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例说高考中直线与圆方程题目的分类解析


例说高考中直线与圆方程题目的分类解析(教师)
考点分析
高考对解析几何的考查一般是三个小题一个大题, 所占分值约30分。 其规律是线性规划、 直线与圆各一个小题,涉及圆锥曲线的图形、定义或简单几何性质的问题一个小题,直线与圆 锥曲线的综合问题一个大题。解析几何的重点仍然是圆锥曲线的性质,包括:直线的倾斜角、 斜率、夹角、距离、平行垂直、点对称、直线对称、线性规

划有关问题等等。直线和圆锥曲线 的位置关系以及轨迹问题,仍然以考查方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点。坐标 法使平面向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来。相关交汇试题应运而生,涉及圆锥 曲线参数的取值范围问题也是命题亮点。

知识要点
1、直线的倾斜角、斜率

? ? (1)k=tanα ,α ∈[0, ) ? ( , ?) 2 2 ? ? 由正切函数可知,当α ∈(0, ) ,α 递增时,斜率 k→+∞。当α ∈( ,π ) ,α 递减 2 2 时,斜率 k→-∞。当涉及到斜率参数时,通常对 k 是否存在分类讨论。 (2)直线的方向向量 a ? (1, k ) ,直线的方向向量与直线的斜率有何关系?
(3)应用:证明三点共线: k AB ? kBC 。 2、直线方程 求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。确定直线方 程需要有两个互相独立的条件,本质是确定方程中的两个独立系数(一点和斜率:在 x 轴上的截 距和斜率、两点、在两坐标轴上的截距). 设直线方程的一些常用技巧: (1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; (2)知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线); (3)知直线过点 ( x0 , y0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,当斜率 k 不存在时,则其方程为 x ? x0 ; (4)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; (5)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . 3、两条直线平行与垂直,两条直线所成的角和点到直线的距离公式 利 用 直 线 方 程 的 一 般 式 , 由 系 数 间 的 关 系 直 接 作 出 结 论 , 设 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

l 2 : Ax2 ? By2 ? C2 ? 0 A B C (1) l1 // l 2 则 1 ? 1 ? 1 或 A1 B2 ? A2 B1 , A1C2 ? A2 C1 A2 B2 C 2 (2) l1 到 l2 的 角 是 指 直 线 l1 绕 着 交 点 按 逆 时 针 方 向 转 到 和 直 线 l2 重 合 所 转 的 角 ? ,

? ? ?0,? ? 且 tan ? =
tan ? ?

k 2 ? k1 ( k1k2 ? ?1 ) ; l1 与 l 2 相 交 , 则 A1 B2 ? A2 B1 , 其 夹 角 公 式 为 1 ? k1 k 2

k1 ? k 2 ,其中 k1,k2 分别表示?1 及?2 斜率,当?1 或?2 斜率不存在时,画图通过三角形求 1 ? k 1k 2

解,?1 与?2 夹角为θ ∈(0,

? ] 2
1

A1 B1 C1 或 A1 B2 ? A2 B1 , A1C2 ? A2 C1 ? ? A2 B2 C 2 (4) l1 ? l 2 则 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ;若直线 l1 和 l2 的方向向量
(3) l1 与 l 2 重合,则 (5)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? ( 6 ) 两 平 行 线 l1 : A x ?

Ax0 ? By0 ? C

B? y

1

C ?0 ,

2

: l

A2 ? B 2 ( A ?x ? B2 y ? C 0 C1 ≠ C2 ) 间 的 距 离 为



d?

C1 ? C2 A2 ? B 2



4、对称(中心对称、轴对称和特殊点对称)问题 此为高考的热点问题,一般包括点关于点、曲线关于点、点关于直线、曲线关于直线的对 称,除掌握通法外,还应记住一些常用的结论. (1)曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 A(a, b) 对称曲线的方程是 f (2a ? x,2b ? y) ? 0 (2)曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 kx ? b 的对称曲线的求法(代入法)①设所求曲线上任意一

? y? ? y ? k ? ?1 ? ? x? ? x 点 P( x, y) 关于直线的对称点是 P?( x?, y ?) ,由 ? 求出 x ?, y ? ;②把点 ? y ? ? y ? k ? x? ? x ? b ? 2 ? 2 P?( x?, y ?) 代入方程 f ( x, y) ? 0 即为所求曲线.
5、曲线和方程、与圆有关的轨迹问题. 圆的方程,从轨迹角度讲,可以成为解答题,尤其是参数问题,在对参数的讨论中确定圆 的方程。 6、圆的标准方程、一般方程和参数方程 确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法。 2 2 2 圆方程常见形式:① 标准式;② 一般式;③ 参数式:(x-a) +(y-b) =R (R>0)的参数式为: x=a+Rcosθ ,y=b+Rsinθ ,其中θ 为参数,表示旋转角,参数式常用来表示圆周上的点。圆的 参 数 方 程 的 主 要 应 用 是 三 角 换 元 : x2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos? , y ? r sin ? ;
x2 ? y 2 ? t ? x ? r cos? , y ? r sin ? (0 ? r ? t ) 。圆的参数方程,沟通了这一知识与三角函数之

