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函数的极值与导数课件公开课


一、复习导入

1. 求出函数 f ( x) ? x ? 3x 有没搞错, ? 24 x ? 20 的单调区间
3 2
2 怎么这里没有填上? ? ? 3( x ? 4)( x ? 2) f ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 24 解

你记住 令 f ?( x ) ? 0, 得临界点 x1 ? ? 4, x2 ?

2 了吗?
(-∞,-4) -4 0 (-4,2) 2 0 (2,+∞)

区间 f ’(x) f(x)

+

-

+

f(x) 在(-∞, -4)、 (2 ,+,∞) 内单调递增, f ’(x)>0, (x+4)(x -2)>0 x<-4 或x>2 f(x) 在(-4, 2)内单调递减。 f ’(x)<0, (x+4)(x -2)<0, -4<x<2 求导数—求临界点—列表—写出单调性

3.3.2 函数的极值与导数

学习目标
1.理解极大值,极小值的概念
2.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数

的极大值、极小值并掌握求极值的步骤.

阅读教材P93---P96回答下列问题:
1,什么是极小值,什么是极大值? 各有什么特点 2,函数的极大值一定大于极小值吗? 在区间内可导函数的极大值和极小值 是惟一的吗? 3,导数为0的点都是极值点吗?

1.极小值点与极小值

知识建构

如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点
′(a)=0 都小 ,且f______ x=a附近其他点的函数值_____ ;而 f′(x)<0 ,右侧________ f′(x)>0 ,则 且在点x=a的左侧_________

把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y

=f(x)的极小值.

y

f ?( x)<0 a
f ’(a)=0

f ?( x) >0 o

b

x y=f(x)

2.极大值点与极大值

如图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b 都大,且_______ f′(b)=0 ;而且在点x=b 附近其他点的函数值____ f′(x)>0 ,右侧________ f′(x)<0 ,则把点b叫做函数y= 的左侧________
f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大 极小值点 极大值 和 极大值点 、 值._________ _________统称为极值点,_______ _______ 极小值 统称为极值.

y
f ?( x)>0

f ’(b)=0

f ?( x) <0
x y=f(x)

a

o

b

y

观察图像回答下面问题:

f ( x3 )

f ( x4 )



f ( x1 )

f ( x2 )
O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

问题1:你能找出函数的极小值点和极大值点吗?为什么?观察 上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点, 哪些 问题2:极小值一定比极大值小吗?上述图象 不一定,试指出该函数的极 值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些

例 : 求下列函数的极值。 f ( x) ? x ? 3 x ? 9 x ? 5.
3 2

【解】

(1)f′(x)=3x2-6x-9.

解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f ( x) (-∞,-1) -1 + 单调递增 0 (-1,3) - 3 0 (3,+∞) +

10 单调递减

-22 单调递增

因此,当x=-1时函数取得极大值,且极大值 为f(-1)=10;当x=3时函数取得极小值,且极 小值为f(3)=-22.

求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤:

(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根

(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况 若f ’(x0)左正右负,则f(x0)为极大值; 若 f ’(x0)左负右正,则f(x0)为极小值

求导—求极点—列表—求极值

练习:
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? x ? 27 x;
3

(2) f ( x) ? 3x ? x

3

1 (3) f ( x) ? ln x ? ; 解: x

(1) 令f ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表:
x
(–∞, –3) –3 (–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ?( x)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

思考
y
+ + o

(1)导数为0的点一定是 函数的极值点吗? y=x3
例如:f(x)=x3

f ’(x)=3x2≥0
f ’(0)=3×02=0 x x x<0 f ’(x) + f(x) x=0 0 x>0 +

若f(x0) 是极值,则f ’(x0)=0。 反之, f ’(x0)=0,f(x0)不一定是极值 y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x) 在这点取得极值的 必要条件。

单调性的判别法 单 调 1.求导,2.求临界点 性 3. 列表,4.单调性

y

y ? f ( x)
A

B

y

A

y ? f ( x)
B

o

a

b

x

o

a

f ’(x)>0单调弟增
y

f ’(x)<0单调递减
y

b

x

函 数 的 性 质

单调区间的求法
o
x0

函数极值的定义

x

o

x0

x

函 数 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极 值 求极值的步骤:1.求导,2.求极点,3.列表,4.求极值
y y

函数极值的求法

? ?
o
x0

?
x

?
x0

小 结

o

x

设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数,且在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) ? 0 .

必要条件

例2

已知 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=1 与 x=

3

2

2 - 时都取得极值. 3 (1)求 a,b 的值; 3 (2)若 f(-1)= ,求 f(x)的单调区间和极值. 2 【思路点拨】 先求导数 f′(x),再令 f′(x)=0

得到关于 x 的一元二次方程,其两根为 x1=1 与 2 x2=- ,最后由一元二次方程根与系数的关系求 3 a,b 的值.

(1)f′(x)=3x2+2ax+b,令 f′(x)=0. 2 由题设,知 x1=1 与 x2=- 为 f′(x)=0 的解. 3 2 2 b 2 ∴- a=1- , =1×(- ). 3 3 3 3 1 ∴a=- ,b=-2. 2 1 2 3 (2)由(1)知 f(x)=x - x -2x+c, 2 【解】 1 3 由 f(-1)=-1- +2+c= ,得 c=1. 2 2

1 2 ∴f(x)=x - x -2x+1.∴f′(x)=3x2-x-2. 2
3

当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x) 2 (-∞, - ) 3 + 2 - 3 0 2 (- ,1) 3 - 1 0 (1,+∞) +

单调递增? 极大值 单调递减? 极小值 单调递减

2 ∴f(x)的递增区间为(-∞,- )和(1,+∞),递 3 2 减区间为(- ,1). 3 2 2 49 当 x=- 时,f(x)有极大值,f(- )= ; 3 3 27 1 当 x=1 时,f(x)有极小值,f(1)=- . 2

方法感悟

1.极值的概念理解
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指 的是自变量的值,极值指的是函数值.请注意以

下几点:
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个

点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或 最小.

已知极值求参数
已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,

进而研究函数性质时,注意两点:
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方 程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条 件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合

理性.

函数极值的综合应用 极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆 用,以及与单调性问题的综合,题目着重考查已 知与未知的转化,以及函数与方程的思想、分类 讨论的思想在解题中的应用,在解题过程中,熟 练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策 略是解决综合问题的关键.

例3 设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求

实数a的取值范围.
【思路点拨】 (1)利用导数求单调区间和极值.

(2)由(1)的结论,问题转化为y=f(x)和y=a的图象
有3个不同的交点,利用数形结合的方法求解.

【解】

(1)f′(x)=3x2-6,令 f′(x)=0,

解得 x1=- 2,x2= 2. 因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0; 当- 2<x< 2时,f′(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2)和( 2, +∞);单调递减区间为(- 2, 2). 当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2; 当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2.

(2)由(1)的分析知 y=f(x)的图象的 大致形状及走向如图所示.所以, 当 5-4 2<a<5+4 2时, 直线 y =a 与 y=f(x)的图象有三个不同 交点,即方程 f(x)=a 有三个不同 的解.

【名师点评】

用求导的方法确定方程根的个数,

是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况,
运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点

个数,从而判断方程根的个数.

(2)函数的极值不一定是惟一的,即一个函数在某 个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止 一个. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一

个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,
x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).

2.极值点与导数为零的点

(1)可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数
为零的点不一定是极值点,即“点x0是可导函数 f(x)的极值点”是“f′(x0)=0”的充分但不必要 条件; (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是

f′(x0)=0,且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同.
如果在x0的两侧f′(x)的符号相同,则x0不是极值 点.


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