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2013高考数学第一轮复习讲座7 ----直线和圆的方程


2013 高三一轮复习讲座七 ----直线和圆的方程

复习要求
1、直线方程的五种表现形式,如何求直线方程;二元一次不等式的几何意义及运用。 2、圆的方程三种形式,如何求圆的方程。 3、直线和圆位置关系的研究。

学习指导
1、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借助于平面直角坐标系,形和数可以得到高度的统 一,它

们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。当点运动形成轨迹时,对应坐标便会满 足一个方程。 当曲线 C 和方程 F(x, y)=0 满足如下关系时: ①曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x, y)=0 的解;②以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上,则称曲线 C 为方程 F(x,y)=0 表示的 曲线;方程 F(x,y)=0 是曲线 C 表示的方程。从集合角度看,点集(曲线)与方程解集相等。解 析几何研究的内容就是给定曲线 C,如何求出它所对应的方程,并根据方程的理论研究曲线的几 何性质。其特征是以数解形。坐标法是几何问题代数化的重要方法。 2、直线的倾斜角α 和斜率 k 是描述直线位置的重要参数,它们之间关系是正切函数关系:k=tanα , α ∈[0,
? 2 )? ( ? 2 , ?)

,当α =

? 2

时,直线斜率不存在,否则由α 求出唯一的 k 与之对应。

当已知 k,求倾斜角α 时:k≥0 时,α =arctank;k<0 时,α =π +arctank。或:k=0 时,α =0;k≠0 时,cotα =
1 k

,α =arccot

1 k


? 2

由正切函数可知,当α ∈(0, →-∞。

) 递增时,斜率 k→+∞。当α ∈( ,α

? 2

,π ) 递减时,斜率 k ,α

当涉及到斜率参数时,通常对 k 是否存在分类讨论。 3、直线是平面几何的基本图形,它与方程中的二元一次方程 Ax+By+C=0(A +B ≠0)一一对应。 从几何条件看,已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可确定直线;从对应方程看,直线方 程两种典型形式:点斜式(斜截式) ,两点式(截距式) ,因此求直线方程,常用待定系数法。即根据题意, 选择方程的适当形式;由已知条件,列关于参数的方程(组) 。 当点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上时,其坐标满足方程 Ax0+By0+C=0;当 P 不在直线 Ax+By+C=0 上时, Ax0+By0+C≠0,即 Ax0+By0+C>0 或 Ax0+By0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义:二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0)表示直线 Ax+By+C=0 上方或下方区域,其具体位置的确定常用原点(0,0)代入检验。 利用此几何意义,可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。 因直线与二元一次方程 Ax+By+C=0(A +B ≠0)一一对应,即由有序数组(A,B,C)确定,因此研究 直线与直线之间的位置关系就是考察直线对应的数组间关系。 设直线?1:A1x+B1y+C1=0(A1 +B1 ≠0) ,直线?2:A2x+B2y+C2=0(A2 +B2 ≠0)
2 2 2 2 2 2 2 2

1

则:?1∥?2 ?

?A 1B 2 ? A 2 B1 ? ?A 1C 2 ? A 2 C 1

?1 与?2 相交 ? A1B2≠A2B1 其夹角公式为 t an
?? k1 ? k 2 1 ? k 1k 2

,其中 k1,k2 分别表示?1 及?2 斜率,当?1 或?2 斜率不存在时,画图通过
? 2

三角形求解,?1 与?2 夹角为θ ∈(0,

]

特例:?1⊥?2 ? A1A2+B1B2=0(此时不能用夹角公式求解) 利用点 P(x0, 0)到直线?: y Ax+By+C=0 的距离公式 d=
| C1 ? C 2 | A
2