间的联系。 7、两圆的位置关系 (用两圆的圆心距与半径之间的关系判断) :已知两圆的圆心分别为 O1,O2 ,半径分别为 (2)当 |O1O2 ?? r (3)当 r1 , r2 ,则(1)当 |O1O2 ?? r1 ? r2 时,两圆外离; 1 ?r 2 时,两圆外切; (4)当 |O 时,两圆内切; (5)当 r1 ? r2 <|O1O2 ?? r1 ? r2 时 , 两 圆 相 交 ; 1 O 2 ??? r 1? r 2 | 0? |O | 1 O 2 ??? r 1? r 2 时,两圆内含。圆与圆的位置关系主要研究两个方面,一是用几何方法判 断圆与圆的位置关系;二是对应位置关系下的简单的几何特征如切线或弦长. 8、综合问题 此类题难度较大,一般以解答题形式出现,要注意数形结合的思想,利用圆的几何性质简化 解题过程。直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识,而不采用方程组理论 (△法) 。 (1)直线与圆的位置关系直线: l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C: ? x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

? r ? 0? 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断:①代数方法(判断直线与圆方
程联立所得方程组的解的情况) : ? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相离; ? ? 0 ? 相切;②几何方
2

法(比较圆心到直线的距离与半径的大小) :设圆心到直线的距离为 d ,则 d ? r ? 相交; d ? r ? 相离; d ? r ? 相切。 ( 2 ) 圆 的 切 线 与 弦 长 : 切 线 : ① 过 圆 x2 ? y 2 ? R2 上 一 点 P( x0 , y0 ) 圆 的 切 线 方 程 是 :
2 上 ) ? (y ? b ) ? 2 R 一 点 P( x0 , y0 ) 圆 的 切 线 方 程 是 : xx0 ? yy0 ? R2 , 过 圆 ( x ? a2

( x ? a)( x0 ? a) ? ( y ? a)( y0 ? a) ? R2 ,一般地,如何求圆的切线方程?(抓住圆心到直线的距
离等于半径) ;②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运 用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;③过两切点的直线(即“切点弦” )方程 的求法:先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点 的 直 线 方 程 ; 过 两 圆 C1 : f ( x, y) ? 0 、 C2 : g ( x, y) ? 0 交 点 的 圆 ( 公 共 弦 ) 系 为

f ( x, y? ) ? g ( x,? y),当 0 ? ? ?1 时,方程 f ( x, y) ? ? g ( x, y) ? 0 为两圆公共弦所在直线方程.。 ④切线长:
(3)直线被圆截得弦长的求法:①几何法:常用弦心距 d ,弦长一半
2 2

1 a 及圆的半径 r 所构 2

成 的 直 角 三 角 形 来 解 : r ? d ? ( a ) ; ② 代 数 法 : 设 直 线 y ? kx ? m 与 圆
2
2 2 2 A, B 两点.将直线方程与圆的方程联立后,整理出关于 x 的方程, ( x ? a) ? (y ? b ) ? 相交于 R

1 2

求出 x A ? x B , x A x B ,则 AB ? (4)圆与圆锥曲线的交汇

(1 ? k 2 )[( x A ? x B ) 2 ? 4 x A x B ]

题目类型及解题策略
一、有关直线的倾斜角、斜率问题 例 1 (2010 重庆理)直线 y=

?? ? ? ?0, 2? ? ?
7 ? 6 4 ? C. 3
A. 解 析

? 3 ? x ? 3 ? 3 cos ? , x ? 2 与圆心为 D 的圆 ? 3 ? ? y ? 1 ? 3 sin ?

交与 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为

5 ? 4 5 D. ? 3
B. : 数 形 结 合

?1 ? ? ? 30?

?2 ? 30? ? ? ? ? 由圆的性质可知 ?1 ? ? 2 ?? ? 30? ? 30? ? ? ? ? ,故 ? ? ? ?
高考怎样考? 1.(2008 安徽文理)若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1有公共点,则直线 l 的斜率 的取值范围为 ( C )
2 2

4 ? 3

3 3 3 3 , ) D. (? , ] 3 3 3 3 2 2 2. (2010 江西理) 直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点, 若 MN ? 2 3 ,
A. [? 3, 3] B. (? 3, 3) C. [? 则 k 的取值范围是
3

0? A. ? ? ,
3 4

? 3 ? ? 4 ?

3? ? ? ? B. ? ??, 4? ?

? ?? ?0,

C. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

0? D. ? ? ,

? 2 ? ? 3 ?

