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甘肃省兰州一中2008年高三诊断考试试题(理科)


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甘肃省兰州一中 2008 年高三诊断考试

数学试题(理科)
本试卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B),如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) http://www.mathedu.cn 欢迎光临! 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次
k 的概率 Pn ( k ) = C n P k (1 ? P ) n ? k http://www.mathedu.cn 欢迎光临!

球的表面积公 S = 4πR 2 ,R 表示球的半径。球的体积公式 球的半径

4 V球 = πR 3 其中 R 表示 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共计 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A = {x || x |≤ 1}, B = {x | x 2 ? 2 x < 0}, 则A I B = A. (0,2) B.[-1,1] C. (0,1 ] D.[-1,2 ) ( )

2.将函数 y = sin 2 x的图象按向量 a = (

π
2

,2) 平移后得到的图象对应的函数解析式是
( )

A. y = cos 2 x + 2 C. y = sin 2 x + 2

B. y = ? cos 2 x + 2 D. y = ? sin 2 x + 2

3.已知 a、b、c、d 成等比数列,且抛物线 y = x 2 + x ? 1 的顶点坐标为(b,c) ,则 a·d 等 于 ( )

5 A. 8

5 B.- 8

7 C. 4

7 D.- 4

4.已知二面角 α ? l ? β 的大小为 30°,m,n 为异面直线,且 m⊥ α ,n⊥ β ,则 m,n 所 成的角为 A.120° 5.若 a、b ∈ R, 命题p : ( B.90° C.60° D.30° ( ) )

1 1 > , 命题q : a < b < 0 ,则命题 p 是命题 q 成立的 a b
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

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6.若平面内共线的 A、B、P 三点满足条件, OP = a1 OA + a 4015 OB, 其中{a n } 为等差数列, 则 a2008 等于 A.1
4

( B.-1
2



C.

1 2

D.-

1 2

7.已知曲线 f ( x) = x + ax + bx, 且f ′(0) = ?13, f ′( ?1) = ?27, 则曲线在x = 1 处切线的 倾斜角为 A. ( B.- )

π
6

π
6

C.

π
3

D.

π
4

x2 8.双曲线 ? y 2 = 1的两个焦点为F1 , F2 ,点 M 在双曲线上,△F1MF2 的面积为 3 ,则 4

MF1 ? MF2 等于
A.2 9.已知 (3 y + B.-2 C. 3 D.- 3





1
3

x

2

) 6 的展开式中第 4 项的值是 20,则 y 关于 x 的函数图象大致是(



y2 y2 10. 已知点 P 是以 F1、 2 为焦点的椭圆 2 + 2 = 1(a > 0, b > 0), 上一点, 若 PF1 ? PF2 = 0, F a b
tan ∠PF1 F2 =

1 , 则椭圆的离心率是 2
B.





A.

1 3

1 2

C.

2 3

D.

5 3


11.由数字 2,3,4,5,6 所组成的没有重复数字的四位数中 5,6 相邻的奇数共有( A.10 个 B.14 个 C.16 个 D.18 个

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2 2

12.如图所示,在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD = 0, 且4 | AB | +2 | BD | = 1, 沿 BD 折 成直二面角 A—BD—C,则三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积是 A. ( )

2 π 24

B.

1 π 48

C.

π
4

D.

π
2
(非选择题,共 90 分)

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共计 20 分。把答案填写在题中的横线上) 13.已知复数 z1 = 1 + 2i, z 2 = a ? i, 若z1 ? z 2 是实数,则实 a 的值为 14 . 设 a > 0, a ≠ 1, 函数f ( x) = a 为 。
( x 2 + x +1)



有 最 小 值 , 则 不 等 式 log a ( x ? 1) > 0 的 解 集

? x2 + x ? 2 ,x ≠1 ? 15.已知函数 f ( x ) = ? x ? 1 , 若f ( x)在R 上连续,则 a= ?a ,x =1 ? lim (
n →∞

,此时

an ? 1 2a + )= n 3n



16.定义在 R 上的函数 f ( x )满足f ( x + 2) = 3 f ( x ), 当x ∈ [0,2]时, f ( x) = x 2 ? 2 x, 则

x ∈ [ ?4,?2] 时, f (x ) 的最小值是



三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知向量 a = (sin x,?1), b = (cos x, ) . (1)当 a // b时, 求 cos x ? 3 sin 2 x 的值。
2

3 2

(2)求 f ( x) = (a + b) ? b 的最小正周期和单调递增区间。

18. (12 分)甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率是

1 ,乙每次击中目标的 2

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概率是 . (1)求甲至多击中 2 次,且乙至少击中 2 次的概率; (2)若规定每击中一次得 3 分,未击中得-1,求乙所得分数 ξ 的概率和数学期望。

