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2016高考数学大一轮复习 5.3-5.4平面向量的数量积及其应用学案 理 苏教版


学案 26

平面向量的数量积及其应用

导学目标: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向 量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积 表示两个向量的夹角, 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简 单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简

单的力学问题与其他一些实际问题.

自主梳理 1.向量的夹角 → → (1)已知两个非零向量 a 和 b, 作OA=a, OB=b, 则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的________.

(2)向量夹角 θ 的范围是________________,a 与 b 同向时,夹角 θ =______;a 与 b 反向时,夹角 θ =______. (3)如果向量 a 与 b 的夹角是________,我们说 a 与 b 垂直,记作________. 2.向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义:______________________,其中|a|cos〈a,b〉叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)向量数量积的性质: ①如果 e 是单位向量,则 a?e=e?a=______________; ②非零向量 a,b,a⊥b?________; ③a?a=________或|a|=________; ④cos〈a,b〉=______________; ⑤|a?b|____|a||b|. 3.向量数量积的运算律 (1)交换律:a?b=________; (2)分配律:(a+b)?c=________________; (3)数乘向量结合律:(λ a)?b=a?(λ b)=____________=λ a?b. 4.向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a?b=____________; (2)设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a⊥b?____________; (3)设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则|a|=________________, cos〈a,b〉=_______________. → → (4)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=________________,所以|AB|=_____________. 自我检测 → → 1.(2010?湖南改编)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则AB?AC=________. 2. (2010?重庆改编)已知向量 a, b 满足 a?b=0, |a|=1, |b|=2, 则|2a-b|=________. 3.已知 a=(1,0),b=(1,1),(a+λ b)⊥b,则 λ =________. → → ? y? 4.平面上有三个点 A(-2,y),B?0, ?,C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨迹方程为 ? 2? ________________. → 1→ 2→ → → 5. (2009?天津)若等边△ABC 的边长为 2 3, 平面内一点 M 满足CM= CB+ CA, 则MA?MB 6 3 =________.
1

探究点一 向量的模及夹角问题 例 1 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ ;(2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积.

变式迁移 1 (1)已知 a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 c 满足(a-c)?(b -c)=0,则|c|的最大值为________. (2)已知 i,j 为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λ j,且 a 与 b 的夹角为锐角, 则实数 λ 的取值范围为________. 探究点二 两向量的平行与垂直问题 例 2 已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),且 ka+b 的长度是 a-kb 的 长度的 3倍(k>0). (1)求证:a+b 与 a-b 垂直; (2)用 k 表示 a?b; (3)求 a?b 的最小值以及此时 a 与 b 的夹角 θ .

变式迁移 2 (2009?江苏)设向量 a=(4cos α ,sin α ),b=(sin β ,4cos β ),c =(cos β ,-4sin β ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan α tan β =16,求证:a∥b.

探究点三 向量与三角函数的综合应用 3 3 ? ? 例 3 已知向量 a=?cos x,sin x?, 2 2 ? ? x x π π? ? ? ? b=?cos ,-sin ?,且 x∈?- , ?. 2 2? ? ? 3 4? (1)求 a?b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a?b-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值.

变式迁移 3 在三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 2sin 2C=1. (1)求角 C 的大小;

2

A+B
2

+cos

2

(2)若向量 m=(3a,b),向量 n=?a,- ?,m⊥n,(m+n)?(-m+n)=-16.求 a、b、 3? ? c 的值.

?

b?

1.一些常见的错误结论: 2 2 (1)若|a|=|b|,则 a=b;(2)若 a =b ,则 a=b;(3)若 a∥b,b∥c,则 a∥c;(4)若 a?b=0,则 a=0 或 b=0; (5)|a?b|=|a|?|b|;(6)(a?b)c=a(b?c);(7)若 a?b=a?c,则 b=c.以上结论 都是错误的,应用时要注意. 2.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有: →2 →2 → → (1)要证 AB=CD,可转化证明AB =CD 或|AB|=|CD|. → → (2)要证两线段 AB∥CD,只要证存在唯一实数 λ ≠0,使等式AB=λ CD成立即可. → → (3)要证两线段 AB⊥CD,只需证AB?CD=0.