解法 1:圆心的坐标为(3.,2) ,且圆与 y 轴相切.当 | MN |? 2 3时,由点到直线距离公式, 解得 [? , 0] ; 解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 ?? ,排除 B,考虑区间 不对称,排除 C,利用斜率估值,选 A 3.(2009 全国卷Ⅰ文)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的 长为 2 2 ,则 m 的倾斜角可以是 ① 15 ② 30 ③ 45 确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号) 解:两平行线间的距离为 d ? ④ 60 ⑤ 75 其中正

| 3?1| 1?1
o

? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o , l 1 的倾斜角
0 0 o 0 0

为 45 ,所以直线 m 的倾斜角等于 30 ? 45 ? 75 或 45 ? 30 ? 15 。故填写①或⑤
o

4.(2006 全国Ⅱ)过点(1, 2 )的直线 l 将圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆

2 2 2 5.(2008 宁夏海南文)已知 m ? R , 直线 l : mx ? (m ? 1) y ? 4m 和圆
心角最小时,直线 l 的斜率 k=

C : x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围;
(Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 解: (Ⅰ)

1 的两段圆弧?为什么? 2
m ? R, ∴ 当 k ≠ 0 时 ? ≥ 0 , 解 得

k?

m 2 , ?k m ? m? k ? 0( ? ), m ?1
2

1 1 1 1 ? ≤ k ≤ 且 k≠0 又当 k=0 时,m=0,方程 (?) 有解,所以,综上所述 ? ≤ k ≤ 2 2 2 2
(Ⅱ)假设直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧.设直线 l 与圆 C 交于 A,B 2

两点,则∠ACB=120°.∵圆 C : ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,∴圆心 C(4,-2)到 l 的距离为 1.故 有

4m ? 2(m 2 ? 1) ? 4m m ? (m ? 1)
2 2 2

? 1 ,整理得 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 .

∵ ? ? 52 ? 4 ? 3 ? 3 ? 0 ,∴ 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 无实数解.因此直线 l 不可能将圆 C 分割成弧 长的比值为

1 的两段圆弧. 2

二、直线方程 ( 1,0 ) 例 2 已知圆 C 过点 ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被圆 C 所截得的弦长 为 2 2 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 解析:由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0 ,设圆心坐标为 (a,0) ,则由题意知:
4

| a-1| 2 ) +2=(a-1)2 ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3 ,故圆心坐标为 2 (3,0) ,因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0 ,即 m=-3 ,故所求的直线方 程为 x+y-3=0 。 (
高考怎样考? 1. (07 天津) 已知两圆 x2 ? y 2 ? 10 和 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 20 相交于 A, B 两点, 则直线 AB 的 方程是 . x ? 3y ? 0 2.(2008 四川文理)将直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 ? ,再向右平移 1 个单位,所得到的直 线为( A ) A. y ? ?

1 1 x? 3 3
0

B. y ? ?

1 x ?1 3

C. y ? 3x ? 3

D. y ?

1 x ?1 3

1 1 .再右移 1 得 y ? ? ( x ? 1) . 3 3 2 2 3.(2008 广东文)经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是
解析:旋转 90 则与原直线垂直,故旋转后斜率为 ? ( C ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y-1=0 4. (2008 重庆理) 直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点 A, B, 弦 AB 的中点为 (0, 1) ,则直线 l 的方程为 .答案:x-y+1=0 三、与两条直线的位置有关问题 例 3 (2010 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________
2 2

解析:圆半径为 2,圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1, 是(-13,13). 高考怎样考?

|c| ? 1 , c 的取值范围 13

1.(07 安徽文)若圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为
2 2

2 ,则 a 的 2

值为( C ) A.-2 或 2 B.

1 3 或 2 2

C.2 或 0

D.-2 或 0

2 (2008 福建文) “a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( C ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 3.(2010 上海文)圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ?

?3 5 4.(2011 年浙江文)若直线与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m =_______
解析: k1 ?

解析:圆心(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 距离为

3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4

1 2 1 2 , k2 ? ? , 直线互相垂直,? k1 ? k2 ? ?1 ,即 ? (? ) ? ?1,? m ? 1 2 m 2 m
[

四、对称问题 例 4 (2011 年福建理) 已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程;
5

(II)若直线 l 关于 x 轴 对称 的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明理 由。 解法一: (I)依题意,点 P 的坐标为(0,m) 因为 MP ? l ,所以 标为(0,2) 从 而圆的 半径 r ?| MP |?

0?m ? 1 ? ?1 ,解得 m=2,即点 P 的坐 2?0
(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2, 故 所

求圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8. ( II)因为直线 l 的方程 为 y ? x ? m, 所以直线 l ' 的方程为

y ? ? x ? m.
由?
2

? y ' ? ? x ? m,

?x ? 4 y (1)当 m ? 1, 即? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切 (2)当 m ? 1,那 ? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 综上,当 m=1 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切;当 m ? 1 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。
解法二: (1)所求圆半径为 r ,则圆方程为可设为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2

得x 2 ? 4 x ? 4m ? 0 , ? ? 42 ? 4 ? 4m ? 16(1 ? m)

