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3.2一元二次不等式及其解法》题型分类


3.2

一元二次不等式及其解法
第3课时

含参数的一元二次不等式的解法

名师点睛
1. 解一元二次不等式的常见方法 由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的 关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤: ① :ax2+bx+c>0( ),或ax2+bx+ c<0(a>0); ②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+ bx+c ; ③由图象得出不等式的解集. 将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方 求解. 当m<n时,若(x-m)(x-n)>0,则可得x>n或x<m; 若(x-m)(x-n)<0,则可得m<x<n.

2 含参数的一元二次型的不等式 .

在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要 ,为了做到分类“不重不漏”, 讨论需从如下三个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:

(2)关于不等式对应的 的讨论: 二根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的 x1>x2,x1=x2,x1<x2. 的讨论:

【例1】不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有 实数x∈R都成立,求a的取值范围.
分析:开口向下,且与x轴无交点 。 解:由题目条件知: (1) a = 0时,不等式为-x-1 <0 不符合题意。 (2)a < 0,且△ < 0. 因此a < -1/3。 1? 综上所述:a的取值范围是 ? a | a ? ? ? ? 3? ?

【变1】二次不等式ax? +bx+c>0的解集是全体 实数的条件是______. a>0且⊿=b? -4ac<0
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题型二

三个“二次”间对应关系的应用

【例2】 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),试求 关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集. 审题指导 可知1,2是方程x2+ax+b=0的两根,故由根与 系数的关系可求出a,b的值,从而得解. [规范解答] 由根与系数的关系,可得
? ?-a=1+2, ? ? ?b=1×2, ? ?a=-3, 即? ? ?b=2,

(6 分)

∴不等式 bx2+ax+1>0,就是 2x2-3x+1>0. 1 由于 2x -3x+1>0?(2x-1)(x-1)>0?x< 或 x>1. 2
2

(10 分) (12 分)
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∴bx +ax+1>0

2

? 1? 的解集为?-∞, ?∪(1,+∞). 2? ?
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【题后反思】 求一般的一元二次不等式ax2+bx+ c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的解集,可由二次函数的零 点与相应一元二次方程根的关系,先求出一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,再根据函数图象与x轴的相关位 置确定一元二次不等式的解集.因此一元二次不等式解集 的区间端点,就是其对应的函数的零点,也就是其对应的 方程的根.

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【变式2】 已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1<x<2},求 a,b的值. 解 法一 由题设条件知a>0,且1,2是方程ax2-bx+2=0 的两实根. b ? ?1+2=a, 由根与系数的关系,知? ?1×2=2, ? a
? ?a=1, 解得? ? ?b=3.

法二

把 x=1,2 分别代入方程 ax2-bx+2=0 中,
? ?a=1, 解得? ? ?b=3.
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? ?a-b+2=0, 得? ? ?4a-2b+2=0.

误区警示

忽略二次项系数为零而出错

【示例】 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R,求实 数a的取值范围.
[错解] 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 的解集为 R,
? ?a-2<0, ∴? ? ?Δ<0 ? ?a<2, ?? 2 ? ?4?a-2? -4?a-2??-4?<0.

?-2<a<2.

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【示例】 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R,求实 数a的取值范围.

当a-2=0时,原不等式不是一元二次不等 式,不能应用根的判别式,应当单独检验不等式是否 成立.
[正解] 当a-2=0,即a=2时,原不等式为-4<0, 所以a=2时成立. 当a-2≠0时,由题意得 即解得-2<a<2. 综上所述可知:-2<a≤2.

二次项系数含参数时,要严格分系数为 正,系数为0,系数为负三种情况进行讨论,缺 一不可,只要题目没有明确说明不等式是一元二 次不等式,就必须讨论这种情况.
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题型三

解含参数的一元二次不等式解法

【例3】 解关于x的不等式(a∈R): (1)2x2+ax+2>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0. [思路探索] (1)对相应方程的判别式进行讨论,按照 一元二次不等式的解法求解; (2)先对不等式中二次项的参数讨论,再按照不等式 的求法求解.

(1)2x2+ax+2>0;
(1)解 (1)Δ=a2-16,下面分情况讨论: ①当Δ<0,即-4<a<4时,方程2x2+ax+2=0无实根, 所以原不等式的解集为R. ②当Δ=0,即a=4或a=-4时,方程2x2+ax+2=0的 两个根为x=-1,所以原不等式的解集为{x|x≠-1} (3)当Δ>0,即a<-4或a>4时,方程2x2+ax+2=0有两 个不相等的实根, x1=(-a-根号a2-16)/4,x2=(-a+根号a2-16)/4 所以原不等式的解集 {x|x>x1或x<x2}

(2)ax2-(a+1)x+1<0.
解:(1)若a=0,原式等价于-x+1<0,解得x>1. (2)若a<0,原式等价于(x-1/a)(x-1)>0,
1 解得 x< ,或 x>1. a
? 1? a>0,原不等式等价于?x- ?(x-1)<0. a? ?

若 ( 3)

? 1? 1 ①当 a=1 时, =1,解?x- ?(x-1)<0 得,解集为 ?; a? a ? ? 1? 1 1 ? ? ②当 a>1 时, <1,解 x- (x-1)<0 得 <x<1; a? a a ?

1 ③当 0<a<1 时, >1, a
? 1? 解?x- ?(x-1)<0 a? ?

1 得 1<x< . a

综上所述:当

? ? ? 1 a<0,解集为?x?x< ,或x>1 ? ? ? a

? ? ?; ? ?

当 a=0 时,解集为{x|x>1}; 当 0<a<1
? ? ? 1 时,解集为?x?1<x< ? a ? ? ? ? ?; ? ? ? ? ?. ? ?

当 a=1 时,解集为?;当 a>1

? ? ?1 时,解集为?x? <x<1 ? ? ?a

含参数不等式的解题步骤为:(1)将二次项 系数化为正数;(2)判断相应的方程是否有根(如果 可以直接分解因式,可省去此步);(3)根据根的情 况写出相应的解集.(若方程有两个相异实根,为了 写出解集还要比较两个根的大小).另外,当二次项 含有参数时,应先讨论二次项系数是否为0,这决 定不等式是否为二次不等式.

【变式3】解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0. 解 (i)当a=0时,原不等式可化为-2x+4>0,解得x<2, 所以原不等式的解集为{x|x<2}.
(ii)当 a>0 时,原不等式可化为(ax-2)(x-2)>0,对应方程 2 的两个根为 x1= ,x2=2. a 2 ①当 0<a<1 时, >2,所以原不等式的解集为 a
? ? ? 2 ?x?x> ,或x<2 ? ? ? a ? ? ?; ? ?

2 ②当 a=1 时, =2,所以原不等式的解集为{x|x≠2}; a

2 ③当 a>1 时, <2,所以原不等式的解集为 a
? ? ? 2 ?x?x>2,或x< ? a ? ? ? ? ?. ? ?

(iii)当 a<0 时,原不等式可化为(-ax+2)(x-2)<0,对应方程 2 2 的两个根为 x1= ,x2=2,则 <2,所以原不等式的解集为 a a
? ? ?2 ?x? <x<2 ? ? ?a ? ? ?. ? ?


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