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2014年浙江省高中数学竞赛


中 等 数 学 

2 0 1 4 年 浙 江 省 高 中 数 学 竞 赛 
中图 分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章 编 号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 6— 0 0 2 8—0 5  





选择题 (

每小题 5 分, 共5 0分 )  

1 . 已知集合 P={ 1 , l a   I } , Q={ 2 , 6   } 为全集 
U={ 1 , 2 , 3 , n 2 + b 2 + 口 + b }  

的子集 , 且c  ( P   u   Q )={ 6 } . 则 下面 结论 正确 的 
卜一 2 —_ _ 叫  卜_l - 叫 卜一 2 — 

T   ÷   土  
正视 图  侧视 图 
图 1  

是(  

) .   ( B ) 口 = 3 , b   - I - 一1  

俯视 图 

( A ) 口 = 3 , b = 1  

( C ) o:一 3 , b :1  ( D ) 0 =一 3 , b =一 1  

2 . 已知复数 z 。 、 z   , 且 
I z l   I : 2   I   2   l = 2 , I z l + z 2   I = √ 7.   则I z 。 一 z   I _(   ) .  

( A ) 1  

( B ) 2  

( C ) 2  

( o ) z 

7 . 若   ∈ R + , 则 ( x 3 + 1 -   )   展 开 式 中 常 数  
( D )  
项为 (   ) .  

( A)  

( B )  

( c ) 3  

3 . 设  A 、   B、   C为△ A B C的三个 内角.   命题 P:   A=   ;  

( A ) 一 1   2 5 9  
( C ) 一1   5 1 1   方程 

( B ) 一1   2 6 0  
( D ) 一1   5 1 2  

8 . 设[  ] 表 示不 超过 实 数  的最 大 整数. 则 
) 条件.   3 x   一1 0 I x ] + 3 = O   的所有实数根 的个数为 (   ( A ) o   ( B ) 1   ) .   ( D) 3   ( C ) 2  

命题 Q: s i n   A= s i n   B .  
则 一 P是 一 Q 的(  
( A ) 充分 非必要 

( B ) 必要非充分 

( C ) 充分必要 

( D ) 既非充分 又非必要 

4 . 已知等 比数列 { 口   } : Ⅱ   : 5 , 0   = 6 2 5 . 则 

9 . 若 口∈ R+ , b∈ R, 且 
m ax   a i r n # ∈R 



∑—— 一 l o   g ( 5   0   ? l o g 5口   = 、  
( A)   ( c )   ( B )   ( D )  

) 。

{ 2   + 4 , 口  + b , 5— 3   } = 2 ,   ) .  
( B ) 1   ( C ) 2   ( O ) 3  

则 口+ 6 =(  
( A) 一 1   。  

1 O . 已知函数 
- (   )= c 0 s ( a s i n  ) 一 s i n ( b o o s  )  

5 . 已知oD 1 : (  + 2 )  +( y 一 1 )  =1 与 oD 2 :  

无零点. 则a   + b  的取值范围为 (  

) .  

+( y +1 )  = 1关 于直线 Z 对 称. 则f 的方 程 为 
(   ) .  

( A ) [ 0 , 号 )   ( B ) [ 0 '   )  

( A)  + y +1 = 0   ( C )  一 y一 1 = 0  

( B )  一 y +1 : 0   ( D )  + y 一1 = 0  

( c ) 【 0 , 等 )   ( D ) 【 0 , 5 -   )  
二、 填空题 ( 每小题 7分 , 共4 9分)  

1 1 . 设实数 x , y满足方程 (  + 2 )  + Y   =1 . 则 
上 的最大值为 

6 . 若某几何体 的三 视 图如 图 1 所示, 则该 几  何体 的体积为 (   ) .  

2 0 1 4年第 6期 

2 9  

1 2 . 若平面 上 四点 A 、  、 C 、 D, 满 足任 意三 点  不共线 , 且4   + 2   =   , 则  =


2 O . 设数列 { a   } 定义 为 

. 


' JZ  ̄B C  

a l = a , a n + 1   +  



( n ≥   ) ?  

1 3 . 如图 2 , 在 正 四棱 柱 A B C D —A l B 1 C l D l  

求所有实数 a , 使得 0< a   < 1 ( n t2 > ) .   四、 附加题 ( 每小题 2 5分 , 共5 0分 )   2 1 . 在1 ~1 0 0的 1 0 0个 整数 中, 任意 选取 三  个互不相 同的数组成有序三元数组 (  , , , , z ) . 求 满 
足方程 + Y= 3 z + l 0的三元数组 的个数.  

中, 已知 A B   与底 面 A  。 C 。  。 所成角的正切值为 

a . 则二面角 A一  , D, 一 A , 的正切值为 

.  

