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高中数学(人教A版)选修2-3同步课堂课件:1-2 排列与组合8


第一章 计数原理 1.2 排列与组合 第八课时 排列组合的综合应用(二) 课 时 学 案 题型一 例1 内. (1)共有多少种做法? 较复杂的排列组合问题 有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒 (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放 2 个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒子不放球,有多少种放法? 解析 (1)一个球一个球的放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立的放法,由分步乘法计数原理知,放法共有 44=256(种). (2)为保证“恰有一个盒子不放球”, 先从四个盒子中任意拿 出去 1 个,即将 4 个球分成 2,1,1 的三组,有 C2 4种分法;然后再 从三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,全排列 即可.由分步乘法计数原理知,共有放法 2 1 2 C1 · C C3· A2=144(种). 4 4· (3)“恰有一个盒子内放 2 个球”, 即另外的三个盒子放 2 个 球, 每个盒子至多放 1 个球, 即另外三个盒子中恰有一个空盒. 因 此,“恰有一个盒子放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回 事.故也有 144 种放法. 2 (4)先从四个盒子中任取两个有 C4 种, 问题转化为: “4 个球, 两个盒子,每盒必放球,有几种放法?”从放球数目看,可分为 (3,1),(2,2)两类.第一类:可从 4 个球中先选 3 个,然后放入指 1 2 定的一个盒子中即可,有 C3 · C 种放法;第二类:有 C 4 2 4种放法.因 2 此共有 C3 C1 4· 2+C4=14(种).由分步乘法计数原理得“恰有两个盒 子不放球”的放法有 C2 14=84(种). 4· 探究 1 解排列组合问题的“16 字方针”是:有序排列、无 序组合;分类为加,分步为乘. 思考题 1 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班, 每 天安排 1 人,每人值班 1 天.若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两 天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方 案共有( ) B.960 种 D.1 108 种 A.504 种 C.1 008 种 解析 依题意,满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方 2 6 法共有 A2 A6=1 440 种,其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两 2 4 天且丙在 10 月 1 日值班的方法共有 C1 5A2A4=240 种;满足甲、 2 乙两人值班安排在相邻两天且丁在 10 月 7 日值班的方法有 C1 A 5 2 4 A4 =240 种;满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在 10 月 1 2 3 日值班、丁在 10 月 7 日值班的方法共有 C1 4A2A3=48 种,因此满 足题意的方法共有 1 440-2×240+48=1 008 种,选 C. 答案 C 题型二 分组问题 例2 六本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? (1)一堆一本,一堆两本,一堆三本; (2)甲得一本,乙得两本,丙得三本; (3)一人得一本,一人得二本,一人得三本; (4)平均分给甲、乙、丙三人,每人两本; (5)平均分成三堆,每堆两本. 解析 (1)先在六本书中任取一本, 作为一堆, 有 C1 6种取法; 再从余下的五本书中任取两本,作为一堆,有 C2 5种取法;最后从 1 2 3 余下的 3 本中取 3 本,作为一堆,有 C3 C5· C3 3种取法,故共有 C6· =60 种.

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