2 3

19. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,点 D 是 AB 的 中点。 (1)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (2)求证:AC1//平面 CDB1; (3)求直线 B1B 和平面 CDB1 所成角的大小。

20. (12 分)正项数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn,且 2 S n = a n + 1. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn =

1 1 , 数列{bn }的前n项和为 Tn , 求证 : Tn < . a n ? a n +1 2

21. (12 分)设函数 f ( x ) = ax 3 +

3 ( 2a ? 1) x 2 ? 6 x ( a ∈ R ) 2

(1)当 a = 1 时,求曲线 y = f ( x)在点(?1, f (?1)) 处的切线方程; (2)当 a =

1 时,求 f (x ) 的极大值和极小值; 3

(3)若函数 f (x ) 在区间 ( ?∞,?3) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

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22. (12 分)设点 F (0, ), 动圆 P 经过点 F 且和直线 y = ? 为曲线 W。 (1)求曲线 W 的方程;

3 2

3 相切,记动圆的圆心 P 的轨迹 2

(2)过点 F 作互相垂直的直线 l1 ,l 2 ,分别交曲线 W 于 A,B 和 C,D。求四边形 ABCD 面积的最小值。 (3)分别在 A、B 两点作曲线 W 的切线,这两条切线的交点记为 Q。 求证:QA⊥QB,且点 Q 在某一定直线上。

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甘肃省兰州一中 2008 年高三诊断考试

数学试题(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共计 60 分。 ) 1—9 CDADB CDAB 10.D(简析:由 PF1 ? PF2 = 0 ? PF1 ⊥ PF2 ? ?PF1 F2 为直角三角形,设 | PF2 | =m,则 由 tan ∠PF1 F2 =

1 ?| PF1 |= 2m ?| F1 F2 | = 5m 2

∴e =

| F1 F2 | c 5 ) = = a | PF1 | + | PF2 | 3

2 11.B(简析:分两类。若末位数字为 5,则倒数第二位为 6,前两位数字排法有 A3 = 6 种;

2 若末位数字为 3,将 5,6 视为一个元素,排法有 2× A2 ×2=8 种,故 5,6 相邻的奇数的

个数共有 6+8=14 个) 12.D(简析:根据题意可知折叠后的三棱锥如 图所示。易知 AC 的中点即为外接球的球心 (放在长方体中可证) 。又易知

2 | AB | 2 + | BD | 2 =

1 1 2 2 , 即AC 2 = , AC = , 即r球 = , 从而 2 2 2 4

s球 = 4π ? (

2 2 π ) = ) 4 2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.

1 2

14. { x | x > 2}

15. 3;3

16. ?

1 1 1 (解析:由题知, f ( x ) = f ( x + 2) = f ( x + 4), 设x ∈ [?4,?2] , 9 3 9

∴ x + 4 ∈ [0,2] ∴ f ( x + 4) = ( x + 4) ? 2( x + 4) = x 2 + 6 x + 8, f ( x) = 其对称轴 x = ?3 在区间[-4,-2],又开口向上, ∴ f ( x ) min = f ( ?3) =

1 1 f ( x + 4) = ( x 2 + 6 x + 8) , 9 9

1 1 [(?3) 2 + 6( ?3) + 8] = ? ) ) 9 9

三、解答题(本题共 6 个小题,共计 70 分。 )
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17.解: (1) a // b,

3 sin x + cos x = 0 …………………………………………(2 分) 2 2 ∴ tan x = ? …………………………………………(3 分) 3


cos 2 x ? 3 sin 2 x =

cos 2 x ? 6 sin x cos x 1 ? 6 tan x = sin 2 x + cos 2 x 1 + tan 2 x

2 1 ? 6 × (? ) 3 = 1 + 4 = 5 = 45 ………………(5 分) = 2 4 13 13 1 + (? ) 2 1+ 3 9 9 3 (2)∵ a = (sin x,?1), b = (cos x, ) 2 1 ∴ a + b = (sin x + cos x, ) ……………………(6 分) 2 3 f ( x) = (a + b) ? b = (sin x + cos x) cos x + 4 1 5 = (sin 2 x + cos 2 x) + 2 4
= 2 π 5 sin( 2 x + ) + ………………(8 分) 2 4 4

最小正周期为 π ……………………(9 分) 由 2kπ ?

