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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第3讲 二项式定理(含解析)新人教A版


第 3 讲 二项式定理
一、选择题 1?6 ? 1.二项式?2x- ? 的展开式中的常数项是(

?

x?

) B.-20 D.-160

A.20 C.160

1 6 ? 1?r r 6-r r 6-r r 6 解析 二项式(2x- ) 的展开式的通项是 Tr+1

=C6·(2x) ·?- ? =C6·2 ·(-1) ·x

x

? x?

-2r

1 6 3 6-3 3 .令 6-2r=0,得 r=3,因此二项式(2x- ) 的展开式中的常数项是 C6·2 ·(-1)

x

=-160. 答案 D 2?n ? 2.若二项式? x- ? 的展开式中第 5 项是常数项,则正整数 n 的值可能为(

?

x?

).

A.6 解析 Tr+1=Cn( x) 12. 答案 C
r

B.10
n-r

C.12

D.15

?-2?r=(-2)rCrxn-3r,当 r=4 时,n-3r=0,又 n∈N*,∴n= ? x? n 2 2 ? ?

a?8 3.已知? ?x-x? 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和是 ( A.28 B.38 C.1 或 38 ). D.1 或 28

解析 由题意知 C4 (-a)4=1 120,解得 a=± 2,令 x=1,得展开式各项系数和为(1-a)8 8· =1 或 38. 答案 C 4.设?5x-

? ?

1 ?n

x?

? 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开
). B.150
n n

式中 x 的系数为( A.-150

C.300

D.-300

解析 由已知条件 4 -2 =240,解得 n=4,
4-r Tr+1=Cr 4(5x) ?-

? ?

1 ?r 3r r 4-r r ? =(-1) 5 C4x4- 2 , x?

3r 令 4- =1,得 r=2,T3=150x. 2

1

答案 B 5.设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512 012+a 能被 13 整除,则 a=( A.0 B.1 C.11 D.12 ).

解析 512 012+a=(13×4-1)2 012+a 被 13 整除余 1+a,结合选项可得 a=12 时,512 012 +a 能被 13 整除. 答案 D 6.已知 0<a<1,方程 a|x|=|logax|的实根个数为 n,且(x+1)n+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+ 2)2+…+a10(x+2)10+a11(x+2)11,则 a1= A.-10 B.9 C.11 ( D.-12 ).

解析 作出 y=a|x|(a>0)与 y=|logax|的大致图象如图所示,所以 n =2.故(x+1)n+(x+1)11=(x+2-1)2+(x+2-1)11, 所以 a1=-2+ C10 11 =-2+11=9. 答案 B 二、填空题 1 ?18 7. ?x- 的展开式中含 x15 的项的系数为________(结果用数值表示). ? 3 x? 1 ?r 3 3 18-r? ?1?r - 解析 Tr+1=Cr =(-1)rCr 令 18- r=15, 解得 r=2.所以所求 18x 18 3 x18- r, ? ? 2 2 ? 3 x?

?1?2 系数为(-1)2· C2 18 3 =17. ? ?
答案 17 1 ?n 2 ? * 8.已知(1+x+x )?x+ 3? 的展开式中没有常数项,n∈N 且 2≤n≤8,则 n=________.

?

x?

? 1 ?n 解析 ?x+ 3? 展开式中的通项为 x ? ?
n-r Tr+1=Cr nx ?x3?r ? ?

?1?

=Cnx

r n-4r

(r=0,1,2,…,8),

将 n=2,3,4,5,6,7,8 逐个检验可知

n=5.
答案 n=5 π? ? 5 3 9.若(cosφ +x) 的展开式中 x 的系数为 2,则 sin?2φ + ?=________. 2? ? 3 3 2 解析 由二项式定理得,x 的系数为 C5cos φ =2, π? 1 3 ? 2 2 ∴cos φ = ,故 sin?2φ + ?=cos2φ =2cos φ -1=- . 2 5 5 ? ? 3 答案 - 5
2

10.设二项式?x-

?

a ?6 (a>0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为 B.若 B=4A,则 a 的值是 x?

________.

?-a? 3 6-r? r 1 ?r=Cr 解析 由 Tr+1=Cr x 6 6(-a) x6- r, 2 ? x2 ? ? ?
4 2 2 得 B=C4 6(-a) ,A=C6(-a) ,∵B=4A,a>0,∴a=2.

答案 2 三、解答题

? 1? 11.已知二项式? 3 x+ ?n 的展开式中各项的系数和为 256. x? ?
(1)求 n;(2)求展开式中的常数项. 解
1 2 n n (1)由题意,得 C0 n+Cn+Cn+…+Cn=256,即 2 =256,解得 n=8.

8-4r 3 8-r ?1?r r 8-4r (2)该二项展开式中的第 r+1 项为 Tr+1=Cr · x , 令 =0, 得 r=2, 8( x) ?x? =C8· 3 3 此时,常数项为 T3=C2 8=28. 12.已知等差数列 2,5,8,…与等比数列 2,4,8,…,求两数列公共项按原来顺序排列构成新 数列{Cn}的通项公式. 解 等差数列 2,5,8,…的通项公式为 an=3n-1,
k k
* *

等比数列 2,4,8,…的通项公式为 bk =2 ,令 3n-1=2 ,n∈N ,k ∈N , 2 +1 即 n= = 3 = Ck 3 -Ck 3
0

k

- 3

k

+1 - 3
k -1

k

1

k -1

+…+Ck
*

k -1

+Ck

k



k

+1 ,

当 k =2m-1 时,m∈N ,

n=

C2m-13

0

2m-1

-C2m-13 3

1

2m-2

+…+C2m-13 * ∈N ,

2m-2

Cn=b2n-1=2

2n-1

(n∈N ).

*

16 2 1 13.已知(a2+1)n 展开式中的各项系数之和等于? 5 x + ?5 的展开式的常数项,而(a2+1)n x? ? 的展开式的系数最大的项等于 54,求 a 的值. 16 2 1 ? 1 ?r=?16?5-rCr x20-5r,令 20- ?16 2?5-r· 解 ? 5 x + ?5 的展开式的通项为 Tr+1=Cr 5 5x 5 ? ? ? x? ? 5 ? 2 x? ? 5r=0,得 r=4,故常数项 T5=C4 5× 16 =16.又(a2+1)n 展开式的各项系数之和等于 2n,由 5

题意知 2n=16,得 n=4.由二项式系数的性质知,(a2+1)n 展开式中系数最大的项是中间
4 项 T3,故有 C2 4a =54,解得 a=± 3.

3

1 ?n 14.已知? ?2+2x? , (1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系 数最大项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项. 解
6 5 2 (1)∵C4 n+Cn=2Cn,∴n -21n+98=0.

∴n=7 或 n=14, 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5. 35 3?1?4 3 ∴T4 的系数为 C7 ?2? 2 = 2 ,

?1?3 4 T5 的系数为 C4 7 2 2 =70, ? ?
当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8.
7 ?1?7 7 ∴T8 的系数为 C14 ?2? 2 =3 432. 1 2 2 (2)∵C0 n+Cn+Cn=79,∴n +n-156=0.

∴n=12 或 n=-13(舍去).设 Tk+1 项的系数最大, 1 12 ?12 ?1?12 ∵? ?2+2x? =?2? (1+4x) ,
k k k 1 k 1 ? ?C124 ≥C12 4 , ∴? k k k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 . ?
- -

∴9.4≤k≤10.4,∴k=10.

∴展开式中系数最大的项为 T11,
2 10 10 10 T11=C10 12·? ? ·2 ·x =16 896x . 2

?1? ? ?

4

5


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