Ax

0

? By a
2

0

? C
2

可以求出两平行直线: Ax+By+C1=0,

? B

Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离 d=



? B

2

4、当直线位置不确定时,直线对应的方程中含有参数。含参数方程中有两种特殊情形,它们的对应 的直线是有规律的,即旋转直线系和平行直线系。 在点斜式方程 y-y0=k(x-x0)中,当(x0,y0)确定,k 变化时,该方程表示过定点(x0,y0)的旋转直 线系,当 k 确定,(x0,y0)变化时,该方程表示平行直线系。 这些直线系还有其它表示形式: (1)已知直线?:Ax+By+C=0,则 方程 Ax+By+m=0(m 为参数)表示与?平行的直线系;方程-Bx+Ay+n=0(n 为参数)表示与?垂直的直线 系。 (2)已知直线?1:A1x+B1y+C=1=0,直线?2:A2x+B2y+C2=0,则方程 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0 表示过?1 与?2 交点的直线系(不含?2) 掌握含参数方程的几何意义是某种直线系,不仅可以加深数形结合的思想,还可以优化解题思想。 5、圆与二元二次方程一一对应,这些二元二次方程方程特征为: (1)二次项中无 xy 交叉项; (2)x , y 项前面系数相等; (3)x,y 的一次项系数 D,E 及常数项 F 满足 D +E -4F>0。 圆方程常见形式: (1)标准式:(x-a) +(y-b) =R (R>0) ,其中(a,b)为圆心,R 为半径; (2)一般 式:x +y +Dx+Ey+F=0; (3)参数式:(x-a) +(y-b) =R (R>0)的参数式为:x=a+Rcosθ ,y=b+Rsinθ ,其 中θ 为参数,表示旋转角,参数式常用来表示圆周上的点。 求圆方程的原理与求直线方程完全类似。 直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识,而不采用方程组理论(△法) 。 6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上,理解曲线与曲线之间的中心 对称及轴对称。善于利用对称的知识解题。 7、本章主要思想方法:数形结合,分类讨论,函数与方程,等价变换等。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

典型例题
例 1、已知定点 P(6,4)与定直线?1:y=4x,过 P 点的直线?与?1 交于第一象限 Q 点,与 x 轴正半轴
2

交于点 M,求使△OQM 面积最小的直线?方程。 分析: 直线?是过点 P 的旋转直线,因此是选其斜率 k 作为参数,还是选择点 Q(还是 M)作为参数是本题关 键。 通过比较可以发现,选 k 作为参数,运算量稍大,因此选用点参数。 设 Q(x0,4x0) ,M(m,0) ∵ Q,P,M 共线 ∴ kPQ=kPM ∴
4 ? 4x 0 6 ? x0 ? 4 6? m 5x 0 x0 ?1

解之得: m ? ∵ x0>0,m>0 ∴ x0-1>0 ∴
S ? OMQ ? 1 2

| OM | 4 x 0 ? 2 mx

0

?

10 x 0

2

x0 ?1

令 x0-1=t,则 t>0
S? 10 ( t ? 1) t
2

? 10 ( t ?

1 t

? 2)

≥40

当且仅当 t=1,x0=11 时,等号成立 此时 Q(11,44) ,直线?:x+y-10=0 评注:本题通过引入参数,建立了关于目标函数 S△OQM 的函数关系式,再由基本不等式再此目标函数的 最值。要学会选择适当参数,在解析几何中,斜率 k,截距 b,角度θ ,点的坐标都是常用参数,特别是 点参数。 例 2、已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(4,3) ,C(3,-2) ,求: (1)BC 边上的高所在直线方程; (2)AB 边中垂线方程; (3)∠A 平分线所在直线方程。 分析: (1)∵ kBC=5 ∴ BC 边上的高 AD 所在直线斜率 k= ? ∴ AD 所在直线方程 y+1= ? 即 x+5y+3=0 (2)∵ AB 中点为(3,1) AB=2 ,k ∴ AB 中垂线方程为 x+2y-5=0 (3)设∠A 平分线为 AE,斜率为 k,则直线 AC 到 AE 的角等于 AE 到
3
1 5 1 5

(x-2)

AB 的角。 ∵ kAC=-1,kAB=2 ∴
k ?1 1? k
2

?

