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定积分的简单应用有答案


定积分的简单应用
★巩固练习★ 第一组
1.如图所示,阴影部分的面积为( A.?bf(x)dx ?a B.?bg(x)dx ?a C ) D.?b[g(x)-f(x)]dx ?a

C.?b[f(x)-g(x)]dx ?a

2.如图所示,阴影部分的面积是( A.2 3 B.2- 3

C C.

/>
) 32 3 D. 35 3 C )

3. 由曲线 y=x2-1、 直线 x=0、 x=2 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( A.?2(x2-1)dx ?0 B.|?2(x2-1)dx| ?0 C.?2|x2-1|dx ?0 D.?1(x2-1)dx+?2(x2-1)dx ?0 ?1

4.设 f(x)在[a,b]上连续,则曲线 f(x)与直线 x=a,x=b,y=0 围成图形的面 积为( C ) B.|?bf(x)dx| ?a C.?b|f(x)|dx ?a B 5 2 ) D.以上都不对

A.?bf(x)dx ?a 5.曲线 y=1- A.4

16 2 x 与 x 轴所围图形的面积是( 81 B.3 C.2 D.

-1-

6.(2010·山东理,7)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( A. 1 12 B. 1 4 C. 1 3 D. 7 12

A

)

9 7.过原点的直线 l 与抛物线 y=x2-2ax(a>0)所围成的图形面积为 a3,则直线 l 2 的方程为( B ) B.y=ax C.y=-ax D.y=-5ax

A.y=±ax

8.由曲线 y2=2x,y=x-4 所围图形的面积是________.18 1 9.由两条曲线 y=x2,y= x2 与直线 y=1 围成平面区域的面积是________. 4 4 3

9 10.计算曲线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3 所围图形的面积. . 2 11.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根, 且 f′(x)=2x+2.(1)求 y=f(x)的表达式; (2)若直线 x=-t(0<t<1)把 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积 二等分,求 t 的值.t=1- 1 3 2

12.在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积 1 为 ,试求:(1)切点 A 的坐标;(2)过切点 A 的切线方程. 12 切点 A(1,1),切线方程为 y=2x-1.

-2-

第二组
1.已知 f(x)为偶函数,且?6f(x)dx=8,则?6-6f(x)dx=( ) ? ?0 A.0 B.4 C.8 D.16 2 x ,x∈[0,1], ? ? 2. 设 f(x)=?1 (其中 e 为自然对数的底数), 则?e f(x)dx 的值为( ?0 , x ∈ ? 1 , e ] ? ?x 4 2 A.3 B.2 C.1 D.3 3.若 a=?2x2dx,b=?2x3dx,c=?2sinxdx,则 a、b、c 的大小关系是( ) ?0 ?0 ?0 A.a<c<b B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b 4.如图 K15-1,阴影部分的面积是 ( )

)

图 K15-1 32 35 A.2 3 B.2- 3 C. 3 D. 3 5.设函数 f(x)=ax2+1,若?1f(x)dx=2,则 a=( ) ?0 A.1 B.2 C.3 D.4 π π 6.由直线 x=-3,x=3,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( ) 1 3 A.2 B.1 C. 2 D. 3 8.若?k (2x-3x2)dx=0,则 k 等于( ) ?0 A.0 B.1 C.0 或 1 D.以上均不对 10 .设函数 y= f(x) 的定义域为 R + ,若对于给定的正数 K ,定义函数 fK(x) = ?K,f?x?≤K, 1 1 ? 则当函数 f(x) = x , K = 1 时,定积分 ?2 4 fK(x)dx 的值为 ? ?f?x?,f?x?>K, ________. π 11.∫20(sinx+acosx)dx=2,则实数 a=________. 12.如图 K15-2 所示,已知曲线 C1:y=x2 与曲线 C2:y=-x2+2ax(a>1)交于点 O、A,直线 x=t(0<t≤1)与曲线 C1、C2 分别相交于点 D、B,连接 OD、DA、 AB. (1)写出曲边四边形 ABOD(阴影部分)的面积 S 与 t 的函数关系式 S=f(t);
-3-

(2)求函数 S=f(t)在区间(0,1]上的最大值.

图 K15-2 图 K15-3 13. 已知二次函数 f(x)=3x -3x,直线 l1:x=2 和 l2:y=3tx(其中 t 为常数,且 0<t<1), 直线 l2 与函数 f(x)的图象以及直线 l1、 l2 与函数 f(x)的图象所围成的封闭图 形如图 K15-3,设这两个阴影区域的面积之和为 S(t). (1)求函数 S(t)的解析式; (2)定义函数 h(x)=S(x),x∈R.若过点 A(1,m)(m≠4)可作曲线 y=h(x)(x∈R)的三条切线,求实数 m 的取值范围.
2

-4-

第二组答案
【基础热身】 1.D [解析] ?6-6f(x)dx=2?6f(x)dx=2×8=16. ? ? 2.A
e 1 2 [解析] 根据积分的运算法则,可知∫e 0f(x)dx 可以分为两段,即∫0f(x)dx=? x dx 1 e 0

1 1 3? 4 ? 1 +∫e 1 dx= x ? +lnx? = +1= ,所以选 A. x 3 0 3 3 1 2 2 1 8 1 4?2 2 3 2 ? = 3. D [解析] a=?2x2dx= x3? = , b = x d x = x = 4 , c = sin x d x =- cos x ? ? ?0 3 ?0 3 4 ?0 ? ? ?
0 0 0

?0

1-cos2<2, ∴c<a<b.
1 1 32 3x- x3-x2?? = . 4.C [解析] ?1-3(3-x2-2x)dx=? 3 ? ? ? - 3 3 ? 【能力提升】 1 ax3 a 5.C [解析] ?1f(x)dx=?1(ax2+1)dx= +x? ?0 =3+1=2,解得 a=3. 3 ? ?

