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福建省福州市八县(市)一中(福清一中,长乐一中等)2016-2017学年高一下学期期末联考数学试题


2016—2017 学年度第二学期八县(市)一中期末联考

高中一年数学科试卷
完卷时间:120 分钟 满 分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、 若扇形的半径为 6 cm,所对的弧长为 2 p cm,则这个扇形的面积是( A、 12p cm2 B、6 cm2 C 、 6p cm2 D、4 cm2 )。 )。

2、在△ABC 中,若 AB = (1, m), BC = (3, - 2) , ?B ? 900 则 m ? ( A、-

??? ?

??? ?

2 3

B、

2 3

C、 ?

3 2
)。

D、

3 2

3、若 tan?? ?

? ?

??

? ? 2 ? 3 ,则 tan ? 的值是( 4?
B、 ? 3 C、 1

A、

3 3

D、以上答案都不对

4、在 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,若 sin A ? sin C , b 2 ? a 2 ? ac ,

则 ?A ? (
A、

)。 B、

? 2

? 4

C、

? 3

D、

? 6

5、 cos430 cos770 ? sin 430 cos1670 的值是( A、 ?

)。 D、 ? )。

3 2

B、

1 2

C、

3 2

1 2

6、以下关于向量说法的四个选项中正确 的选项是( ..

? ? ? ? ? A、若任意向量 a与b 共线且 a 为非零向量,则有唯一一个实数 ? ,使得 a ? ? b ;
B、对于任意非零向量 a与b ,若 (a + b) ? (a C、任意非零向量 a与b 满足 a ? b D、若 A,B,C 三点满足 OA =

? ?

?

?

?

? ? ? a = b ,则 ; b) = 0

? ?

? ?

? ? ? ? a b ,则 a与b 同向;

??? ?

? 1 ???? 2 ??? OB + OC ,则点 A 是线段 BC 的三等分点且离 C 点较近。 3 3

7、在△ABC 中,利用正弦定理解三角形时,其中有两解的选项是( A、 a ? 3, b ? 6, A ? 300 ; C、 a ? 3, b ? 4 3, A ? 600 ; 8、已知 sin ( B、 a ? 6, b ? 5, A ? 1500 ; D、 a ?

)。

9 , b ? 5, A ? 30 0 ; 2
)。

?
3

?

?
2

)??

? 3 ,则 cos ( ? ? ) ? ( 3 2
3 2
C、

A、

3 2

B、 ?

1 2

D、-

1 2

9、已知△ ABC 满足 AB ? 4, AC ? 2, ?BAC ?

2? ,点 D、E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE 3 ??? ? ???? 并延长到点 F ,使得 DE ? 2 EF ,则 AF ?DC 的值为( )。 C F 3 A、2 9 B、 4
C、 ? 2

5 D、 2

E A D B

10、若函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 在一个周期内的图象如图所示,且在 2?

y轴上的截距为 2 , M,N 分别是这段图象的最高点和最低点,
则 ON在OM 方向上的投影为( A、

???? ???? ?
29 29

)。

1
B、

3

5 5

C、-

29 29

D、 ?

5 5
)。

11、下列对于函数 f ( x) ? 2 ? 2cos2 x,x ? (0,3? ) 的判断不正确 的是( ...

A、对于任意 x ? (0,3? ) ,都有 f ( x1 ) ? f ( x ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 的最小值为 B、存在 a ? R ,使得函数 f ( x ? a) 为偶函数; C、存在 x0 ? (0,3? ) ,使得 f ( x0 ) ? 4 ; D、函数 f ( x ) 在区间 [

? ; 2

? 5?
2 , 4

] 内单调递增;

12、在平面内,定点 A,B,C,D 满足 DA = DB = DC , DA?DB = DB?DC = DC ?DA = - 2 动点 M,N 满足 AN = 2 、 NM = MC ,则 AM 的最小值是( A、 4 ? 2 3 B、

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ?

??? ? ????
) 。

???? ??? ?