2 2 . 设 正实数 a , b 、 c 满足 
,。

2+6  =3

,  

J   0   + c   + a c = 4 ,  
【 b   + c   +  b c = 7 .  
求a 、 b 、 C 的值.  
1 冬 l   2  

1 4 . 设  ) 是 定义 在 R上 的奇 函数 , 且 对任 
意  ∈ R, 有 


参 考 答 案 


1 .D.  

+ 2 ):   )+ 2 ,  

由c   U ( PU   Q ) ={ 6 }  
2 . D.  

a 。 + b   + a +b = 6 .  

则∑ 后 ) = ——.  
1 5 . 设 P是椭 圆 2  + 3 y 2 =1 上 的一点 , F 。 、  

显然 , 只有选项 D符合 .  
易知 ,  
I z 1 一Z 2   I =   I z 1   l  +2   l   I   I z l +z 1   I  =   .  

是 该 椭 圆 的 两 个 焦 点 , 且  F I P F :  詈? 则  
△F 。 P  的面积为
.  
— —

3 . C.  

1 6 . 设  ) 是定义在 R上 的函数 , 满足 

在△ A B C中 ,  
A≠  B甘 s i n   A≠s i n   B.  

I  ) + c 。 s 2 戈 I ≤ 寻 , l  ) 一 s i n 2 x I ≤ ÷ .  
则函数  ) =


4 . A.  

. 


设等 比数列 的公 比为 g . 则 由题意知 
6 2 5 =5 q   j  q=5  


1 7 . 有一快递公 司承担某地区 1 3 座城市之 间  的快递业务 , 若 每名快 递员最 多只能 承接 四座城 

市之间的快递业 务 , 要 使每两座 城市 之间至少有 
1 名快递 员 , 则此 快递公 司最 少需要 
递员.  

白 0 1 4  
5 . B.  

1  

= 2   0 1 4  

=  

. 

名快 

注意到 , 0。 ( 一2 , 1 ) , 0 2 ( 0, 一1 ) .  

三、 解答 题( 每小题 l 7分 , 共5 1 分)  

由题意 , 知直线 Z 即 为线段 0   0 : 的垂 直 平  分线.  

1 8 . 若b , c ∈ R, 二次 函数  ) =  +   + c 在  ( 0 , 1 ) 上与 轴有两个不 同的交点 . 求c   + ( 1 + b ) c   的取值范围.   1 9 . 已知 A为抛 物线 y 2 = 2 x上 的动点 , 定 点 

从而 , 直线 Z 的方程为  一 Y+ 1 = 0 .  
6. B.  

由该几何体的三视 图 , 知 其为 一个长 、 宽、 高 
分别为 2 、 2 、 1 的长方体 , 并被截 去两个底 面直三  棱柱 , 其中, 该三棱柱 的底 面是边长为 1 的等腰直 
7.A.  

B( 2 , 0 ) , 以A B为直 径 作 o  若 O  C截 直 线 z :  

+  一 ÷= 0 所得的弦长为定值, 求此弦长及实   角三角形 , 高为 2 .  
数 k的值.  

中 等 数 学 

由题 意 , 知该展开式 常数项有两项 , 其一是所  有 的乘积项 均取 1 , 或 四个乘积项取  , 三个乘积  项取 一   , 两个乘积项取常数 1 . 于是 , 常数项为 



2 + 6   的 取 值 范 围 为 【 o , 等 ) .  

二 、 1 1 . 譬 .  
由题意 , 要使上 的值最大 , 即由原点 向圆 
(  +2 )  +y  =l  

c : ( x 3 )   c   ) 3 c   +   = 一 ? 2 5 9 .  
8 . D.  

由3 x   一l O [ x ] + 3= 0   j  l O ( x一 1 ) < l O [ x ] = 3 x   + 3  ̄l < O x  

引 切 线 , 使 切 线 斜 率 最 大 即 可 , 此 时 最 大 值 为 拿.  
1 2 . 4 .  

≤ 

由 向量 加 法 的平 行 四边 形 法 则 知 

‘ 

当÷≤   < 1 时, 原方程无解 ;  

当 1 ≤   < 2 时 , 原 方 程 的 解 为   = √   ;   当 2 ≤   < 3 时 , 原 方 程 的 解 为   = √   ;  
当  = 3 时, 满足原方程.  
从而 , 原方程的所有实数根个数为 3 .  
9 . C.  

1 3 .   0 .  

设正 四棱 柱 的 底 面 边 长 、 高 分 别 为  、 ) , .  
则上 = 口 . 令底 面对 角 线 的 交 点 为 0 . 则 二 面 角  A— B 。 D。 - A 。 的平面角为  A O A   .  
从而 , t a n   A   。 :  
1 4 . 2   0 2 9   1 0 5 .  

:   。 .  

