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3.3.2简单的线性规划问题(一)


3.3.2 简单的线性规划问题(一)

作出下列不等式组的所表示的平面区域 y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

5

C

/>x-4y+3=0

A
B
O
1
x=1 5 3x+5y-25=0

x

问题1:x 有无最大(小)值?

问题2:y 有无最大(小)值? 问题3:2x+y 有无最大(小)值?

把上面两个问题综合起来:

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
时,求z的最大值和最小值.

在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结论 : 形如2 x ? y ? t ( t ? 0) 的直线与 x ? y ? 0平行. 2

o

x

y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)

? x ? 4 y ? ?3 ? 1.先作出?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ? 所表示的区域 .
2.作直线l 0 : 2 x ? y ? 0
x-4y+3=0

5

C

3.作一组与直线0 平行的 l 直线l : 2 x ? y ? t , t ? R

A B
O
1 x=1 5

2x ? y ? 0

直线L越往右平 移,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的t 值最小. Z max ? 2 ? 5 ? 2 ? 12, Z min ? 2 ? 1 ? 1 ? 3

? ? 2 x+y ? y ? -2 x+?
y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)

5

C

x-4y+3=0

A B
O
1 x=1 5 3x+5y-25=0

x

y ? -2 x

Z max ? 2 ? 5 ? 2 ? 12, Z min ? 2 ? 1 ? 1 ? 3

线性目 标函数

线性约 束条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 最优解 ? 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的

不等式组的 (x,y) 可行解

可行域

有关概念
由x,y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x, y 的约束条件。关于x,y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x,y 的线性约束条件。欲达到 最大值或最小值所涉及的变量x,y 的解析式称为 目标函数。关于x,y 的一次目标函数称为线性目 标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性 约束条件的解(x,y)称为可行解。所有可行解 组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值 或最小值的可行解称为最优解。

例:x,y满足关系式

?x ? y ? 2 ? ? x?0 ? y?0 ?

求 z ? y ? x 的最值

(1)指出线性约束条件和线性目标函数 (2)画出可行域的图形 (3)说出三个可行解 (4)求出最优解

解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域 有公共点且纵截距最大或最小的直线; (3)求: 通过解方程组求出最优解; (4)答:

22 例1.写出?ABC , A(5, 2), B (1,1), C (1, )的 5 内部和边界组成的平面区域对应的不等 式组.对于满足不等式组的x, y. 求z ? 2 x ? y的最值.

几个结论:
1、线性目标函数的最大(小)值一般 在可行域的顶点处取得,也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。

课堂练习

(1)已知

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

求z=2x+y的最大值和最小值。

y

y-x=0
5

1

O

1 A(2,-1)

5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

z max ? 3

zmin ? ?3

x+y-1=0

(2)已知

?5x ? 3y ? 15 ? ?y ? x ? 1 ? x-5y ? 3 ?

求z=3x+5y的最大值和最小值。

5x+3y=15 y y=x+1
5

B(3/2,5/2)
1

X-5y=3

O
-1

1

5

x

A(-2,-1)

Z max ? 17; Z min ? ?11

思考1:

?2 x ? y ? 3 ? 0, ? 已知x、y满足不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0, ?3x ? 5 y ? 15 ? 0, ? (1)求上述不等式组表示的平面区域内的整点; (2)当x, y ? Z时,求z ? x ? y的最大值和最小值.

?x ? 2 y ? 5 ? 0 作业: ? x ?1 y ? 已知x, y满足 ? , 则 的最值是C y?0 x ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?
A最大值是2,最小值是1 B最大值是1,最小值是0 C最大值是2,最小值是0

D有最大值无最小值是

若z= x ? y 呢
2 2


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