????

???? ? ???? ?

???? ?2

9 4

C、

13 ? 4 3 4

D、 2 ? 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、已知角 ? 的终边过点 P ? tan

? ?

3? ? , 2 ? ,则 cos? 的值为 4 ?



14、 平面上点 O 为坐标原点,A(0,2), B(1,0) ,C 是平面上任意一点且满足 AC = AO + 2OB + BA , 则 C 点坐标是 15、若 。
[来源:Z_xx_k.Com]

??? ?

????

??? ?

??? ?

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 sin 2? ? sin ? ? 2 cos ? 2



16、在下列五个命题中: ①已知大小分别为 1N 与 2 N 的两个力,要使合力大小恰为 6 N ,则它们的夹角为 ②已知 ? ?

2? ? , ? ? ? ,则 sin? ? cos? ; 5 7 1 ; 2

? ; 3

③若 A,B,C 是斜 ?ABC 的三个内角,则恒有 tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 成立; ④ 计算式子 sin 50 (1 ? 3 tan 10 )的结果是
0 0

(0, ) ⑤已知 ( ,则 x 的大小为 3 cosx ? 1 ) ? sin x 且x ?

3? 2

2? ; 3
[来源:学科网]

其中错误 的命题有_________.(写出所有错误命题的序号 ) .. .........

三、 解答题: 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出证明过程或演算步骤 (17 小题 10 分, 18-22 小题各 12 分,共 70 分)。 17、(满分 10 分)已知 a = (1, y) b = ( ,sin(2 x -

?

?

1 2

? ? p )) 且 a ∥ b ,设函数 y ? f ( x) 6

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的对称轴方程及单调递减区间; (Ⅱ)若 x ? ?0,

? 2? ? ,求函数 y ? f ( x) 的最大值和最小值并写出函数取最值时 x 的值。 ? 3 ? ?

18、(满分 12 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,E,F 分 别是 BC,DC 上的点,且满足 BE = EC ,

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ? ? ???? ? ?? DF = 2FC ,记 AB = a , AD = b ,试以 a, b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解
决下列问题; (Ⅰ)用 a, b 来表示向量 DE与BF ; (Ⅱ)若 AB ? 3, AD ? 2 ,且 BF ? 3 ,求 DE ;
[来源:Zxxk.Com]

D
??? ? ??? ?

F E

C

??

????

A

B

19、(满分 12 分)平潭国际“花式风筝冲浪”集训队,在平潭龙凤头海滨浴场进行集训,海滨区域

的某个观测点观测到该处水深 y (米)是随着一天的时间 t (0 ? t ? 24, 单位小时) 呈周期性变 化,某天各时刻 t 的水深数据的近似值如下表:学科网

t (时)
y(米)

0 1.5

3 2.4

6 1.5

9 0.6

12 1.4

15 2.4

18 1.6

21 0.6

24 1.5

(Ⅰ)根据表中近似数据画出散点图(坐标系在答题卷中).观察散点图,从 ① y ? A sin(?t ? ? ) , ② y ? A cos(?t ? ? ) ? b ,③ y ? ? Asin?t ? b

(A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? 0) .中选择一个合适的函数模型, 并求出该拟合模型的函数解析式; (Ⅱ)
为保证队员安全,规定在一天中的 5~18 时且水深不低于 1.05 米的时候进行训练,根据(Ⅰ)

C

中的选择的函数解析式,试问:这一天可以安排什么时间段组织训练, 才能确保集训队员的安全。高 20、(满分 12 分)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 且 B ? 60? , c ? 4 . (Ⅰ)若 b ? 6 ,求角 C 的余弦值; (Ⅱ)若点 D , E 在线段 BC 上,且 BD ? DE ? EC , AE ? 2 3BD ,求 AD 的长. 21、(满分 12 分)设向量 m = (4cos x,1)

E D B

A

??

