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湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-1:3.1空间向量及其运算第4课时


§3.1.4

空间向量的正交分解及坐标表示
王新敞
奎屯 新疆

【学情分析】 : 本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理 这种推广对学生学习已无 困难 但仍要一步步地进行,学生要时刻牢记,现在研究的范围已由平面扩大到空间 这样做, 一方面复习了平面向量、学习了空间向量,另一方面可加深学生的空间观念 让

学生从二维到 三维发现规律,培养学生的探索创新能力。 【教学目标】 : (1)知识与技能:掌握空间向量基本定理,会判断空间向量共面 (2)过程与方法:正交分解推导入手,掌握空间向量基本定理 (3)情感态度与价值观:认识将空间向量的正交分解,能够将空间向量在某组基上进行分解 【教学重点】 :空间向量正交分解,空间向量的基本定理地使用 【教学难点】 :空间向量的分解 【课前准备】 :课件 【教学过程设计】 :
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教学环节 一.温故知新

教学活动 回顾平面向量的正交分解和平面向量的 基本定理 1.空间向量的正交分解 设 i , j , k 是空间的三个两两垂直的向 量,且有公共起点 O。对于空间任意一个 向量 p ? OP ,设 Q 为点 P 在 i , j 所确 定的平面上的正投影,由平面向量基本定 理可知,在 OQ , k 所确定的平面上,存 在实数 z,使得 OP ? OQ ? zk 而在 i , j 所确定的平面上,由平面向量

设计意图 由此为基础,推导空间 向量的正交分解和基本 定理 以平面向量的基本定理 为基础,层层递进,得 到空间向量的正交分解 形式。

二.新课讲授 基本定理可知,存在有序实数对 ( x , y) , 使得 OQ ? xi ? y j 从而 OP ? OQ ? z k ? xi ? y j ? z k 由此可知,对空间任一向量 p ,存在一个 有序实数组{ x, y , z },使得

p ? xi ? y j ? zk ,称 xi , y j , z k 为向
量 p 在 i , j , k 上的分向量。

-1-

2.空间向量的基本定理 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对 空间任一向量 p , 存在一个唯一的有序实 数组 ( x, y , z ) ,使 p ? xa ? yb ? zc 注意介绍单位正交基、 正交基、基的特殊与一 般的关系,以帮助学生 由此定理, 若三向量 a, b, c 不共面, 理解概念。

?

那么空间的任一向量都可由 a, b, c 线性表 示, 我们把{ a, b, c }叫做空间的一个基底,

a, b, c 叫做基向量。
空间任意三个不共面的向量都可以 构成空间的一个基底
王新敞
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如果空间一个基底的三个基向量两 两互相垂直,那么这个基底叫做正交基 底,特别地,当一个正交基底的三个基向 量 e1 , e2 , e3 都是单位向量时,称这个基底 为单位正交基底,对空间任一向量 p ,存 在 一个 唯一 的有 序实 数组 ( x, y , z ) , 使

?

p ? xe1 ? ye2 ? ze3 记 p ? ( x, y, z)
推论: 设 O, A, B, C 是不共面的四点, 则对空间任一点 P , 都存在唯一的三个有 序 实 数

x, y , z
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使

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC

例 1. 如图,已知空间四边形 OABC , 三.典例讲练 其对 角线 OB, AC , M , N 分 别是对边 向量的分解过程中注意 向量的运算的正确使 用。

OA, BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且

-2-

??? ? ??? ? ??? ? MG ? 2GN ,用基底向量 OA, OB, OC
表示向量 OG

????

王新敞
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O

M G

C N

A B

解: OG ? OM ? MG

????

???? ? ???? ?

