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必修3 概率与统计综合-9






高二 张变英 李秀卿





数学





人教新课标 A 版(理)

课程标题 编稿老师 一校

必修 3 概率与统计综合 二校 林卉 审核 吴华斌

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一、学习目标:
1. 掌握三种随机抽样各自的特点以及抽样的等概率性, 样本估计总体的频率分布直方图。 2. 熟练掌握古典概型、几何概型中概率的计算公式 3. 掌握线性回归方程的求解公式以及简单的运用。

二、重点、难点:
重点:掌握随机抽样、概率的运算、频率分布直方图以及概率的运用。 难点:将实际问题转化为概率模型,并正确应用不同的概率模型进行概率计算,从而解 决问题。

三、考点分析:
高考对于这部分内容的要求注重理解,并能进行简单的运用。 除概率以外,一般都是以选择题或填空题的形式出现,注重基本知识点的概念的运用。 而概率在高考中所占分值较大,一般既有小题,也有大题。因此我们要针对概率多加训练。

1、三种随机抽样:简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的概念和解决问题的步骤。 2、用样本估计总体中的基本概念:众数、中位数,平均数与方差,频率分布直方图、折 线图与茎叶图,并能进行简单的运用。 3、线性回归方程: 一般地,设有 n 个观察数据如下:

x
y

x1

x2 y2
2 2
?

x3 y3

? ?
2

xn yn

y1

当 a , b 使 Q ? ( y1 ? bx1 ? a) ? ( y2 ? bx2 ? a) ? ... ? ( yn ? bxn ? a) ①

? ? 取得最小值时,就称 y = b x+ a 为拟合这 n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的
直线称为回归直线。 上述式子展开后,是一个关于 a , b 的二次多项式,应用配方法,可求出使 Q 为最小值时 的 a , b 的值。即

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? b = i ?1n

? xi yi ? n x ? y
i ?1

n



? xi ? n x
2

2

? ? a = y -b x ,
x? 1 n 1 n xi , y ? ? y i ? n i ?1 n i ?1
?

? ? ? ? 使 Q (a, b) 取得最小值,回归方程的斜率为 b ,截距为 a ,即回归方程为 y = b x+ a
4、随机事件的概率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数; 称事件 A 出现的比例 fn (A) =

nA 为 n

事件 A 出现的频率,对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频 率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。 5、古典概型的概率: 如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个, 那么每一个等可能基本事件发生的概率都是

1 m ,如果某个事件 A 包含了 m 个等可能基本事件,那么事件 A 发生的概率为 P ( A) ? 。 n n
6、几何概型的概率: 一般地,在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为 事件 A ,则事件 A 发生的概率 P( A) ?

d的测度 。 D的测度

知识点一:随机抽样的运用 例 1:某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽 样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案, 使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,??, 270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号 1,2,??,270,并将整个编号依次分为10 段。如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A. ②、③都不能为系统抽样 B. ②、④都不能为分层抽样 C. ①、④都可能为系统抽样 D. ①、③都可能为分层抽样 思路分析: 1)题意分析:本题考查三种抽样的概念以及综合运用。 2)解题思路:根据题中给出的数据,结合三种抽样的数字规律进行判定。一、二、三 年级的分层抽样比例为 4:3:3,系统抽样是等间隔的。 解答过程 ①③的间隔为 27 ,可为系统抽样;④的第一个数为 30 ,不符合系统抽样,因为间隔为

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27 ,④的第一个数应该为 1~27;分层抽样则要求初一年级应该抽取 4 人,号码在 1~108, 所以④中的 111 不符合分层抽样,故选 D。
解题后的思考:对于三种抽样的数字规律我们要明确一点,看是不是等差数列,可能是 系统抽样, 同时要注意数字是不是在给定的间隔里面。 如果不是该数列, 就可能是分层抽样。 而对于分层抽样问题,我们要注意比例。 知识点二:频率分布直方图的运用 例 2:某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒到 19 秒之间,将测试结果 按如下方式分成六组:第一组,成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒;第二组,成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒;??第六组,成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒。下图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图。设成绩小于 17 秒的学生人数占全班人数的百分比为 x ,成绩 大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y , 则从频率分布直方图中可以分析出 x 和 y 分别 为( )