? ?? ? p n = (sin( x + ), - 1) ,函数 g ( x) = m ? n 。 6

(Ⅰ)若 ? 是函数 y ? g ( x) 在 ?0, ? 上的零点,求 sin ? 的值;

? ?? ? 2?

? ? ? 6 ? 24 ), ? ? ( , ? ), g ( ? ) ? , g ( ) ? ? ,求 sin(? ? ? ) 的值; 2 2 2 6 5 2 13 ???? ? 22、(满分 12 分)已知 O 为坐标原点,对于函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,称向量 OM ? (a, b) 为
(Ⅱ)设 ? ? (0,

?

函数 f ( x) 的伴随向量,同时称函数 f ( x) 为向量 OM 的伴随函数. (Ⅰ)设函数 g ( x) ? ? sin(

???? ?

???? ? 3? ? x) ? 3 sin(? ? x) ,试求 g ( x) 的伴随向量 OM ; 2

(Ⅱ)记向量 ON ? (1,2) 的伴随函数为 f ( x) ,求当 f ( x) ?

????

? 4 5 x ? (0, ) 且 时 sin x 的值; 2 5

(Ⅲ)由(Ⅰ)中函数 g ( x) 的图像(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的 2 倍,再把整个图像向右平

2? B(2,6) ,问在 y ? h( x) 的图像上是否存在 ) 个单位长度得到 h( x) 的图像。 已知 A(?2,3 3 ??? ? ??? ? 一点 P ,使得 AP ^ BP .若存在,求出 P 点坐标;若不存在,说明理由。


2016-2017 学年度第二学期八县(市)一中期末联考

高中一年数学试卷评分标准
一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分

1—5

CDABD

6—10

BDCAB

11---12 DA

二、本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分
13、 ?

5 5

14、

(1, 2)

15、 ?

8 17

16、①②④⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分;请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 证明过程或演算步 骤. 17、(满分 10 分) ? ? ? ? 1 p 解:(Ⅰ) ? a = (1, y) b = ( ,sin(2 x - )) 且 a ∥ b 2 6 p 1 \ 1? sin(2 x - ) - ?y = 0 ----------------------------------------------------------------------2 分 6 2 p \ y = f ( x) = 2sin(2 x - ) ---------------------------------------------------------------------3 分 6 p p kp p = k p + ,得 x= + . 由 2x 6 2 2 3
由 2k p +

3p p ,得 k p + #x 2 3 kp p \ f(x)的对称轴方程是直线x= + (k ? Z ) 2 3 p 5p 单调递减区间为:[k p + , k p + ](k ? Z ) 3 6

p ? 2x 2

p ? 2k p 6

kp +

5p --------------------------5 分 6

-----------------------------------------6 分

0, (Ⅱ)? x ? 犏

轾 2p 犏 臌 3

\ 2x -

p ? 6

轾 p 7p 犏 , 犏 臌6 6 p ) ? [ 1, 2] 6
---------------------------8 分

\ sin(2 x \ 当2 x -

轾1 p ) ? 犏 ,1 6 犏 臌2

\ f ( x) = 2sin(2 x -

p p p = 即x = 时,f ( x)取到最大值2 ; 6 2 3 p p 7p 2p 当2 x - = - 或 即 x= 0 或 时,f ( x)取到最小值 - 1 -----------------10 分 6 6 6 3

D

F E

18、(满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵在平行四边形 ABCD 中, BE = EC , DF = 2FC

C

??? ?

??? ?

????