?4 ? m 2 ? r 2 ? 依题意,所求圆与直线 l : x ? y ? m ? 0 相切于 P(0, m) ,则 ? 2 ? 0 ? m ?r ? 2 ? 解得 m ? 2, r ? 2 2 ,所以所求圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 8
高考怎样考? 1.(07 浙江理)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( )答案 D A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0 2.(2009 宁夏海南文)已知圆 C1 : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对 称,则圆 C2 的方程为( A. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1;
2 2

) B. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1;
2 2

C. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1;
2 2

D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

? a ?1 b ?1 ? ?1 ? 0 ? ?a ? 2 ? 2 2 解析:设圆 C2 的圆心为 ( a, b) ,则依题意,有 ? ,解得: ? 对称圆 ?b ? ?2 ? b ? 1 ? ?1 ? a ?1 ?
的半径不变,为 1,故选 B。. 3. 若圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0 (a, b ? R) 对称,则 ab 的取值范 围是( )
2 2

1 4 解 : 由 条 件 可 知 直 线 过 圆 心 , 所 以 ? 2a ? 2b ? 2 ? 0 , 即 a ? b ? 1 , 所 以 1 1 ? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 4ab ? ab ? .故选 A. 4 (? ?,】 A. ( 0,】 B. (? , 0 ) C. (? ?, ) D.
6

1 4

1 4

1 4

4.(2010 湖南文)若不同两点 P, Q 的坐标分别为 (a, b), (3 ? b,3 ? a) ,则线段 PQ 的垂直平分 线 l 的 斜 率 为 -1 , 圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 关 于 直 线 对 称 的 圆 的 方 程 为

5.(2011 年山东文) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示,斜率为 3
y L

k (k>0) 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两 点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直线 x ? ?3 于点 D(?3, m) .
(Ⅰ)求 m ? k 的最小值;
2 2

D G -3 B E O

A

(Ⅱ)若 OG ? OD ? OE , (i)求证:直线 l 过 定点; (ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出 此时 ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.

2

x

? y ? kx ? n ? 解: (Ⅰ)由题意:设直线 l : y ? kx ? n(n ? 0) ,由 ? x 2 消y 2 ? ? y ?1 ?3 2 2 2 得: (1 ? 3k ) x ? 6knx ? 3n ? 3 ? 0 ,设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 E ( x0 , y0 ) , ?6 kn ?3kn ?3kn n x ? y ? kx0 ? n ? ?k ? n ? 由韦达定理得: x1 ? x2 = , 2 , 0 2 , 0 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ?3kn n , ) ,因为 O、E、D 三点在同一直线上,所以 kOE ? KOD , 所以中点 E 的坐标为 E ( 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 m 1 1 2 ?? , 即? 解得 m ? , 所以 m2 ? k 2 = 2 ? k ? 2 ,当且仅当 k ? 1 时取等号,即 m2 ? k 2 的 k 3k 3 k
最小值为 2.

m ? y?? x ? m ? 3 (Ⅱ) (i)证明:由题意知:n>0,因为直线 OD 的方程为 y ? ? x ,所以由 ? 2 得交点 3 x 2 ? ? y ?1 ? ?3 2 n 2 m G 的纵坐标为 yG ? , 又因为 y E ? , yD ? m ,且 OG ? OD ? OE ,所以 2 1 ? 3k m2 ? 3 1 m2 n , 又由(Ⅰ)知: m ? ,所以解得 k ? n ,所以直线 l 的方程为 l : y ? kx ? k , ? m? 2 2 k m ?3 1 ? 3k (? 1,0 ) 即有 l : y ? k ( x ? 1) ,令 x ? ?1 得,y=0,与实数 k 无关,所以直线 l 过定点 . (ⅱ) 假设点 B, G 关于 x 轴对称, 则有 ?ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上, 又在线段 AB 的 ?3 m ?3 ?m , ) ,所以点 B( , ) ,又因为直线 l 中垂线上.由(i)知点 G( 2 2 2 m ?3 m ?3 m ? 3 m2 ? 3 ?m ?3 / ? k ,又因为 m ? 1 ,所以解得 (? 1,0 ) 过定点 ,所以直线 l 的斜率为 2 2 k m ? 3 m ? 3 ?1
7

AB 的中垂线为 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 1 3 1 1 2 5 5 2 圆心坐标为 (? ,0), G (? , ) ,圆半径为 ,圆方程为 ( x ? ) ? y ? . 2 2 2 2 4 2 综上所述,点 B, G 关于 x 轴对称,此时 ?ABG 的外接圆的方程 1 5 (x ? )2 ? y 2 ? 2 4
五、曲线和方程、与圆有关的轨迹问题. 例5 (2011 陕西理) 如图, 设P是圆 x2 ? y 2 ? 25 上的动点, 点 D是P在 x 轴上投影, M为 PD 上一点, 且 | MD |?

m 2 ? 6 或 1,又因为 3 ? m 2 ? 0 ,所以 m 2 ? 6 舍去,即 m 2 ? 1 ,此时 k ? 1, m ? 1, E (? 4 , 4 ) ,

3 1



4 | PD | . 5

(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;