35 45 35 45 A. 0.9, B. 0.9, C. 0.1, D. 0.1, 思路分析:考查了用样本估计总体的频率分布直方图的运用。 解答过程:从频率分布直方图上可以看出 x ? 1 ? (0.06 ? 0.04) ? 0.9 , y ? 50 ? (0.36 ? 0.34) ? 35 ,故选 A。
解题后的思考: 理解频率分布直方图的含义, 每一个矩形框的面积代表在该区间的频率。 频率等于频数除以样本容量。 知识点三:数据的平均数与方差的运用 例 3:数据 a1 , a2 , a3 ,..., an 的方差为 ? ,平均数为 ? ,则
2

0 ( 1 ) 数 据 ka ? b ka ? b ka? ,b , 2 , 3 ..., n ? (kb ?? ) 0) 平 均 数 为 ka b( kb 的 , 1
为 。 (2)数据 k (a1 ? b), k (a2 ? b), k (a3 ? b),..., k (an ? b),(kb ? 0) 的平均数为

,标准差 ,标准

差为

。 思路分析: 1)题意分析:本小题主要考查平均数和方差以及标准差的计算求解,考查运算能力。 2)解题思路:运用平均数的公式和方差的公式,代入求解即可。 解答过程:

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(1) X ?

ka1 ? b ? ka2 ? b ? ... ? kan ? b a ? a ? ... ? an ?k? 1 2 ? b ? k? ? b n n

s? ?k

1 [(ka1 ? b ? k ? ? b)2 ? (ka2 ? b ? k ? ? b)2 ? ... ? (kan ? b ? k ? ? b) 2 ] n

1 [(a1 ? ? )2 ? (a2 ? ? )2 ? ... ? (an ? ? ) 2 ] ? k ? n k (a1 ? b) ? k (a2 ? b) ? ... ? k (an ? b) a ? a ? ... ? an ?k? 1 2 ? kb ? k? ? kb nb ? nb (2) X ? n n 1 s? [(ka1 ? kb ? k ? ? kb)2 ? (ka2 ? kb ? k ? ? kb)2 ? ... ? (kan ? kb ? k ? ? kb) 2 ] n ?k 1 [(a1 ? ? )2 ? (a2 ? ? )2 ? ... ? (an ? ? ) 2 ] ? k ? n

解题后的思考:掌握平均数与方差的公式,并能准确的运算。 知识点四:线性回归方程的运用 例 4:以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据:

(1)画出数据对应的散点图; (2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线; (3)据(2)的结果估计当房屋面积为 150m 时的销售价格。 思路分析: 1)题意分析:考查散点图以及线性回归方程的求解。 2)解题思路:先由表中的数据作出散点图,然后结合图像先确定是否符合线性回归直 线,最后结合公式求解。 解答过程: (1)数据对应的散点图如图所示:
2

(2) x ?

5 1 5 xi ? 109, l xx ? ? ( xi ? x) 2 ? 1570, ? 5 i ?1 i ?1
5

y ? 23.2, l xy ? ? ( xi ? x)( yi ? y) ? 308
i ?1

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设所求线性回归直线方程为 y ? bx ? a ,

?

308 ? 0.1962 l xx 1570 308 a ? y ? b x ? 23.2 ? 109 ? ? 1.8166 1570 ? 故所求回归直线方程为 y ? 0.1962 ? 1.8166 x 2 (3)据(2) ,当 x ? 150m 时,销售价格的估计值为: ? y ? 0.1962? 150 ? 1.8166? 31.2466(万元)
则b ?

l xy

?

解题后的思考: 对于线性回归方程的运用主要是理解字母的含义, 并能结合公式进行准 确的运算。高考主要是以小题的形式考查。 知识点五:几何概型的运用 例 5:ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一 点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A.

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

? 8

思路分析: 1)题意分析:考查实际中几何概型的运用,通过把实际问题转化为数学问题,可以培 养我们分析问题、解决问题的能力。 2)解题思路:首先构造出随机事件对应的几何图形。然后分析事件所研究的图形与已 知的整个图形的关系。 解答过程: 答案:B 对于几何概型, 关键是要构造出随机事件对应的几何图形, 利用图形的几何度量来求随 机事件的概率,研究的区域是长方形 ABCD。 长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部部分的(半圆)面积为 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为

? 2,

? ? ÷ 2= 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 2 4,

1?