??? ?
A B

???? ???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? ? 1 ? AD = a - b ------------------3 分 ∴ DE = DC + CE = AB + CB = AB 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 ??? ? ? 1? BF = BC + CF = AD + CD = AD - AB = b - a ------------------------6 分 3 3 3 ??? ? ???? 1 ??? ? ???? ??? ? 1 ???? AB , DE = AB - AD (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: BF = AD 3 2 ??? ?2 ???? 1 ??? ? 2 ???? 2 2 ???? ??? ? 1 ??? ?2 AB) = AD - AD ?AB + AB ---------------------------8 分 ∴ BF =(AD 3 3 9
∵ AB = 3, AD = 2, 且 BF ? 3

[来源:学_科_网]

( 3) = 2 ∴
∴ cos ? BAD

2

2

2 1 创2 3葱cos BAD + ? 32 3 9 1 -----------------------------------------------------------------------------10 分 2

???? 2 ??? ? 1 ???? 2 ??? ? 2 ??? ? ???? 1 ???? 2 \ DE =(AB - AD) = AB - AB ?AD + AD 2 4 1 2 1 = 32 - 3创2 cos ? BAD ?2 9 - 6? 1= 7 4 2

???? \ DE =

7

--------------------------------------------------------------------------------------12 分

19.(满分 12 分) 解:(Ⅰ)根据表中近似数据画出散点图,如图所示:

y(米)
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 3 6 9 12 15 18 21 24

----------------------2 分

t(时)

依题意,选② y ? A cos(?t ? ? ) ? b 做为函数模型,

2.4 - 0.6 = 0.9 2 2p p ?T = = 12 \ w = w 6 \ A=

b=

2.4 + 0.6 = 1.5 2

p \ y = 0.9 cos( t + j ) + 1.5 6

-------------------------------------------------------------5 分

p 又 ?函数y = 0.9 cos( t + j ) + 1.5 的图象过点(3,2.4) 6 p \ 2.4 = 0.9创cos( 3 + j ) + 1.5 6 p \ cos( + j ) = 1 2 \ sin j = - 1 又?- p < j < 0 p \ j =2 p p p \ y = 0.9 cos( t - ) + 1.5 = 0.9sin( t ) + 1.5 ------------------------------------7 分 6 2 6 p (Ⅱ)由(Ⅰ)知: y = 0.9sin( t ) + 1.5 6 p 令 y ? 1.05 ,即 0.9sin( t ) + 1.5 ? 1.05 6 p 1 \ sin( t ) ? --------------------------------------------------------------------------------9 分 6 2 p p 7p \ 2k p - # t 2k p + (k ? Z ) 6 6 6 \ 12k - 1 #t 12k + 7
又? 5 #t

18

? 5 #t

7或11 #t

18

-----------------------------------------------------------------------11 分

∴这一天可以安排早上 5 点至 7 点以及 11 点至 18 点的时间段组织训练, 才能 确 保集训队员的安全。 -----------------------------------------------------------------12 分

20、(满分 12 分) 解:(Ⅰ)由正弦定理得:

c b = sin C sin B

------------------------------------------------1 分

? B ? 60? , c ? 4 , b ? 6

\

4 6 = sin C sin 60?

4? sin 60? \ sin C = = 6

4? 6

3 2 =

3 3

------------------------------------------------------4 分

? b ? c ??B ? ?C ??C为锐角

--------------------------------------------------------------5 分

\ cos C = 1- sin 2 C =

6 3

------------------------------------------------------------------6 分

(Ⅱ)? BD ? DE ? EC , AE ? 2 3BD

\ AE =

3BE

---------- ------------------------------------------------------------------- - ----8 分

在 D ABC中

AE BE = sin B sin ?BAE

? B ? 60?

\ sin ? BAE

BE ? sin B = AE

1 3 1 ? 2 3 2
----------------------------------------10 分

\ ? BAE
\ ? AEB

? 30? 或150 (不合题意,舍去)

90? 且BE =

AB 2 - AE 2 =

2 42 -(2 3) = 2

\ DE =
\ AD =

1 BE = 1 2
2 AE 2 + DE 2 = (2 3) + 12 =

13

------------------------------------12 分

21、(满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵ m = (4cos x,1)

??

