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高考数学基础知识梳理:平面解析几何 新人教A版


高考数学基础知识、常见结论详解
八、平面解析几何 (一)直线与圆知识要点 1.直线的倾斜角与斜率 k=tgα ,直线的倾斜角 α 一定存在,范围是[0,π ],但斜率不一定 存在。牢记下列图像。

斜率的求法:依据直线方程

依据倾斜角

依据两点的坐标

2.直线方程的几种形式,能根据条件

,合理的写出直线的方程;能够根据方程,说出几何意 义。 3.两条直线的位置关系,能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。 (斜率 相等还有可能重合) 4.两条直线的交角:区别到角和夹角两个不同概念。 5.点到直线的距离公式。 6.会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。 7.曲线与方程的概念,会由几何条件列出曲线方程。 8.圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r
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圆的一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件。 圆的参数方程: ?

? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin ?

掌握圆的几何性质,会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。 圆锥曲线方程 (二)圆锥曲线 1.椭圆及其标准方程

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?第一定义、第二定义 ? 哪个轴上) ?标准方程(注意焦点在 ? (a、b、c、e的几何意义,准线方程 ,焦半径) ?椭圆的简单几何性质: ?椭圆的参数方程 x ? a cos? , y ? b sin ? ,当点P在椭圆上时, ? ? 点的坐标,把问题转化 为三角函数问题。 ?   可用参数方程设
2.双曲线及其标准方程:
注意与椭圆相类比) ?第一定义、第二定义( ? 哪个轴上) ?标准方程(注意焦点在 ?双曲线的简单几何性质 : (a、b、c、e的几何意义,准线方程 ,焦半径,渐近线 ) ?

3.抛物线及其标准方程:
中的灵活应用 ?定义,以及定义在解题 ? 焦点的距离问题经常转 化为到准线的距离。) ?  (抛物线上的点到 ? 哪个轴上,开口方向, p的几何意义)四种形式 ?标准方程(注意焦点在 ?抛物线的简单几何性质 : ( 焦点坐标,准线方程, 与焦点有关的结论 ) ?

直线与圆锥曲线:
程的解的情况。 ?位置关系,经常抓为方 ? 决 ?弦长。运用韦达定理解 ?面积。注意合理分析 ?

注意点: (1)注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解 (2)要学会变形使用两点间距离公式 d ?
2

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ,当已知直线 l 的斜率 k

时, 公式变形为 d ? 1 ? k x 2 ? x1 或 d ? 1 ?

1 当已知直线的倾斜角 ? 时, y 2 ? y1 ; k2

还可以得到 d ? x2 ? x1 ? sec? 或 d ? y2 ? y1 ? csc? (3)灵活使用定比分点公式,可以简化运算. (4)会在任何条件下求出直线方程. (5)注重运用数形结合思想研究平面图形的性质 解析几何中的一些常用结论: 1.直线的倾斜角 α 的范围是[0,π ) 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系:当倾斜角是锐角是,斜率 k 随着倾斜角 α 的增大而 增大。当 α 是钝角时,k 与 α 同增减。 3.截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。 4.两直线:L1 A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0
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L1⊥L2 ? A1A2+B1B2=0
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5.两直线的到角公式:L1 到 L2 的角为 θ ,tanθ =

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

夹角为 θ ,tanθ =|

k 2 ? k1 | 注意夹角和到角的区别 1 ? k1k 2

6.点到直线的距离公式,两平行直线间距离的求法。 7.有关对称的一些结论 ① 点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称点分别是 (a,-b) , (-a,b) , (-a,-b) , (b,a) ② 如何求点(a,b)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点 ③ 直线 Ax+By+C=0 关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称的直线方程分别是什么,关于点 (a,b)对称的直线方程有时什么? ④ 如何处理与光的入射与反射问题? 8.曲线 f(x,y)=0 关于下列点和线对称的曲线方程为: (1)点(a.b) (2)x轴 (3)y轴 (4)原点 (5)直线 y=x (6)直线 y=-x (7)直线 x=a 9.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。 点 P(x0,y0),圆的方程:(x-a) +(y-b) =r . 如果(x0-a) +(y0-b) >r ? 点 P(x0,y0)在圆外;
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如果 (x0-a) +(y0-b) <r ? 点 P(x0,y0)在圆内;
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如果 (x0-a) +(y0-b) =r ? 点 P(x0,y0)在圆上。
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10.圆上一点的切线方程:点 P(x0,y0)在圆 x +y =r 上,那么过点 P 的切线方程为:x0x+y0y=r . 11.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直 的直线。 12.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三 角形解决弦长问题。d>r ? 相离
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d=r ? 相切
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d<r ? 相交
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13.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心 距为 d,两圆的半径分别为 r,R d>r+R ? 两圆相离 |R-r|<d<r+R ? 两圆相交 d<|R-r| ? 两圆内含 d=r+R ? 两圆相外切 d=|R-r| ? 两圆相内切 d=0,两圆同心。

14.两圆相交弦所在直线方程的求法: 圆 C1 的方程为:x +y +D1x+E1y+C1=0. 圆 C2 的方程为:x +y +D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。 16.焦半径公式:在椭圆 (1)|PF1|=a+ex0
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x2 y2 ? =1中,F1、F2分别左右焦点,P(x0,y0)是椭圆是一点,则: a2 b2

|PF2|=a-ex0

(2)三角形 PF1F2的面积如何计算 17.圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。 18.直线 y=kx+b 和圆锥曲线 f(x,y)=0 交于两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) 则弦长 P1P2= 1 ? k 2 | x1 ? x2 | 19.双曲线的渐近线的求法 (注意焦点的位置) 已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。 20.抛物线中与焦点有关的一些结论: (要记忆) 解题思路与方法: 高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有 4 个题目外,就是在解答题中有一 个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线 和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置 关系.在复习过程中要注意下述几个问题: (1)在解答有关圆锥曲线问题时,首先要考虑圆锥曲线焦点的位置,对于抛物线还应同时注 意开口方向,这是减少或避免错误的一个关键. (2)在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时,可以利用方程组消元后 得到二次方程,用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线的 渐近线平行时,不能使用判别式,为避免繁琐运算并准确判断特殊情况,此时要注意用

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好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线,通过图形求解. 当直线与圆 锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公 式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点 坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活 转化,往往就能事半功倍. (3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法,若能据条件发现符合圆锥曲线定义时,则用定义 求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题,也可反用圆锥曲线 定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在 哪个坐标轴上时,可设方程为 mx +ny =1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. (4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有 关的命题时,一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义. (5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对 定点张直角等方面的应用. (6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一,它是各种知识的综合运用,具有较大的灵 活性,求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”,将“形”化成“数”,使我 们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有:直接法、定义 法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等,解题时,注意求轨迹的步骤:建系、设 点、列式、化简、确定点的范围. (7)参数方程,请大家熟练掌握公式,后用化归的思想转化到普通方程即可求解.
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