π

2

≤ 2x +

π

2

≤ 2kπ +

π

得 kπ ? π ≤ x ≤ kπ +

3 8

π
8

2

故 f (x ) 的单调递增区间为 [ kπ ? π , kπ + 18.解: (1)甲至多击中 2 次的概率

3 8

π
8

]k ∈ Z …………(10 分)

1 1 1 1 1 3 3 7 1 1 P ( A) = ( ) 3 + C 3 ( )1 ( ) 2 + C 32 ( ) 2 ? = + + = …………(2 分) 2 2 2 2 2 8 8 8 8
乙至少击中 2 次的概率

2 1 2 4 8 20 …………(4 分) P ( B ) = C 32 ( ) 2 ? + ( ) 3 = 3 × + = 3 3 3 27 27 27
∴甲至多击中 2 次且乙至少击中 2 次的概率为

P ( A) ? P ( B ) =

7 20 35 ……………………(6 分) × = 8 27 34

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(2) ξ = ?3,1,5,9

1 1 ……………………(7 分) P (ξ = ?3) = ( ) 3 = 3 27 6 1 2 1 ……………………(8 分) P (ξ = 1) = C 3 ( ) 2 = 3 3 27 2 1 12 ……………………(9 分) P (ξ = 5) = C 32 ( ) 2 ( ) = 3 3 27 2 8 ……………………(10 分) P (ξ = 9) = ( ) 3 = 3 27 1 3 12 8 135 ∴ Eξ = ( ?3) × + 1× + 5× + 9× = = 5 ………………(12 分) 27 27 27 27 27
19.解法一: (1)证明:∵ABC—A1B1C1 是直三棱柱, ∴平面 ABC⊥面 A1ABB1, ∵AC=BC,点 D 是 AB 的中点, ∴CD⊥AB, ∴CD⊥平面 A1ABB1………………(3 分) (2)证明:连结 BC1,设 BC1 与 B1C 的交点为 E, 连结 DE。 ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴DE//AC1……………………(5 分) ∵DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, ∴AC1//平面 CDB1…………………………(7 分) (3)解:由(1)CD⊥平面 A1ABB1, ∴平面 CDB1⊥平面 A1ABB1,且平面 CDB1 I 平面 A1ABB1=DB1, ∴直线 B1B 和平面 CDB1 所成的角就是 B1B 和 DB1 所成的角, 即∠BB1D 是直线 B1B 和平面 CDB1 所成的角 在 Rt△DBB1 中, ∵ tan BB1 D =

DB 2 = B1 B 2
2 ………………(12 分) 2

故,直线 B1B 和平面 CDB1 所成的角大小是 arctan

解法二 ∵在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC=CC1,AC⊥BC, ∵AC、BC、CC1 两两垂直 如图,以 C 为原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系,设 AC=BC=CC1=2,则 C(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B(0,2, 0) 1(0,0,2) 1(0,2,2) ,C ,B ,D(1,1,0) 。
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(1)证明:∵ CD = (1,1,0), AB = ( ?2,2,0), B 1 B = (0,0,?2) ∴ CD ? AB = 0, CD ? B1 B = 0, CD⊥AB,CD⊥B1B 又 AB I B1B=B, ∴CD⊥平面 A1ABB1……………………(3 分) (2)证明:设 BC1 与 B1C 的交点为 E, 则 E(0,1,1, ) ∵ DE = ( ?1,0,1), AC1 ( ?2,0,2) ∴ DE =

1 AC1 2

∴DE//AC1………………5 分 ∵DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1 ∴AC1//平面 CDB1…………………………(7 分) (3)解:由(1)CD⊥平面 A1ABB1, ∴平面 CDB1⊥平面 A1ABB1,且平面 CDB1 I 平面 A1ABB1=DB1, ∴直线 B1B 和平面 CDB1 所成的角就是 B1B 和 DB1 所成的角, 即∠BB1D 是直线 B1B 和平面 CDB1 所成的角………………(10 分) ∵ B1 D = (1,?1,?2) ∴ cos < B1 B, B 1 D >=

B1 B ? B1 D | B1 B | ? | B1 D |

=

6 3
6 ………………(12 分) 3

∴直线 B1B 和平面 CDB1 所成角的大小是 arccos (其它解法酌情给分) 20.解(1)∵ 2 S1 = a1 + 1, ∴ a1 =1……………………(2 分) ∵ a n > 0,2 S n = a n + 1, ∴ 4 S n = ( a n + 1)
2


2

∴ 4 S n ?1 = (a n ?1 + 1) ( n ≥ 2)
2


2

①—②,得 4a n = a n + 2a n ? a n ?1 ? 2a n ?1
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即 (a n + a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 2) = 0 ……………………(4 分) 而 a n > 0, ∴ a n ? a n ?1 = 2( n ≥ 2) ……………………(5 分) 故数列 {a n } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列。 ∴ a n = 2n ? 1 ……………………(6 分) (2) bn =