???? ? 2 ???? ? ? OM ? MN 3 ??? ? ? 1 2 ???? ???? ? OA ? (ON ? OM ) 2 3 ? 2 1 ??? ? ???? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? [ (OB ? OC ) ? OA] 2 3 2 2 ??? ? ??? ? ???? ??? 1 1 1 ? ? OA ? (OB ? OC ) ? OA 2 3 3 ? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? ? OA ? OB ? OC 6 3 3



???? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? OG ? OA ? OB ? OC 6 3 3

1、 如图, 在正方体 OADB ? CA/ D / B / 中, , 点 E 是 AB 与 OD 的交 四.练习巩固 点,M 是 OD/ 与 CE 的交 点,试分别 用向量

-3-

OA, OB, OC 表示 OD 和 OM
解: OD / ? OA ? OB ? OC

1 1 1 OM ? OA ? OB ? OC 3 3 3
课本 P102 练习 1、2、3 1.设 A、B、C、D 是空间任意四个点, 令 u= AD ? BC ,v= AB ? CD ,w

???? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? = AC ? BD ,则 u、v、w 三个向量
A.互不相等 相等 B.至多有两个 C.至少有两个

相等 D.有且只有两个相等 2.若 a、b、c 是空间的一个基底,下列 各组 ①la、mb、nc(lmn≠0); ②a+2b、2b+3c、3a-9c; ③a+2b、b+2c、c+2a; 五.拓展与提高 ④a+3b、3b+2c、-2a+4c 中,仍能构成空间基底的是 A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 3.已知 E , F , G, H 分别是空间四边形 充分认识基底的特征, 即线性无关的三个向量 就可以构成空间的一个 基底。



ABCD 的边 AB, BC, CD, DA 的中点,
(1) 用向量法证明 E , F , G, H 四点共面; (2)用向量法证明: BD //平面 EFGH ; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证: 对空间任一点 O ,有
???? ? 1 ??? ? ??? ? ???? ???? OM ? (OA ? OB ? OC ? OD) 4

A

E
B F M
-4-

H

O
D

G

C

六.小结 七.作业 练习与测试: (基础题)

1.正交分解的推导和空间向量基本定理 2.如何将向量用坐标表示 3.任意空间向量在某组基底下的分解 课本 P106 习题 3.1 第 6 题

1 如图,在正方体 OADB ? CA/ D / B / 中, ,点 E 是 AB 与 OD 的交 点,M 是 OD/与 CE 的交点,试分别用向量 OA, OB, OC 表示 OD 和 OM 解: OD / ? OA ? OB ? OC

1 1 1 OM ? OA ? OB ? OC 3 3 3
2 . 设 向 量 {a, b, c} 是 空 间 一 个 基 底 , 则 一 定 可 以 与 向 量

p ? a ? b, q ? a ? b 构 成 空 间 的 另 一 个 基 底 的 向 量 是
( A. a ) B. b C. c D. a或b

3.设 A、B、C、D 是空间任意四个点,令 u= AD ? BC ,v= AB ? CD ,w= AC ? BD , 则 u、v、w 三个向量 ( ) A.互不相等 B.至多有两个相等 C.至少有两个相等 D.有且只有两个相等 4.若 a、b、c 是空间的一个基底,下列各组 ①la、mb、nc(lmn≠0); ②a+2b、2b+3c、3a-9c; ③a+2b、b+2c、c+2a; ④a+3b、3b+2c、-2a+4c 中,仍能构成空间基底的是 A.①② B.②③ C.①③ D.②④

???? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?





5.设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0 , AC ? AD ? 0 , AB ? AD ? 0 ,则 △BCD 是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6.已知 S 是△ABC 所在平面外一点,D 是 SC 的中点,若 BD = xAB ? y AC ? z AS , 则 x+y+z= . D 7.在空间四边形 ABCD 中,AC 和 BD 为对角线, E G 为△ABC 的重心,E 是 BD 上一点,BE=3ED, ??? ? ???? ???? ??? ? C 以{ AB , AC , AD }为基底,则 GE = .
M G A B

-5-

(中等题) 8. 已知四面体 ABCD 中,AB, AC , AD 两两互相垂直, 则下列结论中, 不一定成立的是 ( (1). | AB ? AC ? AD |?| AB ? AC ? AD | (3). ( AB ? AC ? AD) ? BC ? 0 不一定成立的是 . )

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

(2). AB ? CD ? AC ? BD ? AD ? BC

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

(4). | AB ? AC ? AD |2 ?| AB |2 ? | AC |2 ? | AD |2

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

9.已知非零向量 e1, e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 ,求证:A、 B、C、D 共面。

??? ? ? ? ? ? ? ??? ?

? ?

? ? ? ??? ?

? ?

? ? ?

-6-


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