4 的直线被 C 所截线段的长度. 5 解: (1)设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,P 的坐标是 ( x p , y p ) ,因为点D是P在 x 轴上投影,M
(2)求过点(3,0)且斜率为

4 5 | PD | ,所以 x p ? x ,且 y p ? y , 5 4 5 2 x2 y 2 2 ? ?1. ∵P 在圆 x2 ? y 2 ? 25 上,∴ x ? ( y ) ? 25 , 即 C 的方程是 4 25 16 4 4 (2) 过点 (3, 0) 且斜率为 的直线方程是 y ? ( x ? 3) , 设此直线与 C 的交点为 A( x1, y1 ) , 5 5 4 x2 y 2 x 2 ( x ? 3)2 ? 1 得: ? ? 1 ,化简 B( x2 , y2 ) ,将直线方程 y ? ( x ? 3) 代入 C 的方程 ? 5 25 16 25 25 3 ? 41 3 ? 41 2 得 x ? 3x ? 8 ? 0 ,∴ x1 ? , x2 ? , 2 2 16 2 2 2 所以线段 AB 的长度是: | AB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (1 ? )( x1 ? x2 ) 25 41 41 41 ? ? 41 ? , 即所截线段的长度是 5 25 5
为 PD 上一点,且 | MD |? 高考怎样考? 1.(2011 广东文)设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y =0 相切,则 C 的圆心轨迹为(D ) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 2. (07 四川理) 已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙

3 2 2 2 2 3.(2011 年广东理) 设圆 C 与两圆 另一个 (x+ 5)? y ? 4, (x ? 5)? y2 ? 4 中 的一个内切,
O’所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是

x?

外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程.

8

(2)已知点 M (

3 5 4 5 且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此时 , ),F ( 5,0), 5 5

点 P 的坐标. 解: (1) :设 C 的圆心的坐标为 ( x, y ) ,由题设条件知

| ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 4, 化简得 L 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4 ( 2 ) 解 : 过 M , F 的 直 线 l 方 程 为 y ? ?2( x ? 5) , 将 其 代 入 L 的 方 程 得

15x2 ? 32 5x ? 84 ? 0. 解得 x1 ?

6 5 14 5 , x2 ? 5 15 6 5 2 5 14 5 2 5 故 l 与 L 交点为 T1 ( ,? ),T2 ( , ) 5 5 15 15 因 T1 在线段 MF 外,T2 在线段 MF 内,故 | MT1 | ? | FT1 | ?| MF |? 2,

| MT2 | ? | FT2 | ?| MF |? 2. ,若 P 不在直线 MF 上,在 ?MFP 中有 | MP | ? | FP | ?| MF |? 2. 故 | MP | ? | FP | 只在 T1 点取得最大值 2。
六、圆的标准方程、一般方程和参数方程 例 6.(07 全国文理)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2) 圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点, 圆内的动点 P 使 PA , 求 PA PB PO , PB 成等比数列, 的取值范围. 解: ( 1 ) 依 题 设 , 圆 O 的 半 径 r 等 于 原 点 O 到 直 线 x ? 3y ? 4 的 距 离 , 即

r?

4 ? 2 .得圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . 1? 3 0) B(2, 0) . (2)不妨设 A( x1,, 0) B( x2,, 0) x1 ? x2 .由 x 2 ? 4 即得 A(?2,,
( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,即

设 P( x,y ) ,由 PA , PO , PB 成等比数列,得 ( x ? 2) 2 ? y 2

PA PB ? (?2 ? x, ? y) (2 ? x, ? y) ? x 2 ? 4 ? y 2 ? 2?y 2 ? 1? , 由 于 点 P 在 圆 O 内 , 故
? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 0) . 由此得 y ? 1 .所以 PA PB 的取值范围为 [?2, ? 2 2 ? ? x ? y ? 2.
高考怎样考? 1.(2008 山东文)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则 该圆的标准方程是( B ) A. ( x ? 3)2 ? ? y ?
2

x2 ? y 2 ? 2 .

? ?

7? ? ?1 3?
2

2

B. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1
2 2

C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1

3? ? D. ? x ? ? ? ( y ? 1)2 ? 1 2? ?
9

2

2.(2009 辽宁文)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为( ) A. ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 B. ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 C. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 解析:圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等 于半径 2即可. 3.(07 山东文)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x2 ? y 2 ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的 圆的标准方程是 . ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 4.(2010 天津文)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相 切。则圆 C 的方程为 。 解析:令 y=0 得 x=-1,所以直线 x-y+1=0,与 x 轴的交点为(-1.0)因为直线与圆相切,所以

| ?1 ? 0 ? 3 | ? 2 ,所以圆 C 的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 2 5.(2010 广东理) 已知圆心在 x 轴上, 半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,
圆心到直线的距离等于半径,即 r ? 则圆 O 的方程是 解析:( x ? 5)2 ? y2 ? 5 .设圆心为 (a, 0)(a ? 0) ,则 r ?

| a ? 2?0 | 12 ? 22

? 5 ,解得 a ? ?5 .