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.已知非零向量 a,b,若|a|=|b|=1,且 a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数 k 的值为________. 15 → → 2. 已知△ABC 中, AB=a, AC=b, a?b<0, S△ABC= , |a|=3, |b|=5, 则∠BAC=________. 4 3.(2010?湖南改编)若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)?b=0,则 a 与 b 的夹 角为________. 4. (2010?英才苑高考预测)已知 a=(2,3), b=(-4,7), 则 a 在 b 上的投影为________. ?π ? 5.(2011?南京月考)设 a=(cos 2α ,sin α ),b=(1,2sin α -1),α ∈? ,π ?, ?2 ? 2 若 a?b= ,则 sin α =________. 5 6.(2010?广东金山中学高三第二次月考)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c⊥a,则向 量 a 与 b 的夹角为________. → → → → → → → → → 7.已知点 A、B、C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB?BC+BC?CA+CA?AB的值 是________. 3π 8 .已知向量 m = (1,1) ,向量 n 与向量 m 夹角为 ,且 m?n =- 1 ,则向量 n = 4 __________________. 二、解答题(共 42 分) → → → 9.(12 分)已知 O 为坐标原点且OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3),在线段 OC 上是否 → → 存在点 M,使MA⊥MB,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

3

?π ? ?π ? 10.(14 分)已知向量 a=(cos(-θ ),sin(-θ )),b=(cos? -θ ?,sin? -θ ?). ?2 ? ?2 ? (1)求证:a⊥b; 2 (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 x=a+(t +3)b,y=-ka+tb,满足 x⊥y,试求 k+t2 此时 的最小值.
t

? ? π? ? 11.(16 分)(2010?济南三模)已知 a=(1,2sin x),b=?2cos?x+ ?,1?,函数 f(x) 6? ? ? ? =a?b (x∈R). (1)求函数 f(x)的单调递减区间; π? 8 ? (2)若 f(x)= ,求 cos?2x- ?的值. 3? 5 ?

答案

自主梳理 (2)[0 , π ] 0 π
2

1 . (1) 夹角

(3)

π 2

a⊥b

2.(1)a?b = |a||b|cos 〈 a , b 〉

(2)①|a|cos 〈a, e〉 ②a?b=0 ③|a| + b?c (3)λ (a?b) 4.(1)a1b1 + a2b2

a?b a?a ④ ⑤≤ 3.(1)b?a (2)a?c |a||b| a1b1+a2b2 2 2 (2)a1b1 + a2b2 = 0 (3) a1+a2 2 2 2 a1+a2 b2 1+b2

(4)(x2-x1,y2-y1) 2 2 ?x2-x1? +?y2-y1? 自我检测 1.16 → → 解析 因为∠C=90°,所以AC?CB=0, → → → → → → 2 → → 所以AB?AC=(AC+CB)?AC=(AC) +AC?CB=16. 2.2 2 2 解析 |2a-b|= ?2a-b? 2 2 = 4a -4a?b+b = 8=2 2. 1 3.- 2 2 解析 由(a+λ b)?b=0 得 a?b+λ |b| =0, 1 ∴1+2λ =0,∴λ =- . 2 2 4.y =8x(x≠0) y? → ? 解析 由题意得AB=?2,- ?, 2? ? → → → → → ? y? BC=?x, ?,又AB⊥BC,∴AB?BC=0,

?

2?

即?2,- ???x, ?=0,化简得 y =8x(x≠0). 2? ? 2? ? 5.-2 解析 合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设 C(0,0),A(2 3,0),B( 3,
2

?

y? ?

y?

