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圆锥曲线知识点总结(基础)


圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a (大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 的焦点,两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF1 | ? | MF2 |? 2a 。 椭圆的标准方程为: 上) 。 注:①以上方程中 a, b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 b ? a ? c ;
2 2 2

x2 y 2 y2 x2 (焦点在 x 轴上)或 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) (焦点在 y 轴 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b a b

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1和 2 ? 2 ? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置,只要看 x 2 和 y 2 的分 a2 b a b 2 2 x y 母的大小。例如椭圆 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )当 m ? n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时 m n 表示焦点在 y 轴上的椭圆。
②在 (2)椭圆的性质

x2 y 2 ? ? 1知 | x |? a ,| y |? b ,说明椭圆位于直线 x ? ?a , y ? ?b 所围成的矩形里; a 2 b2 ②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点 ( x, ? y) 也在曲线上, 所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y
①范围:由标准方程 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心 叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令

x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ?a ,即 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长 半轴长和短半轴长。 | | | 由椭圆的对称性知: 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ; Rt ?OB2 F2 中, OB2 |? b , OF2 |? c , B2 F2 |? a , 在 且 | OF2 | ?| B2 F2 | ? | OB2 | ,即 c ? a ? b ;
2 2 2

2

2

2

c 叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 , c 就 a 越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时 2 2 2 椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ? 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线( || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ) 。 注 意 : ① 式 中 是 差 的 绝 对 值 , 在 0 ? 2a ?| F1 F2 | 条 件 下 ; | PF1 | ? | PF2 |? 2a 时 为 双 曲 线 的 一 支 ;

| PF2 | ? | PF1 |? 2a 时为双曲线的另一支(含 F1 的一支) ;②当 2a ?| F1 F2 | 时, || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 表示两条射
线;③当 2a ?| F1 F2 | 时,|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a 不表示任何图形;④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点,| F1 F2 | 叫做 焦距。

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第 1 页

椭圆和双曲线比较: 椭 定义 方程
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b


x2 y2 ? 2 ?1 2 b a


x2 y2 ? ?1 a 2 b2



线
y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)

F (?c, 0) F (0, ?c) 焦点 注意:如何用方程确定焦点的位置! (2)双曲线的性质
①范围:从标准方程

F (?c, 0)

F (0, ?c)

x2 y2 ? ? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线 x ? ?a 的外侧。即 a2 b2 x 2 ? a 2 , x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ?a 的外侧。 x2 y2 ②对称性:双曲线 2 ? 2 ? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点 a b 2 2 x y 是双曲线 2 ? 2 ? 1 的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a b x2 y2 ③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 2 ? 2 ? 1 的方程里,对称轴是 x, y 轴,所 a b x2 y2 以令 y ? 0 得 x ? ?a ,因此双曲线和 x 轴有两个交点 A (?a,0) A2 (a,0) ,他们是双曲线 2 ? 2 ? 1 的顶点。 a b 令 x ? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。
1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点) ,双曲线的顶点分别是实轴的两个 端点。 2)实轴:线段 A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段 B B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从 图上看,双曲线

x2 y2 ? ? 1 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。 a2 b2

⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a ? b ; 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其 他几个亦成立。 3) 注意到等轴双曲线的特征 a ? b , 则等轴双曲线可以设为:x ? y ? ? (? ? 0) , ? ? 0 时交点在 x 轴, 当 当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上。
2 2

⑥注意

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 与 ? ? 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a, b 不同(互换) c 相同,还有焦点所在的坐标 16 9 9 16

轴也变了。 3.抛物线 (1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做 抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 方程 y ? 2 px
2

? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程。
p p ,0) ,它的准线方程是 x ? ? ; 2 2

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F(

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(2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其 他几种形式: y ? ?2 px , x ? 2 py , x ? ?2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如
2 2 2

下表: 标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x 2 ? 2 py ( p ? 0) y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

l
图形

y

y
l

o F
p ( , 0) 2 p x?? 2 x?0 x轴 (0, 0) e ?1

x

F o
p , 0) 2 p x? 2 x?0 x轴 (0, 0) e ?1

x

l

F o

x

焦点坐标 准线方程 范围 对称性

(?

顶点 离心率 说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶 点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3)注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线 的距离。

p (0, ) 2 p y?? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

p (0, ? ) 2 p y? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

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