2? k 1 ? 2k

∴ k +6k-1=0 ∴ k=-3- 10 (舍) ,k=-3+ 10 ∴ AE 所在直线方程为( 10 -3)x-y-2 10 +5=0 评注:在求角 A 平分线时,必须结合图形对斜率 k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时,都 要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求 AE 所在直线方程,设 P(x,y)为直线 AE 上任一点,则 P 到 AB、AC 距离相等,得
| 2x ? y ? 5 | 5 ? | x ? y ? 1| 2

,化简即可。还可注意到,AB 与 AC 关于 AE 对称。

例 3、 (1)求经过点 A(5,2) ,B(3,2) ,圆心在直线 2x-y-3=0 上圆方程; (2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,且与直线 x-y+1=0 相交的弦长为
2 2

,求圆方程。 分析: 研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思想,又要重视几何性质及定义的运用,以降低

运算量。总之,要数形结合,拓宽解题思路。 (1)法一:从数的角度 若选用标准式:设圆心 P(x,y) ,则由|PA|=|PB|得:(x0-5) +(y0-2) =(x0-3) +(y0-2) 又 2x0-y0-3=0 两方程联立得: ?
?x 0 ? 4 ?y 0 ? 5
2 2 2 2 2

,|PA|= 10
2

∴ 圆标准方程为(x-4) +(y-5) =10 若选用一般式:设圆方程 x +y +Dx+Ey+F=0,则圆心( ?
? 2 2 ?5 ? 2 ? 5 D ? 2 E ? F ? 0 ? 2 2 ?3 ? 2 ? 3D ? 2 E ? F ? 0 ? D E ?2 ? (? ) ? (? ) ? 3 ? 0 2 2 ?
2 2

D 2

, ?

E 2





?D ? ?8 ? 解之得: ? E ? ? 10 ? F ? 31 ?

法二:从形的角度 AB 为圆的弦,由平几知识知,圆心 P 应在 AB 中垂线 x=4 上,则由 ? ∴ 半径 r=|PA|= 10
4
?2x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 4

得圆心 P(4,5)

显然,充分利用平几知识明显降低了计算量 (2)设 A 关于直线 x+2y=0 的对称点为 A’ 由已知 AA’为圆的弦 ∴ AA’对称轴 x+2y=0 过圆心 设圆心 P(-2a,a) ,半径为 R 则 R=|PA|=(-2a-2) +(a-3) 又弦长 2
2 ? 2 R
2
2 2

?d

2

,d ?

| ?2a ? a ? 1 | 2



R

2

? 2?

( 3 a ? 1) 2

2

∴ 4(a+1) +(a-3) =2+ ∴ a=-7 或 a=-3

2

2

( 3 a ? 1) 2

2

当 a=-7 时,R= 52 ;当 a=-3 时,R=
2 2

244
2 2

∴ 所求圆方程为(x-6) +(y+3) =52 或(x-14) +(y+7) =244 例 4、已知方程 x +y -2(m+3)x+2(1-4m )y+16m +9=0 表示一个圆, (1)求实数 m 取值范围; (2)求圆半 径 r 取值范围; (3)求圆心轨迹方程。 分析: (1)m 满足[-2(m+3)] +[2(1-4m )] -4(16m +9)>0,即 7m -6m-1<0 ∴
? 1 7 ? m ?1
2 2 2 4 2 2 2 2 4

(3)半径 r= ∵
? 1 7

? 7m

2

? 6m ? 1 ?

? 7(m ?

3 7

)

2

?

16 7

? m ?1



m ?

3 7

时, r max
4 7 7

?

4 7 7

∴ 0<r≤

(3)设圆心 P(x,y) ,则 ? 消去 m 得:y=4(x-3) -1 又? ∴
1 7 20 7 ? x ? 4 ? m ?1
2

?x ? m ? 3 ?y ? 4m
2

?1

∴ 所求轨迹方程为(x-3) =

2

1 4

(y+1)(

20 7

? x ? 4)

5

例 5、如图,过圆 O:x +y =4 与 y 轴正半轴交点 A 作此圆的切线?,M 为?上任一点,过 M 作圆 O 的另一 条切线,切点为 Q,求△MAQ 垂心 P 的轨迹方程。 分析: 从寻找点 P 满足的几何条件着手,着眼于平几知识的运用。 连 OQ,则由 OQ⊥MQ,AP⊥MQ 得 OQ∥AP 同理,OA∥PQ 又 OA=OQ ∴ OAPQ 为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2 设 P(x,y),Q(x0,y0),则 ? 又 x0 +y0 =4 ∴ x +(y-2) =4(x≠0) 评注:一般说来,当涉及到圆的切线时,总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系;涉及到圆的弦时,常 取弦的中点,考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。
2 2 2 2

2

2

?x 0 ? x ?y 0 ? y ? 2

同步练习
(一)选择题 1、若直线(m -1)x-y+1-2m=0 不过第一象限,则实数 m 取值范围是 A、-1<m≤
1 2
2

B、 ?