? 4

解题后的思考:利用几何图形来求随机事件的概率,是我们经常用到的方法。而将实际 问题向几何图形的转化是难点。 知识点六:古典概型的运用 ,, ,3} 例 6:设集合 A ? {1 2} B ? {1 2, ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ,确定平 面 上 的 一 个 点 P(a,b) , 记 “ 点 P(a,b) 落 在 直 线 x ? y?

n上 ” 为 事 件


Cn (2 ≤ n ≤ 5,n?N) ,若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为(

A. 3 B. 4 C. 2 和 5 D. 3 和 4 思路分析: 1)题意分析:考查古典概型的运用,同时还结合直线与集合进行综合运用。 2)解题思路:理解题意的关键是弄清楚事件 Cn 的所有基本事件数。 解题过程:
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事件 Cn 的总事件数为 6。只要求出当 n=2,3,4,5 时 的基本事件个数即可。 当 n=2 时,落在直线 x ? y ? 2 上的点为(1,1) ; 当 n=3 时,落在直线 x ? y ? 3 上的点为(1,2)(2,1) 、 ; 当 n=4 时,落在直线 x ? y ? 4 上的点为(1,3)(2,2) 、 ; 当 n=5 时,落在直线 x ? y ? 5 上的点为(2,3) ; 显然当 n=3,4 时,事件 Cn 的概率最大为

1 。 3

故答案选 D。 解题后的思考:古典概型是概率中的重点内容,也是学好概率的基础。因此要能准确的 理解概念并加以简单运用。 小结: 上面的几个知识点是常考的内容, 上面几个例题也是常见的题型。 需要我们能够很好的 理解,达到举一反三的效果。尤其是概率问题,也是高考中的一个热点,所占分值较大的一 个知识点,我们尤其要多加练习。

概率与统计都是新课标课程中的重要组成部分, 在考查时注重的是基本概念的简单理解 和运用。以中等试题居多,基本上不和别的知识点综合,属于单一知识点考查,只不过有时 背景的变化会多一些,只要我们能理解题目考查的是哪方面的内容就可以了。立足基础,是 我们学习的目标。

一、预习新知
请同学们复习第 1、2、3 章的内容,总结主要的知识点和题型。

二、预习点拨
探究与反思: 探究任务一:算法与程序框图 【反思】 (1)算法的定义和三种逻辑结构是什么? (2)四种算法案例怎么运算呢? 探究任务二:统计 【反思】 (1)三种抽样方法和用样本估计总体的主要知识点是什么? (2)线性回归方程如何求解? 探究任务三:概率的概念和性质以及概率模型 【反思】 (1)概率与频率的关系?概率的性质是什么? (2)两个概率模型是什么?各自的特点和公式分别是什么?

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(答题时间:60 分钟)
一、选择题 1. 某工厂对一批产品进行了抽样检测。下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克) 数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) , [98,100) ,[100,102) ,[102,104) ,[104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数 是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( ) 。

A. 90 个 2. 在区间 [ ?

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( ) 。 2 2 2 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 2 3 ? 5 ?1 3. 设矩形的长为 a ,宽为 b ,其比满足 b ∶ a = ? 0.618 ,这种矩形给人以美感, 2
称为黄金矩形。 黄金矩形常应用于工艺品设计中。 下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初 加工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论是 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 4. 某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工 人数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样的方法进行调查,在抽取的样本中有青 年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 A. 9 人 B. 18 人 C. 27 人 D. 36 人 5. 一个容量为 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别

? ?

B. 75 个

C. 60 个

D. 45 个

(0,10]

(10,20]

(20,30]

(30,40]
15

(40,50]
16

(50,60]
13

(60,70]
7

频数 12 13 24 则样本数据落在 (10,40] 上的频率为

A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64 6. 在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群

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体感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人” 。根据过去 10 天甲、乙、丙、 丁四地新增疑似病例的数据,一定符合该标志的是 A. 甲地:总体均值为 3,中位数为 4 B. 乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 C. 丙地:中位数为 2,众数为 3 D. 丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 二、填空题 7. 某单位 200 名职工的年龄分布情况如下图,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽 样法, 将全体职工随机按 1-200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1-5 号, 6-10 号, ?, 196-200 号) 。若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 。若用分层抽样 的方法,则 40 岁以下年龄段应抽取 人。

