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北京市通州区潞河中学2015—2016学年高一上学期期中考试数学试卷


潞河中学 2015—2016 第一学期期中高一数学试题
一、选择题(本题 8 个小题,每小题只有一个正确选项,每小题 5 分,共 40 分) 1、已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,集合 M ? ?2,3,5? , N ? ?4,5? ,则集合 CU ? M ? N ? 中 元素的个数是( A、 0 个 ) B、 1 个 C、 2 个 ) D、 y ?

2x D、 3 个

2、下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ?? ? 上单调递增的是( A、 y ? x 3
0.3

B、 y ? ln x

C、 y ? ? x 2

3、若 a ? ?

?1? ?0.1 ? , b ? 2 , c ? log 1 2 ,则 a , b , c 大小关系从小到大为( ?2? 2
B、 a ? c ? b
3



A、 a ? b ? c

C、 c ? b ? a

D、 b ? a ? c ) D、 18

4、已知 f ? x ? ? ax ? bx ? 2 且 f ? 5? ? 16 ,则 f ? ?5? 的值为( A、 ?12 B、 ?18 C、 12

5、 已知函数 f ? x ? ? a x ,g ? x ? ? loga x( a ? 0 ,a ? 1 ) , 若f? 与 g ? x ? 在同一坐标系内的图像可能是下图中的( )

?1? ?1? 那么 f ? x ? ?? g ? ? ? 0 , ?2? ?2?

A、 B、 C、 D、 6、某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路,在下图 中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中较符合学生走法的是( )

A、 7、已知函数 f ? x ? ? ?

B、

C、

D、 )

?? 2 ? a ? x ? 3a ? x ? 1? ? 是 R 上的增函数,那么实数 a 的范围( ? ? log a x ? x ? 1?
B、 ? , 2 ?

A、 ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

?1 ?2

? ?

C、 ?1, ?? ?

D、 ?1, 2 ?

8、如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m )与时间 t (月)的关系: f ?t ? ? at ,
2

有以下叙述: ①这个指数函数的底数是 2 ; ②浮萍每个月增长的面积都相等; ③浮萍从 4m 蔓延到 12m 需要经过 1.5 个月; ④对浮萍蔓延到的任意两个时间点 t1 ,t 2 , 都有 成立; ⑤若浮萍蔓延到 2m 、3m 、6m 所经过的时间分别为 t1 、t 2 、t3 , 则 t1 ? t2 ? t3 . 其中正确的是( A、①③④ ) B、①③④⑤ C、①④⑤ D、②③⑤
2 2 2
2
2

f ? t1 ? ? f ? t2 ? t1 ? t2

?0

二、填空题(本题 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

1 ? 2? 9、计算 ? ? ? ? 3 0.064 ? lg 2 ? lg 的结果是 5 ? 5?
10、若 a ? 0 且 a ? 1 ,则函数 y ? a x?2 ?1 的图像必过定点 11 、有以下判断:① f ? x ? ?

0





x x

与 f ? x? ? ?

? ? 1, ? x ? 0 ? 是同一个函数;② y ? 2 x ? 1 与 ? ? ?1, ? x ? 0 ?

y ? 2t ? 1 是同一个函数;③ y ? f ? x ? 与直线 x ? 2 的交点最多有一个;④ y ? 1 不是函数.
其中正确的序号为
2

。 。 。

12、函数 f ? x ? ? x ? ? 2 ? k ? x ? 1 在 ? ?2, 2? 上是单调函数,则 k 的取值范围为 13、函数 f ? x ? ? log 1 9 ? 3x 定义域为
3

?

?

;值域为
* *

14、已知 f 是有序书对集合 M ?

?? x, y ? x ? N , y ? N ? 上的一个映射,正整数数对 ? x, y?

在映射 f 下对应实数 z ,记作 f ? x, y ? ? z ,对于任意的正整数 m ,n ( m ? n ) ,映射 f 由 下表给出:

? x, y ?
f ? x, y ?

? n, n?
n

? m, n?
m?n

? n, m?
m? n

则 f ? 3,5? =

x ,使不等式 f 2 , x ? 4 成立的 x 的集合是

?

?



三、解答题(本题 6 个小题,共 80 分) 15、 (本小题满分 13 分) 已知集合 A ? ? x

? x ?3 ? ? 0? , B ? ? x x 2 ? 12 x ? 20 ? 0? , C ? ? x 5 ? a ? x ? a? , ? x?7 ?

(1)求 A ? B , ? CR A? ? B ; (2)若 C ? ? A ? B ? ,求实数 a 的取值范围。 16、 (本小题满分 13 分)

( x ? 1) ?? x ? 2, ? 2 (?1 ? x ? 1) 已知函数 f ? x ? ? ? x , ? x ? 2, ( x ? ?1) ?
(1)求 f ? f ?

? ? 5 ?? ? ? 的值; ? ? 2 ??