1 1 1 1 = ( ? ) ………………(8 分) (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1

Tn = b1 + b2 + L + bn
1 1 1 1 1 1 1 1 ) (1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n + 1 1 1 = (1 ? ) ……………………(10 分) 2 2n + 1 =


1 1 1 1 1 (1 ? )= ? < 2 2n + 1 2 2(2n + 1) 2

1 ……………………(12 分) 2 3 2 3 3 21.解: (1)当 a = 1时, f ( x ) = x + x ? 6 x, f ′( x ) = x + 3 x ? 6 …………(2 分) 2 13 k = f ′(?1) = 3 ? 3 ? 6 = ?6, f (?1) = , 2 13 ∴y? = ?6( x + 1) 2
∴ Tn < 即 12 x + 2 y ? 1 = 0 为所求切线方程。………………(4 分) (2)当 a =

1 1 1 时, f ( x ) = x 3 ? x 2 ? 6 x, f ′( x ) = x 2 ? x ? 6 3 3 2

令 f ′( x) = 0得x = ?2或x = 3 ………………(6 分) ∴ f ( x)在(?∞,?2)递增, 在(?2,3) 递减,在(3,+ ∞ )递增 ∴ f (x ) 的极大值为 f (?2) =

22 27 …………(8 分) , f ( x )的极小值为 f (3) = ? 3 2

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2 (3) f ′( x) = 3ax + 3( 2a ? 1) x ? 6 = 3( ax ? 1)( x + 2)

①若 a = 0, 则f ( x ) = ?

3 2 x ? 6 x, 此函数在(?∞,?2) 上单调递增。 2 1 a

∴满足要求。…………………………(10 分) ②若 a ≠ 0, 则令f ′( x ) = 0, 得x1 = ?2, x 2 =

∵ f ( x)在(?∞,?3)上是增函数,即x < ?3时, f ′( x) > 0 恒成立,

a > 0时, 则

1 > ?3 恒成立,即 a>0……………………(11 分) a

a<0 时,不合题意。 综上所述,实数 a 的取值范围是[0,+ ∞) ……………………(12 分) 22.解: (1)过点 P 作 PN 垂直于直线 y = ? 依题意得 | PF |=| PN | 直线 y = ? 所以动点 P 的轨迹是以 F (0, ) 为焦点, 即曲线 W 的方程是 x 2 = 6 y ………………(2 分) (2)依题意,直线 l1,l2 的斜率存在且不为 0, 设直线 l1 的方程为 y = kx + 由 l1⊥l2 得 l2 的方程为 = ? 将 y = kx +

3 于点 N 2

3 2

3 为准线的抛物线。 ………… 分) (1 2

3 2

1 3 x+ k 2

3 代入x 2 = 6 y, 化简得 2

x 2 ? 6kx ? 9 = 0 …………………………(3 分)
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则x1 + x 2 = 6k , x1 x 2 = ?9 ∴ | AB |=

( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2

= (1 + k 2 )[( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] = 6(k 2 + 1)
同理可得 | CD |= 6(

1 + 1) ……………………(5 分) k2 1 ∴四边形 ABCD 的面积 S = | AB | ? | CD | 2

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1 1 ) = 18( k 2 + 2 + 2) ≥ 72 k +1 k 1 当且仅当 k 2 = 2 , 即k = ±1时, S min = 72 k = 18( k 2 + 1)(
2

故四边形 ACBD 面积的最小值是 72。……………………(7 分) (3)由(1)知 W 的方程可化为 y = ∴ y′ =

1 2 x 6

1 x 3 1 1 x1 , QB的斜率为 x 2 3 3 1 1 1 1 = x1 ? x 2 = x1 ? x 2 = ? ( ?9) = ?1 3 3 9 9

∵QA 的斜率 k QA = ∴ k QA ? k QB

∴QA⊥QB…………………………(9 分)

1 1 1 x1 ( x ? x1 ), 即y = x1 x ? x12 3 3 6 1 1 1 2 QB 的方程为 y ? y 2 = x 2 ( x ? x 2 ), 即y = x 2 x ? x 2 3 3 6
QA 的方程为 y ? y1 =

? ?y = ? 解方程组 ? ?y = ? ?
即 Q(2k, ?

1 1 x1 x ? x12 x + x2 3 3 6 得交点Q ( 1 ,? ), 1 1 2 2 2 x2 x ? x2 3 6

3 )………………(11 分) 2 3 上………………(12 分) 2

当 k 取任何非零实数时,点 Q 总在定直线 y= ?

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甘肃省兰州一中2008年高三统一考试语文试题

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