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2011年高考理科数学试题及答案(新课标卷)word版(2)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 课标全国卷(理科数学)
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)复数
2?i 的共轭复数是 1 ? 2i
(B) i

(A) ? i

3 5

3 5

(C) ?i

(D) i

(2)下列函数中,既是偶函数哦、又在(0, )单调递增的函数是 (A) y ? x2 (B) y ? x ?1 (C) y ? ? x2 ? 1 (D) y ? 2? x

(3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加 各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则
cos 2? =

(A) ?
4 5

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的俯视图可以为

(7) 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, 与 C 交于 A,B l 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3
5

(C)2

(D)3

a ?? 1? ? (8) ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x? ?
(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40

(9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 (A)
10 3

(B)4

(C)

16 3

(D)6

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题
? 2? ? P : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, 1 ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3? ? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

其中的真命题是 (A) P , P4 1 (B) P , P3 1 (C) P2 , P3 (D) P2 , P4

? ? (11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos( x ? ? )( ? 0,? ?
且 f (? x) ? f ( x) ,则
? ?? (A) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,

? ? 3? (B) f ( x) 在 ? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

? ?? (C) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2?

? ? 3? (D) f ( x) 在 ? , ?4 4

? ? 单调递增 ?

(12)函数 y ? 之和等于 (A)2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有焦点的横坐标 x ?1

(B) 4

(C) 6 第Ⅱ卷

(D)8

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题---第 21 题为必考题,每个试题 考生都必须做答。第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

?3 ? 2 x ? y ? 9, (13)若变量 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,
(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 离心率为 为



x 轴上,

2 。过 l 的直线 交于 A, B 两点,且 ? ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程 2



(15) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, AB ? 6, BC ? 2 3 , 且 则棱锥 O ? ABCD 的体积为 。 。

(16)在 ? ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . 求数列 ?an ? 的通项公式.
?1? 设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和. ? bn ?

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD.

(Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 (19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量 指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得 到下面试验结果:

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关 系式为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分 布列及数学期望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质 量指标值落入相应组的概率) (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满 足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (21) (本小题满分 12 分)

已 知 函 数 f ( x) ?
x ? 2y ? 3 ? 0 。

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 ,f ( 1处 的 切 线 方 程 为 )) x ?1 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?
ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。 已知 AE 的长为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x 2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
??? ? ???? ? M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2
(Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集

?
3

与 C1 的异于

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题 (1)C (7)B 二、填空题 (13)-6 三、解答题 (17)解:
2 3 2 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q 2 ?

(2)B (8)D

(3)B (9)C

(4)A (10)A

(5)B (11)A

(6)D (12)D

(14)

x2 y 2 ? ?1 16 8

(15) 8 3

(16) 2 7

1 。有条件 9

1 可知 a>0,故 q ? 。 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

(Ⅱ ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
2n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

(18)解: (Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD

所以 BD ? 平面 PAD.

故 PA ? BD

(Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴 建立空间直角坐标系 D- xyz ,则

A ?1,0,0? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。
??? ? ??? ? ??? ? AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)

?

? ?

?

设平面 PAB 的法向量为 n= x,y,z)则 ( , 即
?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3) 设平面 PBC 的法向量为 m,则

??? ? m ? PB ? 0 ??? ? m ? BC ? 0 cos m, n ?
2 7 7
22 ? 8 =0.3 ,所 100

可取 m=(0,-1, ? 3 )

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 (19)解

?

(Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42

32 ? 10 ? 0.42 ,所以 100

( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

?90,94? , ?94,102? , ?102,110?

的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解:
???? (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =(-x,-1-y),
???? ??? ? ???? ???? ??? ? MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再 由 愿 意 得 知 ( MA + MB ) ? AB =0, 即

(-x,-4-2y)? (x,-2)=0. 所以曲线 C 的方程式为 y=
1 2 x -2. 4 1 2 1 x -2 上一点,因为 y ' = x,所以 l 的斜 4 2

(Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= 率为
1 x 2 0

因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? 则 O 点到 l 的距离 d ?

1 x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2

2 | 2 y0 ? x0 | 2 x0 ? 4

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4
2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

(21)解:

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 ? f '(1) ? ? 2 , ?

?b ? 1, ? ?a 1 ?2 ?b ? ? 2 , ?

解得 a ? 1 , b ? 1 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x
(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? 。 ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x2 x

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ? 故

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 , x2

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 (ii)设 0<k<1.由于当 x ?(1, )时, (k-1) 2 +1)+2x>0,故 h’ (x)>0, (x 1? k 1 1 而 h(1)=0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设 1? k 1? x2

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

矛盾。 (iii)设 k ? 1.此时 h’ (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ?(1,+ ? )时,h(x)>0, 可得
1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] (22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即
AD AE ? .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB AC AB

因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.



AD=2,AB=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心 为 H,半径为 DH. 由于∠A=900,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(
X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2 1 (12-2)=5. 2

?x ? ? 2 ? 2 cos ?, ? ? ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ?2 ? ? ?



? x ? 4 cos? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

? x ? 4cos ? 从而 C 2 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

, 。

?
3

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . (24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ?1|? 2 。 由此可得
x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 的

x ? a ? 3x ? 0
此不等式化为不等式组

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0
?x ? a ? 即 ?x ? a ? ? 4 ?x ? a ? 或 ?a ? ? a ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ?
a 由题设可得 ? = ?1 ,故 a ? 2 2

?


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