8. 从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成 三角形的概率是________。 9. 现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次 随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 。 三、解答题 10. 随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高数 据的茎叶图如下图。

(1)根据茎叶图判断哪个班学生的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3) 现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学, 求身高为 176cm 的同学被抽中的概率。 11. 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的 产量如下表(单位:辆) : 轿车 A 舒适型 标准型 100 轿车 B 150 轿车 C z

300 450 600 按类型以分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆。

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(1)求 z 的值; (2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2。把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数, 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。

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1. A 【解析】产品净重小于 100 克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产 品净重小于 100 克的个数是 36 个,设样本容量为 n , 则

36 ? 0.300 ,所以 n ? 120 ,净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的概率为 n

(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产 品的个数是 120×0.75=90 个。故选 A。 2. A 【解析】在区间 [ ? 介于 0 到

? ?

1 ? ? ? ? ? 之间,需使 ? ? x ? ? 或 ? x ? ,区间长度为 ,由几何概型知 cos x 2 2 3 3 2 3

, ] 上随机取一个数 x,即 x ? [ ? , ] 时,要使 cos x 的值 2 2 2 2

? ?

?

的值介于 0 到

1 1 之间的概率为 3 ? 。故选 A。 2 ? 3

3. A 【解析】甲批次的平均数为 0.617,乙批次的平均数为 0.613。 4. B 【解析】由比例可得该单位老年职工共有 90 人,用分层抽样的比例应抽取 18 人。 5. C 【解析】由题意可知频数在 ?10,40? 上的有:13+24+15=52,由频率=频数÷总 数可得 0.52.故选 C。 6. D 【解析】根据信息可知,连续 10 天内,每天的新增疑似病例不能有超过 7 的数, 选项 A 中,中位数为 4,可能存在大于 7 的数;同理,在选项 C 中也有可能;选项 B 中的 总体方差大于 0,叙述不明确,如果数目太大,也有可能存在大于 7 的数;选项 D 中,根据 方差公式,如果有大于 7 的数存在,那么总体方差不会为 3,故答案选 D。 7. 37,20 【解析】由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,所以 第 6 组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37。 40 岁以下年龄段的职工数为 200 ? 0.5 ? 100 , 则应抽取的人数为

40 ?100 ? 20(人) 。 200

8. 0.75 【解析】依据四条边长任意取三条,共有 4 种情况,同时可得满足条件的三角形 有三种情况:2、3、4 或 3、4、5 或 2、4、5,故 P ?

3 ? 0.75 。 4

9. 0.2 【解析】考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10, 它们的长度恰好相差 0.3m 的 事件数为 2,分别是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为 0.2。 10. 【解析】 (1)由茎叶图可知:甲班学生身高集中于 160~179cm 之间,而乙班学生身高 集中于 170~180cm 之间。因此乙班学生平均身高高于甲班学生;

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170? 10 2 2 2 2 2 ? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57
(2) x ? (3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件;
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? P ? A? ?

4 2 ? 10 5 50 10 ? ,所以 n=2000. z n 100 ? 300

11. 解: (1)设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得,

=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车, 因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个 容量为 5 的样本,所以

400 m ? ,解得 m=2,也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准 1000 5

型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1,B1)(S1, , B2)(S1,B3) 2,B1)(S2,B2)(S2,B3)(S1,S2)(B1,B2)(B2,B3)(B1,B3) , (S , , , , , , 共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个即: 1,B1)(S1,B2)(S1,B3) (S , , (S2,B1)(S2,B2)(S2,B3)(S1,S2) , , , ,所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的 概率为

7 。 10 1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 , 8 6 ? 0.75 。 8

(3)样本的平均数为 x ?

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0 这 6 个 数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为

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高一数学必修3《概率》公式总结以及例题

A? ? m n 说明:① 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,...到的是次品的概率为 ,抽到的 2 次中,正品、次品各一次的概率3 9 则 ...


必修3概率与统计复习导学(理)

必修3概率与统计复习导学(理)_数学_高中教育_教育专区。概率与统计复习导学一、...9.8 其中产量比较稳定的小麦品种是 2. (2005 江苏 7)在一次歌手大奖赛上,...

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