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考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性


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考点 5 函数的单调性与最值、 函数的奇偶性与周期性
一、选择题 1. (2012·广东高考文科·T4)下列函数为偶函数的是( (A) y ? sin x (B) y ? x3 (

C) y ? ex (D) y ? ln x2 ? 1 )

【解题指南】本题考查函数的奇偶性,要逐一进行判断.先看函数的定义域是否 关于原点对称,再看 f(-x)=f(x)是否成立. 【解析】选 D. 选项 A B C D 具体分析 y=sinx 是正弦函数,它是奇函数
y ? x3 是奇函数

结论 不正确 不正确 不正确 正确

指数函数 y ? ex 是非奇非偶函数 函数 y ? ln x2 ? 1 显然满足定义域关于原点对称,且 f(-x)=f(x),因而它是偶函数

1, x为有理数, 2.(2012 ·福建高考理科·T 7)设函数 D( x) ? ? 则下列结论错误的是 ? ?0, x为无理数,



) (B) D( x) 是偶函数 (D) D( x) 不是单调函数

(A) D( x) 的值域为 {0, 1} (C) D( x) 不是周期函数

【解题指南】本题考查函数的基本性质,要求学生能利用定义法求解问题.
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【解析】选 C. 选项 A 函数值只有两个:0 和 1 若 x 是无理数,则 ?x 也是无理数,则 D(-x)=D(x) ;若 x 是 B 有理数,则 ?x 也是有理数,则 D(? x) ? D( x) ,所以 D( x) 是偶 函数 对于任意有理数 T, f ( x ? T ) ? f ( x)(若 x 是无理数,则 x ? T C 也是无理数;若 x 是有理数,则 x ? T 也是有理数) 取任意两个数值 x1,x2,D(x1)与 D(x2)的大小不确定, D 故不存在单调性 正确 不正确 正确 具体分析 结论 正确

3. (2012· 福建高考理科· T10) 函数 f ( x) 在 [a, b] 上有定义, 若对任意 x1, x2 ?[a, b] , 有 f(
x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,则称 f ( x) 在 [a, b] 上具有性质 P.设 f ( x) 在 [1, 3] 上具有 2 2

性质 P,现给出如下命题: ① f ( x) 在 [1, 3] 上的图象是连续不断的; ② f ( x2 ) 在 [1, 3] 上具有性质 P; ③若 f ( x) 在 x ? 2 处取得最大值 1,则 f ( x) ? 1 , x ?[1, 3] ; ④对任意 x1, x2 , x3 , x4 ?[1, 3] ,有 f ( 其中真命题的序号是( (A)①② 【解析】选 D. 命题 ① 由关系式 f ( 具体分析
x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 无法推出函数是否连续 2 2
-2-

x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] 4 4

) (C)②④ (D)③④

(B)①③

结论 不正确

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特殊函数法, f ( x) ? ? x 在 ?1,3? 上具有性质 P, 而 f ( x2 ) ? ? x2 显然 ② 不具备性质 P 在 ?1,3? 中 任 取 一 个 数 x (1 ? x ? 3) , 则 4 ? x 同 样 在 ?1,3? 内 ,
f (2) ? 1 ? f ( x)max . 又 因 为 f (

不正确


f ( x) ? f (4 ? x) ? 2 f ( x) ? 1, f (4 ? x) ? 1

x?4? x 1 ) ? [ f ( x) ? f (4 ? x)] , 即 2 2

正确

. 又 因 为

f ( x) ? 1, f (4 ? x) ? 1 , 所 以



x1 ? x2 x3 ? x4 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 2 ) ? 1 [ f ( x1 ? x2 ) ? f ( x3 ? x4 )] f( )? f( 2 4 2 2 2 2 1 1 1 ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ f ( x3 ) ? f ( x4 )] ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] 4 4 4

正确

4. (2012·陕西高考文科·T2)与(2012·陕西高考理科·T2) 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( (A)
y ? x ?1

) (D) y ? x | x |

(B)

y ? ? x3

(C)

y?

1 x

【解题指南】根据奇函数和增函数的定义进行判断;或直接根据已知函数的性质 和图象判断. 【解析】 选 D.选项 A 为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项 B 是奇函数,不是增 函数;选项 C 是反比例函数,为奇函数,不是增函数;选项 D,去绝对值号,变为分段函 数,符合题意. 5.(2012·山东高考理科·T8)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当
2 ?3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2) ;当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x .则

f(1)+ f(2)+

f(3)+…+f(2 012)=( (A)335 (B)338

) (C)1 678 (D)2 012

【解题指南】本题考查函数的周期性,可利用周期为 6 来计算连续 6 项的和, 在通过计算 2 012 是 6 的多少倍及余数即可求得.
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【解析】选 B. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) , 当 ?3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2) ,当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x .
2

f(1)+ f(2)+f(3)+…+f(2 012)= 335? f ?1? ? f ?2? ? 338. 6.(2012·辽宁高考理科·T11)设函数 f(x) ( x ? R) 满足 f( ?x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),
1 3 [? , ] 且当 x ?[0,1] 时, f(x)=x .又函数 g(x)=|xcos (? x) |, 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 2 2 上
3