6.(07广东文)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线

y ? x 相切于坐标原点 O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 a2 9

10 .
(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q , 使 Q 到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF 的 长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n) 则 ?
2

? ?

m ? ?n

? ?n 2 ? 2 2 2 所求的圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8

解得 ?

?m ? ?2 ? n?2

(2) 由已知可得 2a ? 10 ? a ? 5 ,椭圆的方程为 Q 点 ?2 ? 2 2 cos ? , 2 ? 2 2 sin ? 使 QF ? OF ,

?

?

x2 y 2 ? ? 1 , 右焦点为 F (4,0) 假设存在 25 9

? ?2 ? 2

2 cos ? ? 4 ? 2 ? 2 2 sin ?
2

? ?
2

?

2

?4
2

整理得 sin ? ? 3cos ? ? 2 2 代入 sin ? ? cos ? ? 1 得:

7.(2011 年福建文) 如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (Ⅰ)求实数 b 的值; ( Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.
10

10cos2 ? ? 12 2 cos ? ? 7 ? 0 , ?1 2 2? 8 ? 1 2 2 ? 2 2 cos ?? ? ? ?1 因此不存在符合题意的 Q 点. 10 10

(? ) 得 x 2 ? 4 x ? 4b ? 0 2 x ? 4 y ? 因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4)2 ? 4 ? (?4b) ? 0 ,解得 b ? ?1 . (II)由(I)可知 b ? ?1 ,故方程( ? )即为 2 2 x ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,将其代入 x ? 4 y ,得 y=1,故 解: (I)由 ?

?y ? x ?b



A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距离等于圆 A 的 半径 r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4 . 8.(2011 年全国新课标文) 在平面直角坐标系中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上, (1)求圆 C 的方程; (2)如果圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值。 解: (Ⅰ) 曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1 与 y 轴交点为 (0,1) , 与 x 轴的交点为 (3 ? 2 2 ,0), (3 ? 2 2 ) 因而圆心坐标为 C (3, t ), 则 32 ? (t ?1) 2 ? (2 2 ) 2 ? t 2 ?t ? 1 半径为 3 2 ? (t ? 1) 2 ? 3 ,所以圆方程是 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 (Ⅱ)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 满足 ?

?x ? y ? a ? 0
2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9

解得:

2x 2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0
(8 ? 2a) ? 56 ? 16a ? 4a 2 4 2 a ? 2a ? 1 ? x1 ? x2 ? 4 ? a, x1 ? x2 ? 2 ?OA ? OB,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, y1 ? x1 ? a, y2 ? x2 ? a
? ? ? 56 ? 16a ? 4a 2 ? 0 , x1, 2 ?

?2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 0,?a ? ?1
点评:本题考查曲线的交点、直线与圆的方程、直线与圆以及向量的垂直关系的综合应用, 要对每一点熟练把握。 七、两圆的位置关系: 例 7.(2009 四川卷理)若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R) 相交于 A、B
2 2

两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 解 析 : 由 题 知 O1 (0,0), O2 (m,0) , 且

w

5 ?| m |? 3 5 , 又 O1 A ? AO2 , 所 以 有
5 ? 20 ? 4。 5

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,∴ AB ? 2 ?

高考怎样考? 1. (2008 重庆理科)圆 O1:x2+y2-2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是( B ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 2.(2009 天津理)若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 (a>0)的公共弦的长为 2 3 , 则 a ? ___________ 。
2 2 2 2

解析:由知 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 的半径为 6 ? a 2 ,由图可知
2 2

11

6 ? a 2 ? (?a ? 1) 2 ? ( 3 ) 2 解之得 a ? 1 3.(2009 四川卷理)若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两
点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 解 析 : 由 题 知 O1 (0,0), O2 (m,0) , 且
w

5 ?| m |? 3 5 , 又 O1 A ? AO2 , 所 以 有
5 ? 20 ? 4。 5

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,∴ AB ? 2 ?
八、综合问题:此类题难度较大,一般以解答题形式出现 (1)直线与圆的位置关系、切线与弦长

例 8-1.(2009 江西卷文)如图,已知圆 G : ( x ? 2) ? y ? r 是椭圆
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1的内接△ ABC 16
y

的内切圆, 其中 A 为椭圆的左顶点. (1)求圆 G 的半径 r ; ( 2 )过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于

E,F 两点,证明:直线 EF 与圆 G 相切. 解 : ( 1 ) 设 B (2 ? r, y0) ,过圆心 G 作 GD ? AB 于 D , BC 交长轴于 H GD HB y r ? 由 得 ? 0 , AD AH 36 ? r 2 6 ? r
即 y0 ?