1 2

≤m≤1

C、

1 2

<m<1
? 4

D、

1 2

≤m≤1

2、已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为 A、
? 1 3

,则 m 值为 D、 或 3
3 1

或-3

B、-3 或

1 3

C、-3 或 3

3、点 P 在直线 x+y-4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是 A、 2 B、 6 C、 2
2

D、 10

4、过点 A(1,4) ,且横纵截距的绝对值相等的直线共有 A、 1 条 B、2 条 C、3 条
6

D、4 条

5、圆 x +y -4x+2y+C=0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=90 ,则 C 的值是 A、 -3
2

2

2

0

B、3
2 2

C、 2

2

D、8

6、若圆(x-3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 距离等于 1,则半径 r 取值范围是 A、 (4,6) B、[4,6) C、 (4,6]
? 2

D、[4,6]
2 2 2

7、将直线 x+y-1=0 绕点(1,0)顺时针旋转 相切,则正数 R 等于 A、
1 2
2 2

后,再向上平移一个单位,此时恰与圆 x +(y-1) =R

B、

2 2

C、1

D、

2

8、 方程 x +y +2ax-2ay=0 所表示的圆 A、关于 x 轴对称 C、关于直线 x-y=0 对称 (二)填空题 9、直线 ax+by+c=0 与直线 dx+ey+c=0 的交点为(3,-2) ,则过点(a,b)(d,e)的直线方程是 , ___________________。 10、已知{(x,y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ ,则直线(m+3)x+y= 3m+4 与坐标轴围成的三角形面积是__________________。
? 3 x ? 8 y ? 15 ? 0 ? x,y 满足 ? 5 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ?

B、关于 y 轴对称 D、关于直线 x+y=0 对称

11、已知

,则 x-y 的最大值为________,最小值为________。

12、过点 A(2,1) ,且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。 13、已知圆:(x-1) +y =1,作弦 OA,则 OA 中点的轨迹方程是__________________。
2 2

(三)解答题 14、已知 y=2x 是△ABC 中∠C 平分线所在直线方程,A(-4,2) ,B(3,1) ,求点 C 坐标,并判断△ ABC 形状。

15、已知 n 条直线:x-y+ci=0(i=1,2,…,n) ,其中 C1=

2

,C1<C2<C3<…<Cn,且每相邻两条之间的

距离顺次为 2,3,4,…,n, (1)求 Cn; (2)求 x-y+Cn=0 与坐标轴围成的三角形面积: (3)求 x-y+Cn-1=0 与 x-y+Cn=0 与 x 轴、y 轴围成的图形面积。

16、已知与曲线 C:x +y -2x-2y+1=0 相切的直线?交 x、y 轴于 A、B 两点,O 为原点,|OA|=a,|OB|=b,
7

2

2

a>2,b>2, (1)求证:(a-2)(b-2)=2; (2)求线段 AB 中点的轨迹方程; (3)求△AOB 面积的最小 值。

17、已知两圆 x +y =4 和 x +(y-8) =4, (1)若两圆分别在直线 y=

2

2

2

2

5 2

x+b 两侧,求 b 取值范围; (2)

求过点 A(0,5)且和两圆都没有公共点的直线的斜率 k 的范围。

18、当 0<a<2 时,直线?1:ax-2y-2a+4=0 与?2:2x+a y-2a -4=0 和坐标轴成一个四边形,要使围成的 四边形面积最小,a 应取何值?

2

2

参考答案
(一)1、D 2、C 3、C 10、2
2

4、C

5、A 11、6,-5

6、A

7、B

8、D

(二)9、3x-2y+C=0 13、 ( x
? 1 2 )
2

12、x+y=3 或 x-2y=0

? y

?

1 4

(x≠0)
0

(三)14、C(2,4) ,∠C=90 15、 (1) C n
?

2 n ( n ? 1) 2

(2)

n ( n ? 1) 4

2

2

(3)n

3

16、 (1)利用圆心到直线距离等于半径 (2)(x-1)(y-1)= (3) 2
2 ?3

1 2

(x>1,y>1)

17、 (1)画图 (2)k∈( ?

3≤b≤5
5 2 , 5 2


8

18、

1 2

9


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