?? ? \ g ( x) = m ? n

? ?? ? p n = (sin( x + ), - 1) ,函数 g ( x) = m ? n 6 p 4 cos x? sin( x + ) + 1?(-1) -------------------------------------1 分 6

3 1 sin x + cos x)-1 2 2 = 2 3 sin x cos x + 2 cos 2 x-1 = 4 cos x?( 3 sin 2 x + cos 2 x p = 2sin(2 x + ) ---------------------------------------------------------------------------------3 分 6 p 由 g (w) = 2sin(2w + ) = 0 6 p 得: 2w + = k p ( k ? Z ) 6 kp p \ w= 2 12 p 5p \ w= --------------------------------------------------------------------5 分 又? 0 #w 2 12 =

\ sin w = sin
(Ⅱ)? g (

5p p p 1 2 = sin( + ) = ? 12 6 4 2 2

3 2 ? 2 2

6+ 2 4

-----------6 分

a p 6 b 24 - ) = , g( ) = 2 6 5 2 13 a p p 6 b p 24 \ 2sin(2( - ) + ) = 2sin(2? )= 2 6 6 5 2 6 13 p 3 p 12 \ sin(a - ) = sin(b + ) = ------------------------------------------8 分 6 5 6 13

p p ? a 挝(0, ), b ( , p ), 2 2 p p p p 2p 7p \ a- ? ( , ), b + ? ( , ), 6 6 3 6 3 6
\ cos(a p 4 p 5 ) = , cos(b + ) = 6 5 6 13
------------------------------------------------10 分

p p ) + (b + )] 6 6 p p p p = sin(a - ) cos(b + ) + cos(a - )sin(b + ) 6 6 6 6 3 5 4 12 = ?( )+ ? ( ) 5 13 5 13 \ sin(a + b ) = sin[(a =63 65
---------------- ---------------------------------------------------------------------------12 分

22、(满分 12 分) 解:(Ⅰ)? g ( x) = - sin(

3p - x) + 2

3 sin(p + x)

\ g ( x) = cos x -

3sin x = ???? ?

3sin x + cos x
-----------------------------------------------------------3 分

∴ g ( x) 的伴随向量 OM ? (? 31) ,

(Ⅱ)?向量ON ? (1, 2) 的伴随函数为 f ( x) ,且 f ( x) ?

????

4 5 5

\ f ( x) = sin x + 2cos x =
p 2

4 5 5

又? x ? (0, ) 且 sin 2 x + cos2 x = 1

\ sin x =

2 5 5

-------------------------------------------------------------------- ----------------7 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知: g ( x) = -

3 sin x + cos x = - 2sin( x -

p ) (用余弦表示也可以) 6

将函数 g ( x) 的图像(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的 2 倍,得到函数

2? 个单位长得到 h( x) 的图像,得到 3 1 2p p 1 p 1 h( x) = - 2sin( ( x ) - ) = - 2sin( x - ) = 2 cos x 2 3 6 2 2 2 1 B(2,6) 设 P ( x, 2 cos x ) , ? A(- 2,3) 2 ??? ? ??? ? 1 1 \ AP = ( x + 2, 2 cos x - 3), BP = ( x - 2, 2 cos x - 6) 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 又? AP ^ BP , \ AP?BP = 0
再把整个图像向右平移

1 p y = - 2sin( x - ) 2 6

--------------------8 分

1 1 \ ( x + 2)( x - 2) + (2 cos x - 3)(2 cos x - 6) = 0 2 2 1 1 x 2 - 4 + 4 cos 2 x - 18cos x + 18 = 0 2 2
1 9 25 \ (2 cos x - ) 2 = - x2 2 2 4
(*) -----------------------------------------10 分
[来源:学科网]

1 13 1 ? - 2 #2 cos x 2 \? 2 cos x 2 2 2 25 1 9 2 169 \ ? (2 cos x ) ? 4 2 2 4 25 25 又? - x2 ? 4 4

9 ? 2

5 2

1 9 25 25 \ 当且仅当x = 0 时, (2 cos x - ) 2 和 - x 2 同时等于 ,这时(*)式成立 2 2 4 4 ??? ? ??? ? \ 在y=h(x)的图像上存在点P(0,2),使得AP ^ BP. --------------------12 分


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