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【赢在课堂】高中数学 1.2 充分条件与必要条件检测试题 新人教A版选修1-1


1.2

充分条件与必要条件

一、选择题 2 1.设命题甲:ax +2ax+1>0 的解集是实数集 R,命题乙:0<a<1,则命题甲是命 题乙成立的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 2 解析:若 ax +2ax+1>0 的解集为 R, 则 a=0 或即 a=0 或 ∴0≤a<1. 因此乙? 甲,但甲 乙, 命题甲是命题乙成立的必要不充分条件. 2.已知 α ,β 是不同的两个平面,直线 a? α ,直线 b? β .命题 p:a 与 b 无公共点;命题 q:α ∥β , 则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:

如图,正方体中的 a,b 无公共点,但 α ,β 相交.反之,显然 α ∥β ? a 与 b 无公共点. 2 3.函数 f(x)=x -2ax+1 在(-∞,2]上是单调减函数的必要不充分条件是( ) A.a≥2 B.a≥3 C.a≥0 D.a=6 答案:C 2 解析:f(x)=x -2ax+1 在(-∞,2]上递减的充要条件是 a≥2,则判断 a≥0 满足条件. 4.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b<”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:D 解析:当 0<ab<1,a<0,b<0 时,有 b>;反过来,b<,当 a<0 时,有 ab>1. ∴“0<ab<1”是“b<”的既不充分也不必 要条件.故选 D. 5.a,b 为非零向量.“a⊥b”是“函数 f(x) =(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 2 2 2 解析:函数 f(x)=x a·b+(b -a )x-a·b 为一次函数,则即 a⊥b 且|a|≠|b|. 因此“a⊥b”是“f(x)是一次函数”的必要不充分条件. 二、填空题 2 6.若集合 A={1 ,m },B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的 条件. 答案:充分不必要 2 解析:当 A∩B={4}时,m =4,∴m=± 2. ∴“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.

1

7.设 n∈N ,一元二次方程 x -4x+n=0 有整数根的充要条件是 n= . 答案:3 或 4 解析:∵方程有实数根,∴Δ =16-4n≥0.∴n≤4. 原方程的根 x==2±为整数, 则为整数. * 又∵n∈N ,∴n=3 或 4. 2 2 反过来,当 n=3 时,方程 x -4x+3=0 的两根分别为 1,3,是整数;当 n=4 时, 方程 x -4x+4=0 的两根 相等且为 2,是整数. 8.已知 a,b 为两个非零向量,有以下命题: 2 2 2 ①a =b ;②a·b=b ;③|a|=|b|且 a∥b.其中可以作为 a=b 的必要不充分条件的命题是 .(将 所有正确命题的序号填在题中横线上) 答案:①②③ 解析:显然 a=b 时,①②③均成立,即必要性成立. 2 2 当 a =b 时,(a+b)·(a-b)=0,不一定有 a=b; 2 当 a·b=b 时,b·(a-b)=0,不一定有 a=b; 当|a|=|b|且 a∥b 时,a=b 或 a=-b,即①②③ 都不能推出 a=b. 三、解答题 9.在下列各题中,判断 A 是 B 的什么条件,并说明理由. 2 (1)A:|p|≥2,p∈R,B:方程 x +px+p+3=0 有实根; 2 2 2 2 2 2 2 (2)A:圆 x +y =r 与直线 ax+by+c=0 相切,B:c =(a +b )r (其 中 r>0). 2 2 解:(1)当|p|≥2 时,例如 p=3,则方程 x +3x+6=0 无实根,而方程 x +px+p+3=0 有实根,必有 p≤-2 或 p≥6,可推出|p|≥2,故 A 是 B 的必要不充分条件. 2 2 2 (2)若圆 x +y =r 与直线 ax+by+c=0 相切,则圆心到直线 ax+by+c=0 的距离等于 r,即 r=,所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c =(a +b )r ;反过来,若 c =(a +b )r ,则=r 成立,说明圆 x +y =r 与直线 ax+by+c=0 相切,故 A 是 B 的 充要条件. 2 2 10.求使关于 x 的方程 x -2mx+m -m-2=0 的两根都大于 2 的充要条件. 2 2 解:设关于 x 的方程 x -2mx+m -m-2= 0 的两根为 x1,x2,依题意,得 不等式组等价于 即 解得 ∴m>. 2 2 即关于 x 的方程x -2mx+m -m- 2=0 的两根都大于 2 的充要条件为.

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