(2)画出函数 f ? x ? 的图像,并根据 f ? x ? 的图像写出函数 f ? x ? 的值域和单调区间; (3)若方程 f ? x ? =m 有四个根,写出实数 m 的取值范围,并求出这四个根的和。 17、 (本小题满分 13 分)

?1? 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? ? ? ?2?
(1)求函数 f ? x ? 的值域 A ; (2)解不等式 f ? lg x ? ? f ? ?1? ; (3)设函数 g ? x ? ? 取值范围。

x

? x 2 ? ? a ? 1? x ? a 的定义域为集合 B ,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的

18、 (本小题满分 13 分) 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入 60 吨,同时蓄水池又向 居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨( 0 ? t ? 24 ) (1)设 t 小时后蓄水池中的存水量为 y 吨,写出 y 关于 t 的函数表达式; (2)求从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?

(3)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内, 有几小时出现供水紧张现象? 19、 (本小题满分 14 分) 已知 f ? x ? ? log a

1 ? mx ( a ? 0 且 a ? 1 , m ? ?1 )是定义在区间 ? ?1,1? 上的奇函数。 1? x

(1)求 f ? 0 ? 的值和实数 m 的值; (2)判断函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上的单调性,并给出证明; (3)若 f ?

?1? ? ? 0 ,且 f ?b ? 2? ? f ? 2b ? 2? ? 0 成立,求实数 b 的取值范围。 ?2?

20、 (本小题满分 14 分) 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 ? ?2 , 2 ? 上 的 奇 函 数 , 当 a , b ???2, 2? , 且 a ? b ? 0 时 , 有

f ? a? ? f? b ? a?b

?0.

(1)比较 f ?1? 与 f ? 0 ? 的大小; (2)若 m ? n ,试比较 f ? m? 与 f ? n ? 的大小; (3) 若 f ? 2? ? 1 , f ? x ? ? t ? 2bt ? 1 ,对所有 x ?? ?2, 2? ,b ???1,1? 恒成立,求实数 t 的
2

取值范围。

潞河中学 2015—2016 第一学期期中高一数学答案
一、选择题(本题 8 个小题,每小题只有一个正确选项,每小题 5 分,共 40 分) 1、C 2、B 3 、D 4、A 5、B 6、D 7 、D 8、C 二、填空题(本题 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9、 1.6 11、②③ 13、 ? ??,2? , ? ?2, ?? ? 三、解答题(本题 6 个小题,共 80 分) 15、解: (1) A ? ? x 10、 ? 2, 0 ? 12、 ? ??, ?2? ? ?6, ??? 14、 8 , ?1, 2?

? x ?3 ? ? 0? = ? x ? x ? 3?? x ? 7 ? ? 0? = ? x 3 ? x ? 7? ? x?7 ?

B ? x x 2 ? 12 x ? 20 ? 0 = ? x ? x ? 10 ?? x ? 2 ? ? 0? = ? x 2 ? x ? 10?
∴ A ? B ? x 2 ? x ? 10

?

?

?

? ? ?
5 ; 2

∵ C R A ? x x ? 3或x ? 7

?

∴ ? CR A ? ? B ? x 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10 (2)由(1)知 A ? B ? x 2 ? x ? 10

?

?

?

①当 C ? ? 时,满足 C ? ? A ? B ? ,此时 5 ? a ? a ,得 a ?

?5 ? a ? a 5 ? ②当 C ? ? 时,若满足 C ? ? A ? B ? ,则需满足 ?5 ? a ? 2 ,解得 ? a ? 3 2 ? a ? 10 ?
综上所述, a 的取值范围是 a ? 3 16、解: (1) f ?

5 1 ?5? ? ? ? ? 2 ? ? ,∴ 2 2 ?2?

? f? ?

? 5 ?? f ? ?? ? ? 2 ??

? 1? 1 f ?? ? ? ; ? 2? 4

(2) f ? x ? 的图像如下图所示:

由图像知,函数的值域是 ? ??,1? , 单调增区间是 ? ??, ?1? 和 ? 0,1? ;单调减区间是 ? ?1,0? 和 ?1, ?? ? (3)∵方程 f ? x ? =m 有四个根, ∴根据图像可得实数 m 的取值范围为 0 ? m ? 1 由函数 f ? x ? 是偶函数,所以这四个根的和为 0 17、解: (1)由函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,可得函数 f ? x ? 的值域 A 即为 x ? 0 时, f ? x ? 的取值范围。 当 x ? 0 时, 0 ? ?

?1? ? ? 1 ,故函数 f ? x ? 的值域 A ? ? 0,1? ?2?

x

(2)由函数 f ? x ? 的图像易知: ∵ f ? lg x ? ? f ? ?1? ∴ ?1 ? lg x ? 1 解得

1 ? x ? 10 10

(3)∵ g ? x ? ?

? x 2 ? ? a ? 1? x ? a

2 ∴函数 g ? x ? 的定义域 B ? x ? x ? ? a ? 1? x ? a ? 0 = x ? x ? a ?? x ? 1? ? 0

?

? ?

?

若 a ? ?1 ,则 B ? x a ? x ? ?1 ,此时 A ? B ? ? ,不符合题意, 故 a ? ?1 ,即 B ? x ? 1 ? x ? a ∵ A ? B ? ? ,所以 a ? 0 综上所述, a 的取值范围为 a ? 0

?