π π [解析] 根据定积分的相关知识可得到: 由直线 x=- , x= , y=0 与曲线 y=cosx 3 3 所围成的封闭图形的面积为: π π S=∫ - cosx dx=sinx错误!=sin错误!-sin错误!=错误!, 3 3 故选 D. 6. D 7.D [ 解析 ] ?8 (9.8t + 6.5)dt = (4.9t2 + 6.5t) ? ?4 = 4.9×64 + 6.5×8 - 4.9×16 - 6.5×4 = ?
4 k k 8

0

0

313.6+52-78.4-26=261.2.
0 0 0

8.C [解析] ?k (2x-3x2)dx=?k 2xdx-?k 3x2dx=x2? -x3? =k2-k3=0,∴k=0 或 k= ? ? 0 0 ? ? ? 1. 9.D [解析] 由 F(x)=kx,得 k=100,F(x)=100x,W=∫0 100xdx=0.18(J). 1 1, ≤1, x 1 11 10.2ln2+1 [解析] 由题设 f1(x)= 于是定积分?2 f1(x)dx=?1 dx+?2 ?4 ? 4x 1 1 ?1 , >1, x x
0.06

? ? ?

1dx=lnx

?11+x ?4

?2=2ln2+1. ?1

π 11.1 [解析] ∫ 0(sinx+acosx)dx=(asinx-cosx)错误!=错误!-asin0+cos0=a+1=2, 2 ∴a=1. ?y=x2, ?x=0, ?x=a, ? ? ? 12.[解答] (1)由? 解得? 或? 2 2 ?y=-x +2ax, ?y=0 ?y=a . ? ? ? ∴O(0,0),A(a,a2).又由已知得 B(t,-t2+2at),D(t,t2), 1 1 ∴S=?t (-x2+2ax)dx- t×t2+ (-t2+2at-t2)×(a-t) 2 2 ?
t 1 13 2 - x3+ax2?? =? ? 3 ??0 -2t +(-t +at)×(a-t) 1 1 1 =- t3+at2- t3+t3-2at2+a2t= t3-at2+a2t. 3 2 6 0

-5-

1 故 S=f(t)= t3-at2+a2t(0<t≤1). 6 12 (2)f′(t)= t -2at+a2, 2 1 令 f′(t)=0,即 t2-2at+a2=0, 2 解得 t=(2- 2)a 或 t=(2+ 2)a. ∵0<t≤1,a>1,∴t=(2+ 2)a 应舍去. 2+ 2 1 ①若(2- 2)a≥1,即 a≥ = , 2 2- 2 1 ∵0<t≤1,∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 f(1)=a2-a+ . 6 2+ 2 ②若(2- 2)a<1,即 1<a< , 2 (i)当 0<t<(2- 2)a 时,f′(t)>0, (ii)当(2- 2)a<t≤1 时,f′(t)<0. ∴f(t)在区间(0,(2- 2)a)上单调递增,在区间[(2- 2)a,1]上单调递减.∴f(t)的最大值 2 2-2 3 1 是 f((2- 2)a)= [(2- 2)a]3-a[(2- 2)a]2+a2(2- 2)a= a. 6 3 1? 2+ 2? a -a+ ?a≥ ? ?, 6? ? 2 ? =? 2 2-2 ? 2+ 2? ?. ? ? 3 a? ?1<a< 2 ?
2 3

综上所述 f(t)max

【难点突破】
?y=3x2-3x, ? 13.[解答] (1)由? 得 x2-(t+1)x=0, ? y = 3tx ? 所以 x1=0,x2=t+1. 所以直线 l2 与 f(x)的图象的交点的横坐标分别为 0,t+1. 因为 0<t<1,所以 1<t+1<2. + 所以 S(t)=∫t0 1[3tx-(3x2-3x)]dx+?2t+1[(3x2-3x)-3tx]dx

?

3?t+1? 2 ? 3 3?t+1? 2??2 3??t+1 = ? ? 2 x -x ??0 + ?x - 2 x ??t+1 =(t+1)3-6t+2. (2)依据定义,h(x)=(x+1)3-6x+2,x∈R, 则 h′(x)=3(x+1)2-6. 因为 m≠4,则点 A(1,m)不在曲线 y=h(x)上. 过点 A 作曲线 y=h(x)的切线,设切点为 M(x0,y0), ?x0+1?3-6x0+2-m 则 3(x0+1)2-6= , x0-1 化简整理得 2x3 0-6x0+m=0,其有三个不等实根. 3 设 g(x0)=2x0 -6x0+m,则 g′(x0)=6x2 0-6. 由 g′(x0)>0,得 x0>1 或 x0<-1; 由 g′(x0)<0,得-1<x0<1, 所以 g(x0)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 所以当 x0=-1 时,函数 g(x0)取极大值; 当 x0=1 时,函数 g(x0)取极小值. ? ?g?-1?>0, 因此,关于 x0 的方程 2x 3 即 0 - 6x0 + m = 0 有三个不等实根的充要条件是 ? ?g?1?<0, ?
-6-

? ?m+4>0, ? 即-4<m<4. ?m-4<0, ?

故实数 m 的取值范围是(-4,4).

-7-


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