注意到 , 直线 Y= 2 x+ 4 、 Y= 5— 3 戈分别 经过  点( 一 1 , 2 ) , ( 1 , 2 ) , 且这两点关 于 Y轴对称.  

注意到 ,  0 )= 0 .  

故当 b : 0时 , 抛 物线 Y=   过点 ( 一1 , 2 ) ,  
( 1 , 2 ) , 得口 = 2 ;  

由 

+ 2 ) = 厂 (  )+ 2 , 令  =一 1 . 贝 0  
1 ) :1 .  

1 ) =  一 1 ) + 2  

当b ≠0时 , 抛物线 Y= a x   +b 过点 ( 一1 , 2 ) ,  
( 1 , 2 ) , 得 口( 一1 )  + b = 2 .   综上 , 口+ b = 2 .  
1 O . C.  

又 , ( 2 n ) = ∑(  2 矗 ) 一 f ( 2 k 一 2 ) ) 十  0 )  
=2 n,  

f ( 2 n — 1 ) = ∑( f ( 2 k 一 1 ) 一 f ( 2 k 一 3 ) ) +  1 )  
:2 n 一1,  

由已知得 

{ 2 k   2 r t   + b   c   o s   — x   6 = c  ̄ -   - a : s 詈 i n x — , 口   n   ( k   E   Z ,  
则   s i n (   +   ) = 詈 + 2 / a r  ̄   s i n (   一   ) = 季 一 ( 2 k + 1 )   ,  

从而, ∑ I j } ) = ∑k = 2   0 2 9   1 0 5 .  

1 5 . 学 .  
设椭圆 的长半轴 、 短半轴的长分 别为 口 、 b . 则 
。=   , 6=

字  c =   6 .  

其 中 , s i n  ̄ -   , c o s  ̄ - 志 , 无 解 ?  

故 I F l  = 孚 , l   l l + 1   P F 2   1 =  .  
在△ P F 。 F 2 中应用余 弦定理得 

故   < 面 n  +  - y 一 ( 2 k + 1 )   I )  

(   )   = ?    ̄ 1 2 + 1 P   ?   一 2 t   川 P   ? c o s 詈  

2 0 1 4年第 6期 

3l  

I P F I I   J
故s   =   1  

l _  

.  

i  ̄Y l + Y 2 -  

, Y l Y   2 -  



I   I P F 2   1   s i n 詈 = 学.  

由Y   = 2 x 。 以及两点之间的距离公式得 
I P 。 P 2 I =  


1 6 . s i n   一1
4 .  

) , : 一 4   一 8 k  2 + 8   , , o + 1 6 k   + 1 2  
4 ( 1 + . j }   )   ‘  

注意到 ,  
1=s i n 2   +c o s  

令I i } = 0 , 得I   P l P 2  
2 0 . 由题设知 
.+   r = 

.  

≤I f (   )+ C O S  I +  ^ (  ) 一 s i n  I  

所以, 弦长为√  , 尼 = 0 .  

} + 寻   故 I  ) + c 。 s 2   I = 导 , i f (   ) 一 s i n 2   I = } .  


.  

0l+ 口2 + …
川  

+ 口

从 而 ,  ) = s i n   戈 一 寺 .  
nn   0 

寺 

n 

1 7 . 1 3 .  



由题 意 , 知 1 3座城 市之 间 的快递 业务 共 有  c   , 种, 每名快递员最多只能承接 四座城市之 间的 

口 : 一 口 n + 1 一 ( 口   一   )   + ÷   ( n ≥ 2 ) .  
, 所以, 当。 , =。 ≠0   <1 , 即口 < 0  

因为 。 , =。 , 。  =  

C : 种 快 递 业 务 , 故 至 少 需 要 等= 1 3 名 快 递 员 .  
d 

时, 口   > 0 ( n ≥3 ) , 且 当 0< 口 2 =  

下 面构造 1 3名快递 员可以满足需求 :  
1, 2, 3, 4; 1, 5, 6, 7; 1 , 8, 9, 1 0; 1 , 1 1 , 1 2, 1 3;   2, 5, 8, 1 1 ; 2, 6, 9, 1 2; 2, 7, 1 0, 1 3;   3, 5, 9, 1 3; 3, 6, 1 0, 1 1; 3, 7, 8, 1 2;   4, 5, 1 0, 1 2; 4, 6, 8, 1 3; 4, 7   , 1 1 .  

时, 有 
口 n+ 1 一 口 

l  
a1+ 口 2 + … +口n


l  

1 + 0 ^ 一1  a 1 +口 2+… + 0 nl一 1  


三、 1 8 . 设题给二次 函数 的两个零点为?   、 s  
( r 、 s ∈( 0 , 1 ) ) . 于是 ,   ~   ) =( 戈 一 r ) (  一 5 ) .   则c =  0 ) =  ,   一  

< O ( 儿 ≥2 ) ,   即  口   + 1 < 0   ( n ≥2 ) .   于是 , 0 < 0   <l ( n ≥2 ) .   从而 , 口< 0 .  