的零点个数为( (A)5 (B)6

) (C)7 (D)8

【解题指南】利用条件,可以判断函数 f(x) ( x ? R) 是偶函数,且是周期函数,据
1 3 [? , ] 此作出 f(x)在 2 2 上的图象,据特殊值等作函数 g(x)=|xcos (? x) |的示意图.找二

者的交点个数. 【 解 析 】 选 B. 由 f( ?x )=f(x) 知 , f(x) ( x ? R) 是 偶 函 数 ; 由 f(x)=f(2 ? x) , 则
f ( x? 2 ) ? f ( 2? ( x ? 2)) ? f ? (x ) ? f x ( )

,故 f(x) ( x ? R) 是周期函 数, T=2 是其周期;由

f(x)=f(2 ? x),还可知,其图象关于直线 x=1 对称.据 x ?[0,1] 时, f(x)=x3. 作其草 图 . 据 特 殊 值 等 作 函 数 g(x)=|xcos (? x) | 的 示 意 图 , 可 以 发 现 有 6 个 交

点.
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7.(2012·湖南高考文科·T9)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f' (x)是 f(x)的导函数, 当 x∈[0,π ] 时, 0<f(x)<1; 当 x∈ (0,
( x ? ) f ?( x) ? 0 2 π ) 且 x≠ 2 时 , ,则函数 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点

?

?

个数为( (A)2

) (B)4 (C)5 (D)8

【解题指南】有偶函数得出值域,由导数得出单调区间及相应的单调性,根据 曲线的交点个数判断零点的个数.
? ? ( x ? ) f ?( x) ? 0 2 【解析】选 B. x∈(0,π ) 且 x≠ 2 时 , ,知
? ?? ?? ? x ? ?0, ?时,f ?( x) ? 0, f ( x)为减函数; x ? ? ,? ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)为增函数 ? 2? ?2 ?

又 x ??0, ? ? 时, 0<f(x)<1, 函数 f(x)是定义在 R 上的最小正周期为 2π 的偶函数, 则在同一坐标系中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x) 大致图象如下,由图知函数 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 4.
y

1

y ? f ( x)
2?

?2?

o
?1

x

y ? sin x

故选 B. 二、填空题 8. (2012· 江苏高考· T10) 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间 ??1,1?

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1 3 ?ax ? 1, ?1 ? x ? 0, f( )? f( ) ? 2 ,则 a ? 3b 的值为 上, f ( x) ? ? bx ? 2 其中 a, b ? R ,若 2 , 0 ? x ? 1 , ? ? x ?1

.
1 3 f( )? f( ) 2 求解. 【解题指南】从函数的周期性上分析出 f (?1) ? f (1) ,再利用 2

b 1 3 1 ?2 f ( ) ? f ( ) ? f (? ) 1 3 2 2 2 2 【解析】由题意 ,所以 ? ? a ? 1, ? a ? b ? ?1①. 3 2 2 2
?b ? ?2a ②,解①②得 a ? 2, b ? ?4, ? a ? 3b ? ?10. 又 f (?1) ? f (1),

【答案】 ?10 9. (2012· 新课标全国高考文科· T16) 设函数 f ? x ? 最小值为 m,则 M+m= .

? x ? 1? ?

+sin x 的最大值为 M, x ?1
2

2

【解题指南】将函数 f ? x ? 分离常数,把去掉常数后剩余部分看作一个新函数, 研究新函数的性质,推知 M+m 的值. 【解析】 设
g ? x? ?

f ? x?

? x ? 1? ?

+sin x 2 x ? sin x ? 1? 2 x ?1 x2 ? 1 ,

2

2 x ? sin x , x 2 ? 1 则 g ? ? x ? ? ? g ? x ? ,又∵g(x)定义域为 R,∴ g ? x ? 是奇函数,

由奇函数图象的对称性知 g ? x?max ? g ? x ?min ? 0 ,
? g ? x ? ? 1? ? max ? ? ? g ? x ? ? 1? ? min ? 2 ? g ? x ?max ? g ? x ?min ? 2 . ?M ? m ? ?

【答案】2 10. (2012·安徽高考文科·T13)若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3,??) , 则 a =________ . 【解题指南】作出函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的图象,大致如图,根据图象可得函数的单
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a [? , ??) 调递增区间为 2 .

【解析】作出函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的图象,根据图象可得函数的单调递增区间为
a a [? , ??) ? ? 3, a ? ?6 2 ,即 2 .

【答案】 ?6 11.(2012·浙江高考文科·T16)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶
3 f( ) 函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则 2 =____________.

【解题指南】利用函数的性质化到已知的区间上面. 【解析】 f ( )=f (? ) ? f ( ) = . 【答案】
3 2 3 2 1 2 1 2 3 2

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