4

3),这样利用向量关系式,求得 1? → ? 3 5? ?3 3 1? → ? 3 → → M? , ?,然后求得MA=? ,- ?,MB=?- , ?,所以MA?MB=-2. 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 课堂活动区 例 1 解 (1)∵(2a-3b)(2a+b)=61, 2 2 ∴4|a| -4a?b-3|b| =61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a?b-27=61,∴a?b=-6. a?b -6 1 ∴cos θ = = =- . |a||b| 4?3 2 2π 又 0≤θ ≤π ,∴θ = . 3 (2)|a+b|= ?a+b? = |a| +2a?b+|b| = 16+2??-6?+9= 13. 2π → → (3)∵AB与BC的夹角 θ = , 3 2π π ∴∠ABC=π - = . 3 3 → → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3, 1 → → 1 3 ∴S△ABC= |AB||BC|sin∠ABC= ?4?3? =3 3. 2 2 2 1 变式迁移 1 (1) 2 (2)λ < 且 λ ≠-2 2 解析 (1)∵|a|=|b|=1,a?b=0, 2 展开(a-c)?(b-c)=0? |c| =c?(a+b) =|c|?|a+b|cos θ ,∴|c|=|a+b|cos θ = 2cos θ , ∴|c|的最大值是 2. π (2)∵〈a,b〉∈(0, ),∴a?b>0 且 a?b 不同向. 2 1 2 2 即|i| -2λ |j| >0,∴λ < . 2 当 a?b 同向时,由 a=λ b(λ >0)得 λ =-2. 1 ∴λ < 且 λ ≠-2. 2 例 2 解题导引 1.非零向量 a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0. 2.当向量 a 与 b 是非坐标形式时,要把 a、b 用已知的不共线的向量表示.但要注意运 算技巧,有时把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异. 解 (1)由题意得,|a|=|b|=1, 2 2 ∴(a+b)?(a-b)=a -b =0, ∴a+b 与 a-b 垂直. 2 2 2 2 2 (2)|ka+b| =k a +2ka?b+b =k +2ka?b+1, 2 2 ( 3|a-kb|) =3(1+k )-6ka?b. 2 2 由条件知,k +2ka?b+1=3(1+k )-6ka?b, 2 1+k 从而有,a?b= (k>0). 4k 2 1+k 1 1 1 (3)由(2)知 a?b= = (k+ )≥ , 4k 4 k 2 1 当 k= 时,等号成立,即 k=±1.∵k>0,∴k=1.
2 2 2

k

5

a?b 1 π 此时 cos θ = = ,而 θ ∈[0,π ],∴θ = . |a||b| 2 3 1 π 故 a?b 的最小值为 ,此时 θ = . 2 3 变式迁移 2 (1)解 因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a?(b-2c) =4cos α sin β -8cos α cos β +4sin α cos β +8sin α sin β =4sin(α +β )-8cos(α +β )=0. 因此 tan(α +β )=2. (2)解 由 b+c=(sin β +cos β ,4cos β -4sin β ), 2 2 得|b+c|= ?sin β +cos β ? +?4cos β -4sin β ? = 17-15sin 2β ≤4 2. π 又当 β =- 时,等号成立,所以|b+c|的最大值为 4 2. 4 4cos α sin α (3)证明 由 tan α tan β =16 得 = , sin β 4cos β 所以 a∥b. 例 3 解题导引 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点 题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式,向量模、夹角的坐标运 算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识. 3 x 3 x 解 (1)a?b=cos xcos -sin xsin =cos 2x, 2 2 2 2
|a+b|= 2 2? π π ? ? = 2+2cos 2x=2|cos x|,∵x∈?- , ?,∴cos x>0, ? 3 4? ∴|a+b|=2cos x. 2 (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos x-2cos x-1 1?2 3 1 ? ? π π? =2?cos x- ? - .∵x∈?- , ?,∴ ≤cos x≤1, 2? 2 2 ? ? 3 4? 1 3 ∴当 cos x= 时,f(x)取得最小值- ; 2 2 当 cos x=1 时,f(x)取得最大值-1. 2A+B 变式迁移 3 解 (1)∵2sin +cos 2C=1, 2 2A+B ∴cos 2C=1-2sin =cos(A+B)=-cos C. 2 2 ∴2cos C+cos C-1=0. 1 ∴cos C= 或-1. 2 π ∵C∈(0,π ),∴C= . 3 (2)∵m⊥n,∴3a - =0,即 b =9a . ① 3 又(m+n)?(-m+n)=-16, 8 2 b2 2 2 ∴-8a - b =-16,即 a + =2.② 9 9 2 2 由①②可得 a =1,b =9,∴a=1,b=3. 2 2 2 又 c =a +b -2abcos C=7,∴c= 7. 课后练习区
6
2

?cos 3x+cos ? 2 ?

x?2 ? 3 x? ? +?sin x-sin ?2
2?