M A

B F

0
C
E

x

r 6?r 6?r

(1)
2

(2 ? r )2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r ? 6) ? ?? (2) 16 16 16 2 6 2 由(1)、 (2)式得 15r ? 8r ? 12 ? 0 ,解得 r ? 或 r ? ? (舍去) 3 5 4 2 2 (2) 设过点 M(0,1) 与圆 ( x ? 2) ? y ? 相切的直线方程为: y ? 1 ? kx (3) 9 2 2k ? 1 2 则 ? , 即 32k ? 36k ? 5 ? 0 (4) 2 3 1? k ?9 ? 41 ?9 ? 41 , k2 ? 解得 k1 ? 16 16 2 32k x ? y 2 ? 1得 (16k 2 ? 1) x2 ? 32kx ? 0 ,则异于零的解为 x ? ? 将(3)代入 16k 2 ? 1 16 32k1 32k2 设 F ( x1 , k1 x1 ? 1) , E ( x2 , k2 x2 ? 1) ,则 x1 ? ? , x2 ? ? 2 16k1 ? 1 16k2 2 ? 1 k x ? k1 x1 k ?k 3 ? 1 2 ? 则直线 FE 的斜率为: kEF ? 2 2 x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4
而点 B(2 ? r, y0) 在椭圆上, y0 ? 1 ?

12

于是直线 FE 的方程为: y ?

即y?

3 7 x? 4 3

32k12 32k1 3 ?1 ? ( x ? ) 2 16k1 ? 1 4 16k12 ? 1 3 7 ? 2 2 3 ? 则圆心 (2, 0) 到直线 FE 的距离 d ? 3 9 1? 16

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

故结论成立.

高考怎样考? 1. (07 湖北理)已知直线

x y ? ? 1( a, b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共 a b
)A D.78 条

点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( A.60 条 B.66 条 C.72 条 A. k ? (? 2, 2) C. k ? (? 3, 3) A. 3 或 ? 3 B. k ? (??, ? 2) ? ( 2, ??) D. k ? (??, ? 3) ? ( 3, ??) B. ? 3 或 3 3 C. ?3 3 或 3

2. (2008 辽宁文理)圆 x 2 ? y 2 ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有 公共点的充要条件是 ( C ) ..

3. (2008 陕西文理) 直线 3x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 ? 0 相切, 则实数 m 等于 ( C ) D. ?3 3 或 3 3 4. (2010 全国Ⅰ理) 已知圆 O 的半径为 1, PA、 PB 为该圆的两条切线, A、 B 为两切点, 那么 PA ? PB 的最小值为( ) A. ?4 ? 2 B. ?3 ? 2 C. ?4 ? 2 2 解:设 ?APB ? 2? ,则 ?APO ? ?BPO ? ? , D. ?3 ? 2 2

PA? PB ? (PA) 2 ? cos2? ? cot2 ? ? cos2?

1 ? sin 2 ? 1 ? (1 ? 2 sin 2 ? ) ? ? 2 sin 2 ? ? 3 ? 2 2 ? 3 , 2 2 sin ? sin ? 1 2 ? 2 sin 2 ? ,即 sin 2 ? ? 当且仅当 时取等号,故选 D 2 sin ? 2 2 2 5.(2011 年重庆理)在圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为( ) A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 D. 20 2 解 析 : 由 题 意 , AC 为 直 径 , 设 圆 心 为 F , 则 F E ? B D ,圆的标准方程为 3 ?1 2 2 ? 2 ,所以直 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 10 ,故 F ?1,3 ? ,由此,易得: AC ? 2 10 ,又 k EF ? 1? 0 ?
1 2 线 BD 的方程为 y ? ? x ? 1 ,F 到 BD 的距离为 5 2
2 1 ? ?1? 3 ? 5 ,由此得, BD ? 2

5 所以四边

1 1 形 ABCD 的面积为 AC BD ? ? 2 5 ? 2 10 ? 10 2 2 2 2 2 6.(2009 全国卷Ⅱ文)已知圆 O: x ? y ? 5 和点 A(1,2) ,则过 A 且与圆 O 相切的直线与 25 两坐标轴围成的三角形的面积等于 答案: 4
13

1 (x-1),即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的 2 5 1 5 25 截距分别是 5 和 ,所以所求面积为 ? ? 5 ? 。 2 2 2 4 6 7.(2010 北京文)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (? 2,0) , ( 2, 0) ,离心率是 , 3
解析:由题意可直接求出切线方程为 y-2= ? 直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。
y P Q R

c 6 , 且c ? 2 , 所以 a ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 ? a 3 x2 ? y2 ? 1 所以椭圆 C 的方程为 3
解: (Ⅰ) 因为

F1

o

F2

x

?y ? t (Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1) 由 ? 得 x ? ? 3(1 ? t 2 ) ,所以圆 P 的半径为 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

3(1 ? t 2 ) ,解得 t ? ?