?

?

?

18、解: (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨, 则 y ? 400 ? 60t ?120 6t ( 0 ? t ? 24 )
2 (2)令 6t ? x ,则 x ? 6t ( 0 ? x ? 12 )

即 y ? 400 ? 10x2 ?120x =10 ? x ? 6 ? ? 40 ( 0 ? x ? 12 )
2

∴当 x ? 6 时,即 t ? 6 时, ymin ? 40 即从供水开始到第 6 个小时时,蓄水池水量最少,最少水量为 40 吨。 (3)依题意, 400 ? 10 x ? 120 x ? 80 ,得 x ? 12 x ? 32 ? 0
2 2

解得 4 ? x ? 8 ,即 4 ? 6t ? 8 ,解得 由

8 32 ?t ? 3 3

32 8 ? ? 8 ,所以每天约有 8 小时供水紧张。 3 3

19、解: (1) f ? 0? ? loga 1 ? 0 ∵ f ? x ? 是定义在区间 ? ?1,1? 上的奇函数 ∴ f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,即 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0

1 ? mx 1 ? mx ? log a ?0 1? x 1? x 1 ? mx 1 ? mx ? ?1 ∴ 1? x 1? x
∴ log a 即 1 ? m x ? 1 ? x 对定义域内的 x 都成立
2 2 2

∴ m ? 1 ,解得 m ? 1 或 m ? ?1 (舍)
2

综上所述: m ? 1 (2)∵ m ? 1 ,∴ f ? x ? ? log a 令t ?

1? x 1? x

1? x 2 ? ?1 ? 1? x 1? x

任取 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,且 x1 ? x2 则 t1 ? t2 ?

2 ? x2 ? x1 ? 2 2 ? = 1 ? x1 1 ? x2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

∵ ?1 ? x1 ? x2 ? 1

∴ x2 ? x1 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 所以 t1 ? t2 当 a ? 1 时, loga t1 ? loga t2 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,此时 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递减; 当 0 ? a ? 1 时, loga t1 ? loga t2 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,此时 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递增; 综上所述:当 a ? 1 时, f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递减; 当 0 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递增。 (3)由 f ?b ? 2? ? f ? 2b ? 2? ? 0 得 f ?b ? 2? ? ? f ? 2b ? 2? ∵函数 f ? x ? 是奇函数 ∴ f ?b ? 2? ? f ? 2 ? 2b ? ∵f?

1 ?1? ? ? log a ? 0 3 ?2?

∴0 ? a ?1 由(2)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数

? b ? 2 ? 2 ? 2b 4 3 ? ∴ ? ?1 ? b ? 2 ? 1 ,解得 ? b ? 3 2 ? ?1 ? 2b ? 2 ? 1 ?
∴ b 的取值范围为 ?

?4 3? , ? ?3 2?

20、解: (1)∵ f ? x ? 是定义在 ? ?2, 2? 上的奇函数 ∴ f ? 0? ? 0



f ? a ? ? f ?b ? a?b f ?1? ? f ? 0 ? 1? 0

? 0 ,令 a ? 1 , b ? 0 ? 0 ,即 f ?1? ? 0



∴ f ?1? ? f ? 0? (2)设 x1 , x2 ???2,2? ,且 x1 ? x2 ,在

f ? a ? ? f ?b ? a?b

? 0 中,令 a ? x1 , b ? ? x2



f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? x1 ? x2

?0

∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 又∵ f ? x ? 是定义在 ? ?2, 2? 上的奇函数,∴ f ? ?x2 ? ? ? f ? x2 ? 则

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

?0

∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 故 f ? x ? 在 ? ?2, 2? 上为增函数 ∵m?n ∴ f ? m? ? f ? n ? ( 3 )∵ f ? 2? ? 1 ,且 f ? x ? 在 ? ?2, 2? 上为增函数,对所有 x ?? ?2, 2? , b ???1,1? 总有

f ? x ? ? t 2 ? 2bt ?1 恒成立
2 ∴应有 1 ? t ? 2bt ? 1 恒成立,即 t ? 2bt ? 0 对于任意 b ???1,1? 恒成立

2

记 g ? b ? ? ?2tb ? t ,若对所有 b ???1,1? ,总有 g ? b ? ? 0 成立,则只需 g ? b ? 在 ??1,1? 上的
2

最小值不小于零即可。 ①当 t ? 0 时, g ? b ? ? 0 ,满足题意;
2 ②当 t ? 0 时, g ? b ? ? ?2tb ? t 是减函数,故在 ??1,1? 上, g ? b ? 在 b ? 1 处取得最小值, 2 则需满足 g ?1? ? ?2t ? t ? 0 ,解得 t ? 2 或 t ? 0 (舍) ; 2 ③当 t ? 0 时, g ? b ? ? ?2tb ? t 是增函数,故在 ??1,1? 上, g ? b ? 在 b ? ?1 处取得最小值, 2 则需满足 g ? ?1? ? 2t ? t ? 0 ,解得 t ? ?2 或 t ? 0 (舍) ;

综上所述, t 的取值范围为 t ? ? ??, ?2? ??0? ? ?2, ???


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