1 + b + c = , ( 1 )=( 1 一 r ) ( 1 一 s ) .   故 0< C   +( 1 + b ) c =  0 )  1 )  

四、 2 1 - ( 1 ) 当3 彳 + 1 0 ≤l  ̄ 0 1 , 即 ≤3 0时 , 满 足 

+ , , : 3 z + 1 O 的三元数组的个数为 

. r ) c -  < ( 半   半 )  
一 一  

I S = ∑( 3   + 9 ) = 1   6 6 5 .  
( 2 ) 当3 z+1 0 ≥1 0 2 , 即3 1 ≤  ≤6 3时 , 满足 
+ y= 3 z + l O 的三元数组个数 为 


1 6‘  

1 9 . 设抛物线上 的动点 a( x 。 , Y o ) (   = 2 x 。 ) .   则以A  为直径的圆方程 为 


∑( 1 9 1 — 3 k )  

(  一   o ) (  一 2 ) +( Y - Y o ) , , = 0 .   ①  设直线 f 与圆交于点 P 。 (   。 , , ,   ) 、 P : (   : ,  ) ,  

∑[ 1 9 1 _ 3 ( k + 3 o ) ] = 1   6 5 0 .  

再来考虑 、 y 、   有相等的情形.   首先 ,   、 y 、   不可能均相等.   若 =  , 则满足 +  = 3 z +1 O的三元数组 的 
个数为 A= 3 1 .  

由 式①联立直线方 程  + 砂一 ÷= 0 得  
4 ( 1 +  ) y 2 + 4 (  0 一 Y o — k ) y + 2 x 0 — 3 = 0 .  

3 2  

.  

中 等 数 学 

若 =   , 则满足 + Y= 3 z +1 0的三元数组 的 
个数为 B= 4 5 .  

A B:  
于是
,  

:  



AC :2, BC :  

C A B :9 0。 .  


若Y :   , 则满足  + y= 3 z + 1 0的三元数组 的  个数为 C= 4 5 .   综上 , 所求的三元数组个数为 
S+T— A—B—C= 3   1 9 4 .  

过点 0作 O E上 A CO F上 A B .   设A E:m   y O E: n .   因为  A B O=   O A E, 所以 ,  
△ B F O∽ △ A EO  

2 2 . 如图 3 , 从 点 0出发 , 作 长度为 0 、 b 、 c的  三条线段 O A 、 O B 、 O C , 使 得  A O B= 9 0 。 ,   A O C  


O F  O E 。凡   B F  A E   m  
又  A O C=1 2 0 。 , 则 
t a n/ A OC= 一  

m   一  。  

1 2 0 。 . 则  C O B=1 5 0 。 .  
B  

\  
F 
一  

.   m 手 2   - m历  

二   m   2 - m   - -   '  ̄ " "  
…  

A  

E 

b  

网 

故 (  , c ) = (   ,   3 7,  
( 杨E  
设  =   。 则 

由余 弦定理知 

编   读   往   来   热心 读 者 指 出《中等 数 学 》 2 0 1 4年 第 三 期  ( 2 0 1 3年全 国高中数学联赛 福建赛 区预赛 》 1 2 题 
第 2问的解答漏登 , 现补登如下.   ( 2 ) 由( 1 ) 知 

专 
一 一

【 堑二   鱼 )   ±  
8 t   ‘  

于 是   …竽  ) < 0 ;   则 ∞ - =   +   1   当 t > 竽  ) > 0 .   ) 一 (   +   1   z )   l l ( Y l Y 2 — 1 6 ) ( Y 。 一 Y 2 ) f   从 而 ,   t ) 在 区 间 ( o , 竽】 上 为 减 函 数 ; 在 区   { ——  = - 一 1 .   [ 竽, + ∞ ) 上 为 增 函 数 .   S  ̄ o = y   { 4 一   1 .  间 设y 1 Y 2 = 一t   ( t >0 ) , I Y 1 一Y 2   l =m .   因 此  = 竽时  ) t R O d 、 值 学 .   由( Y l + y 2 )  = ( y 1 一 y 2 )  + 4 y 1 Y 2 = m 2 — 4 t   ≥O ,  
c ( 4 ,   +   1   ) , D (   y 8   十   1   ) .  


知 m≥2 £ .  

当y l + y 2 : 0 , y l   :一   1 6 即 


当且仅 当 Y 。 +  = 0时 , 上式等号成立.  

4  

4  

故 5   。 :   l 4 +  
:  ≥  =  

l  
.  

2 一万  
时, △尸 c D面积取最小值丝 
.  

对I  给 谴 者 楷 桌 不 便 . 深 表 歉 意 


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