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青海省平安县第一高级中学2015-2016学年高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点导学案 新人教A版必修1


3.1.1 方程的根与函数的零点
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课前预习 · 预习案 【温馨寄语】 高尚的理想是人生的指路明灯。有了它,生活就有了方向;有了它,内心就感到充实。迈开 坚定的步伐,走向既定的目标吧! 【学习目标】 1.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间. 2.掌握判

断函数零点的方法. 3.了解函数零点的概念,领会函数零点与相应方程的根的关系. 【学习重点】 通过用二分法求方程的近似解, 体会函数的零点与方程根之间的联系, 初步形成用函数观点 处理问题的意识 【学习难点】 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解 【自主学习】

1.一元二次方程 的图象的关系(

的根与二次函数 以为例):

1

请观察所给的三个二次函数的图象,完成下表: 图(1) 二次函数图象与 轴交点的 个数 方程 数根的个数 二次函数 零点的 个数 方程 判别式 , 方程 根 的 __________ ___________ 无实根 的 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 实 ___________ ___________ 0 2 图(2) 1 图(3) 0

2.函数的零点

对于函数 的零点.

把使

的实数

叫做函数

3.方程的根、函数的零点、函数图象之间的关系

方程 有

有实根

函数 .

的图象与 轴有

函数

4.函数零点的判断 (1)条件:

函数



上,

①图象是

的一条曲线.
2



0.

(2)结论:

在区间 得 【预习评价】

内有 .

,即存在

使

1.函数

的零点是

A.1

B.2

C.4

D.-2

2.函数

的零点个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

3.函数

的零点所在的区间是

A.(1,2)

B.(-1,-2)

C.(0,1)

D.(-1,0)

4.函数

的零点为

.

5.已知函数 有

的图象与 轴有三个不同的交点,则函数 个零点.

6.已知函数

在区间(2,5)上是减函数,且图象是一条连续不断的曲线 ,则函数 在区间(2,5)上零点的个数是 .

知识拓展 · 探究案 【合作探究】 1.函数的零点 结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数), 思考是否所有的函数都有零点?并说明理由.

3

2.函数零点的判断

根据函数零点的判断依据,若函数 且 那么函数在区间

在区间

上的图象是连续不断的一条曲线,

内存在零点.探究以下问题:

(1)若

那么函数

在区间

内一定没有零点吗?

(2)若函数 区间

在区间 内有零点一定有

上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数 吗?



(3)若函数

在区间 .那么函数

上的图象不是连续不断的一条曲线,满足 在区间 内有唯一零点的条件是什么?

【教师点拨】 1.对函数零点的两点说明 (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.

(2)由于函数

的零点就是方程

的实根,因此判断函数

是否有零点,有几

个零点,就是判断方程

是否有实根,有几个实根.

2.对函数零点判断的两点说明

(1)当函数

同时满足:

①函数的图象在闭区间

上是连续曲线;

4



则可以判断函数

在区间

内至少有一个零点.

(2)当函数 函数在区间

的图象在闭区间

上不是连续曲线或不满足

时,

内可能存在零点,也可能不存在零点.

【交流展示】

1.函数 A.2;2

的图象与 轴的交点坐标及其零点分别是 B.(2,0);2 C.-2;-2 D.(-2,0);-2

2.函数 A.±3

的零点是 B.(3,0)和(-3,0) C.3 D.-3

3.若函数

在区间

上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法正确的是

A.若

,则不存在实数

使得

B.若

,则存在且只存在一个实数

使得

C.若

,则有可能存在实数

使得

D.若

,则有可能不存在实数

使得

4.设函数

的零点为

,则

所在区间是

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

5.函数 范围是

的一个零点比 1 大,另一个零点比 1 小,则实数 的限值 .

5

6.已知关于 的一元二次方程 在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求

有两个不相等的实数根,其中一根 的取值范围.

【学习小结】 1.求函数零点的两种方法

(1)代数法:求相应方程

的实数根.

(2)几何法:对于方程 过将方程的根转化为函数

的根不易求解时,或者只探究函数零点的个数问题,可以通 的图象与 轴交点的横坐标问题.

2.判断函数存在零点的三种方法

(1)方程法:若方程 存在零点或判断零点的个数.

的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否

(2)图象法:由



在同一坐标系内作出



的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.

(3)定理法:函数

的图象在区间

上是一条连续不断的曲线,由

即可判断函数 上是单调函数,则函数

在区间 在区间

内至少有一个零点.若函数 内只有一个零点.

在区间

【当堂检测】

6

1.若函数

有一个零点为 2,那么函数

的零点是

A.

B.

C.0,2

D.

2.函数 A.(-2,-1)

有零点的区间是 B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)

3.函数

的零点的个数是

.

4.函数

的两个零点是 2 和 3,求函数

的零点.

5.若函数

没有零点,求实数 取值范围.

3.1.1 方程的根与函数的零点

详细答案 课前预习 · 预习案
7

【自主学习】 1.2 个不等实根 2 个等根 2 1 0,

Δ =0 Δ <0

2.x 3.交点 零点 4.(1)①连续不断 ②< (2)零点

f(c)=0

【预习评价】 1.B 2.A 3.D 4.1,-2,3 5.3 6.1 知识拓展 · 探究案 【合作探究】 1. 不一定.因为函数的零点就是方程的根,但不是所有的方程都有根,所以说不是所有的函数 都有零点.如: 指数函数,其图象都在 x 轴的上方,与 x 轴没有交点,故指数函数没有零点; 对 数函数有唯一一个零点. 2.(1)不一定.如 y=x -1 在区间(-2,2)上有两个零点,但 f(2)·f(-2)>0. (2)不一定.可能有 f(a)·f(b)≥0. (3)函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调. 【交流展示】
8
2

1.B 2.A 3.C 4.B 5.

6.m 的取值范围为

【当堂检测】 1.A 2.C 3.2 【解析】由 y=1nx:与 的图象如图,可知有两个交点.

4.由题意知方程 x -ax-b=0 的两根分别为 2 和 3,所以 a=5,b=-6,所以 g(x)=-6x -5x-1.由-6x -5x-1=0,得
2

2

2



.

所以函数 g(x)的零点是



.

5.由题意令

,函数

的图象如图.

9

函数 f(x)没有零点,即直线 y=a 与函数 此时 a<0.故 a 的取值范围为(-∞,0).

的图象没有交点,观察图象可知,

10


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