4 1 由余弦定理得 cos A= = = 2 =- . 2bc 3 3c 4 2× c2 2
2 2 2

1 答案 - 4 9.(2014· 四川卷)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的 俯角分别为 67° ,30° ,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于 ________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67° ≈0.92, cos67° ≈0.39,sin37° ≈0.60,cos37° ≈0.80, 3≈1.73)

解析 根据图中给出的数据构造适当的三角形求解. 46 根据已知的图形可得 AB= .在△ ABC 中,∠BCA= 30° ,∠BAC= sin67° AB BC 46 37° ,由正弦定理,得 = ,所以 BC≈2× ×0.60= 60(m). sin30° sin37° 0.92 答案 60 三、解答题
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? π? ?5 ? 3 10.(2014· 广东卷)已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? π?= . ? 4? ? 12 ? 2

(1)求 A 的值; 3 ? π? ?3 ? (2)若 f(θ)+f(-θ)= ,θ∈?0, ? ,求 f? π-θ? . 2 ? 2? ?4 ?
?5π? ?5π π? 2π 3 解 (1)f? ? = Asin? + ? = Asin = , ? 12? ? 12 4? 3 2

3 2 ∴ A= · = 3. 2 3
? π? (2)由 (1)得: f(x)= 3sin?x+ ? , ? 4? ? π? ? π? ∴ f(θ)+ f(- θ)= 3sin?θ+ ? + 3sin?- θ+ ? ? 4? ? 4? ? π π? = 3?sinθcos +cos θsin ?+ ? 4 4? ? π π? 3?sin?- θ?cos +cos ?- θ?sin ? ? 4 4?

π 3 = 2 3cos θsin = 6cos θ= 4 2 ∴cos θ=

w

6 ? π? 10 ,又∵ θ∈?0, ? ,∴sinθ= . 4 ? 2? 4

?3π ? ?3π π? 10 30 ∴ f? - θ?= 3sin? - θ+ ?= 3sin(π- θ)= 3sinθ= 3× = . ?4 ? ?4 4? 4 4

11.(2014· 辽宁卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, →· → =2,cosB=1,b=3.求: 且 a>c.已知BA BC 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. →· → = 2,得 c· 解 (1)由BA BC acosB= 2, 1 又 cos B= ,所以 ac= 6. 3
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由余弦定理,得 a2+ c2=b2+ 2accos B. 又 b= 3,所以 a2+ c2= 9+ 2×2= 13.
?ac= 6 ? 解? 2 2 ,得 a=2, c= 3 或 a=3, c= 2. ? ?a + c = 13

因 a>c,所以 a= 3, c= 2. (2)在△ ABC 中,sinB= 1-cos 2B=
?1 ? 2 2 1-? ?2 = , ?3 ? 3

c 22 2 4 2 由正弦定理,得 sinC= sinB= · = . b 3 3 9 因 a=b>c, 所以 C 为锐角, 因此 cosC= 1-sin2C = 于是 cos(B-C)=cos BcosC+sinBsinC 1 7 2 2 4 2 23 = ·+ · = . 39 3 9 27 B 级——能力提高组 1.(2014· 重庆卷)已知△ABC 的内角 A,B, C 满足 sin2A+sin( A-B+ 1 C)=sin(C-A-B)+ ,面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 2 所对的边,则下列不等式一定成立的是( A.bc(b+c)>8 C.6≤abc≤12 )
?4 2 ?2 7 ?= . 1-? 9 ? 9 ?

B.ab(a+b)>16 2 D.12≤abc≤24

1 解析 由 sin2A+ sin(A- B+C)=sin(C- A- B)+ , 2 1 得 sin2A+ sin[A- (B-C)]+sin[A+ (B-C)]= , 2 1 所以 sin2A+ 2sinAcos(B-C)= . 2 1 所以 2sinA[cos A+cos(B-C)]= , 2
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1 所以 2sinA[cos(π- (B+C)+cos(B-C)]= , 2 1 所以 2sinA[- cos(B+C)+cos(B-C)]= , 2 1 即得 sinAsinBsinC= . 8 1 根据三角形面积公式 S= absinC,① 2 1 S= acsinB,② 2 1 S= bcsinA,③ 2 因 为 1≤S≤2 , 所 以 1≤S3≤8. 将 ① ② ③ 式 相 乘 得 1≤S3 = 1 8

a2b2c2sinAsinBsinC≤8, 即 64≤a2b2c2≤512, 所以 8≤abc≤16 2, 故排除 C, D 选项,而根据三角形两边之和大于第三边,故 b+c>a,得 bc(b+ c)>8 一 定成立,而 a+b>c,ab(a+b)也大于 8,而不一定大于 16 2,故选 A. 答案 A 2.(2014· 课标全国卷Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC 面积的最大值 为________ . 解析 由正弦定理,可得 (2+b)(a-b)= (c-b)· c. ∵a= 2,∴a2-b2= c2-bc,即 b2+ c2-a2=bc. b2+ c2-a2 1 由余弦定理,得 cos A= = . 2bc 2 ∴sinA= 3 .由 b2+ c2-bc= 4,得 b2+ c2= 4+bc. 2

∵b2+ c2≥2bc,即 4+bc≥2bc,∴bc≤4. 1 ∴S△ ABC= bc· sinA≤ 3,即(S△ ABC)max= 3. 2
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答案

3

3.(2014· 河北唐山统考)在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 4sin2 B+C 7 -cos2A= . 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 BC 边上高为 1,求△ABC 面积的最小值. 解 (1)因为 A+B+C=π, B+ C π- A A 所以 sin =sin =cos , 2 2 2 A 7 所以由已知得 4cos 2 -cos2A= , 2 2 7 变形得 2(1+ cos A)- (2cos 2A- 1)= , 2
w

1 整理得(2cos A- 1)2= 0,解得 cos A= . 2 π 因为 A 是三角形的内角,所以 A= . 3 1 1 1 1 3 3 (2)△ ABC 的面积 S= bcsinA= × × × = . 2 2 sinC sinB 2 4sinBsinC 设 y= 4sinBsinC,
?2π ? 则 y= 4sinBsin? -B?= 2 3sinBcos B+ 2sin2B= 3sin2B+ 1-cos2B= ?3 ? ? π? 2sin?2B- ?+ 1. ? 6?

π 2π π 因为 0<B< , 0< -B< , 2 3 2 π π π π 5π 所以 <B< ,从而 <2B- < , 6 2 6 6 6 π π π 3 故当 2B- = ,即 B= 时,S 的最小值为 . 6 2 3 3
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