3 3 ,所以点 P 的坐标是(0, ? ) 2 2 2 2 2 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x ? ( y ? t ) ? 3(1 ? t ) 。因为点 Q( x, y) 在圆 P 上。

2 2 2 所以 y ? t ? 3(1 ? t ) ? x ? t ? 3(1 ? t ) ,设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则

? ? 1 t ? 3(1 ? t 2 ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) .当 ? ? ,即 t ? ,且 x ? 0 , y 取最大 6 2 3
值 2. (2)圆与圆锥曲线的交汇 例 8-2(2009 全国Ⅰ理)如图,已知抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交 于 A 、 B 、 C 、 D 四个点。 (I)求 r 得取值范围; BD (II) 当四边形 ABCD 的面积最大时, 求对角线 AC 、 的交点 P 坐标 分析: (I) 这一问学生易下手。 将抛物线 E : y ? x 与
2

圆 得 相交

M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 的方程联立,消去 y ,整理 x2 ? 7 x ? 16 ? r 2 ? 0 . . . . . . . . . . . . . (*) 2 2 2 2 抛物 线 E : y ? x 与圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0)
2 2 2 2

15 , 4) . 2 (II)设四个交点的坐标分别为 A( x1 , x1 ) 、 B( x1 , ? x1 ) 、 C ( x2 , ? x2 ) 、 D( x2 , x2 ) 。
于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是: 方程 (*) 有两个不相等的正根即可.易得 r ? ( 则由(I)根据韦达定理有 x1 ? x2 ? 7, x1 x2 ? 16 ? r , r ? (
2

15 , 4) 2

14

则S ?

1 ? 2? | x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) ?| x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) 2
下面求 S 的最大值。
2

? S 2 ? [( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ]( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? (7 ? 2 16 ? r 2 )(4r 2 ? 15)
令 16 ? r 2 ? t ,则 S 2 ? (7 ? 2t )2 (7 ? 2t ) 方法一: S ? (7 ? 2t ) (7 ? 2t ) ?
2 2

1 (7 ? 2t )(7 ? 2t )(14 ? 4t ) 2 1 7 ? 2t ? 7 ? 2t ? 14 ? 4t 3 1 28 3 7 ? ( ) ? ? ( ) ,当且仅当 7 ? 2t ? 14 ? 4t ,即 t ? 时取最 2 3 2 3 6 15 大值。经检验此时 r ? ( , 4) 满足题意。 2 方法二:利用求导处理,这是命题人的意图。下面来处理点 P 的坐标。设点 P 的坐标为:

P( x p ,0) 由 A、P、C 三点共线,则
高考怎样考? 1. (2009 全国卷Ⅱ文) 双曲线 ( A ) A. 3 B.2
2

x1 ? x2 x1 7 ? 得 x p ? x1 x2 ? t ? 。 以下略。 x1 ? x2 x1 ? x p 6

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切, 则r ? 6 3
C.3
2

D.6

解析:本题考查双曲线性质及圆的切线知识,由圆心到渐近线的距离等于 r,可求 r= 3 2.(2011 年江西理)若曲线 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的 交点,则实数 m 的取值范围是( )

3 3 3 ) B.( ? ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 3 3 ] D.( ?? , ? )∪( ,+ ? ) 3 3 3 解:因为直线 y ? 0 与曲线 C1 有两个不同的交点,要使曲线 C1 和曲线 C 2 有四个不同的交
A.( ? 点,只须直线 y ? mx ? m ? 0 与曲线 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 有两个不同的交点即可,而曲线 C1
2 2

3 , 3 3 C.[ ? , 3

是一个圆,所以圆心 (1,0) 到直线 y ? mx ? m ? 0 的距离为 且 m ? 0 ,故选 B.
2 2 2 2

2m m2 ? 1

?1? ?

3 3 , ?m? 3 3

3.(2009 天津文)若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 2 3 ,则 a ? ________. 解析:由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ?

1 ,利用圆心(0,0) a

1 | 2 2 到直线的距离 d ? a 为 2 ? 3 ? 1 ,解得 a ? 1 1 2 4.(2011 年重庆理)设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x ? 3 所组成的封闭区域(包含边界)内, |
15

则圆 C 的半径能取到的最大值为 解析:为使圆 C 的半径取到最大值,显然圆心应该在 x 轴上且与直线 x ? 3 相切,设圆 C 的 半径为 r ,则 圆 C 的方程为

? x ? r ? 3?
2

2

? y 2 ? r 2 , 将 其 与 y2 ? 2x 联 立 得 :

x2 ? 2 ? r ? 2 0 , 令? ? ? 并由 r ? 0 , 得:r ? 6 ? 1 ? x ? 9 ? 6r ? ?2 ? r ? 2?? ? ? 4 ? 9 ? 6r ? ? 0 ,

16


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直线和圆的方程——高中数学基础知识与典型例题_高一...一、两直线的位置关系 例 6. 将直线 2 x ? 3...利用此几何意义,可以解决一类二元函数的最值问题。这...


圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系高考题及详解

圆的方程直线与圆、圆与圆的位置关系高考题详解_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档圆的方程直线与圆、圆与圆的位置关系高考题...


2013高中数学高考题详细分类考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系

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全国高考试题分类解析(直线与圆)

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高中数学必修---直线和圆的方程习题及答案

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7直线和圆的方程十年高考题(带详细解析)

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近五年高考试题汇编 直线和圆的方程

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