?

b2

2

2

1.6 解析 由(2a+3b)?(ka-4b)=0 得 2k-12=0,∴k=6. 2.150° 1 15 解析 ∵S△ABC= |a||b|sin∠BAC= , 2 4 1 ∴sin∠BAC= .又 a?b<0, 2 ∴∠BAC 为钝角.∴∠BAC=150°. 3.120° 2 解析 由(2a+b)?b=0,得 2a?b=-|b| . 1 2 - |b| 2 a?b 1 cos〈a,b〉= = 2 =- . |a||b| |b| 2 ∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=120°. 65 4. 5 解析 因为 a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉 , 所以,a 在 b 上的投影为|a|?cos〈a,b〉 a?b 21-8 13 65 = = 2 = = . 2 |b| 5 4 +7 65 5. 3 5

2 2 解析 ∵a?b=cos 2α +2sin α -sin α = , 5 2 3 2 2 ∴1-2sin α +2sin α -sin α = ,∴sin α = . 5 5 6.120° 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ ,∵c=a+b,c⊥a, 2 ∴c?a=0,即(a+b)?a=0.∴a +a?b=0. 又|a|=1,|b|=2,∴1+2cos θ =0. 1 ∴cos θ =- ,θ ∈[0°,180°],即 θ =120°. 2 7.-25 解析 如图,

根据题意可得△ABC 为直角三角形, π 3 4 且∠B= ,cos A= ,cos C= , 2 5 5 → → → → → → ∴AB?BC+BC?CA+CA?AB 4 → → → → =BC?CA+CA?AB=4?5cos(π -C)+5?3cos(π -A)=-20cos C-15cos A=-20? 5 3 -15? =-25. 5 8.(-1,0)或(0,-1) 解析 设 n=(x,y),由 m?n=-1, 有 x+y=-1.①
7

3π 由 m 与 n 夹角为 , 4 3π , 4 2 2 ∴|n|=1,则 x +y =1.② ? ? ?x=-1 ?x=0 由①②解得? 或? , ?y=0 ?y=-1 ? ? ∴n=(-1,0)或 n=(0,-1). → → 9.解 设存在点 M,且OM=λ OC=(6λ ,3λ ) (0≤λ ≤1), → → ∴MA=(2-6λ ,5-3λ ),MB=(3-6λ ,1-3λ ).……………………………………(4 有 m?n=|m|?|n|cos 分) → → ∵MA⊥MB, ∴(2-6λ )(3-6λ )+(5-3λ )(1-3λ )=0, ……………………………………………… (8 分) 2 即 45λ -48λ +11=0, 1 11 解得 λ = 或 λ = . 3 15 ?22 11? ∴M 点坐标为(2,1)或? , ?. ?5 5? 22 11 → → 故在线段 OC 上存在点 M,使MA⊥MB,且点 M 的坐标为(2,1)或( , ).………(12 分) 5 5 π ? ? ?π ? 10.(1)证明 ∵a?b=cos(-θ )?cos? -θ ?+sin(-θ )?sin? -θ ? ?2 ? ?2 ? = sin θ cos θ - sin θ cos θ = 0.∴a⊥b.……………………………………………………(4 分) (2)解 由 x⊥y 得,x?y=0, 2 即[a+(t +3)b]?(-ka+tb)=0, 2 3 2 2 ∴-ka +(t +3t)b +[t-k(t +3)]a?b=0, 2 3 2 ∴-k|a| +(t +3t)|b| =0.………………………………………………………………(8 分) 2 2 又|a| =1,|b| =1, 3 3 ∴-k+t +3t=0,∴k=t +3t.…………………………………………………………(10 分) k+t2 t3+t2+3t 2 ∴ = =t +t+3

t

t

? 1?2 11 =?t+ ? + . ? 2? 4 1 k+t2 11 故当 t=- 时, 有最小值 .………………………………………………………(14 2 t 4
分)

? π? 11.解 (1)f(x)=a?b=2cos?x+ ?+2sin x 6? ? π π =2cos xcos -2sin xsin +2sin x 6 6 π ? ? = 3cos x+sin x=2sin?x+ ?.…………………………………………………………(5 3? ?
分)

8

π π 3π +2kπ ≤x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 3 2 π 7π 得 +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z. 6 6 所以 f(x)的单调递减区间是 ?π +2kπ ,7π +2kπ ? (k∈Z).…………………………………………………………… ?6 ? 6 ? ? (8 分) ? π? (2)由(1)知 f(x)=2sin?x+ ?. 3? ? π 8 ? ? 又因为 2sin?x+ ?= , 3? 5 ? ? π? 4 所以 sin?x+ ?= ,………………………………………………………………………(12 3? 5 ? 分) ? π? ?π ? ? π? 4 即 sin?x+ ?=cos? -x?=cos?x- ?= . 3 6 6? 5 ? ? ? ? ? π? π? 7 ? 2? 所以 cos?2x- ?=2cos ?x- ?-1= .……………………………………………… (16 3? 6? 25 ? ? 分) 由

9


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