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福建省北师大泉州附中2015届高三第二次月考数学(理)试题含答案


北师大泉州附中 2015 届高三第二次月考考试(20141226) 数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。
2 1、设集合 A ? ?x | x ? 1 ? 0? , B ? x ? Z | x ? 3 ? 0 ,则 ? CR A?

?

>?

B ?( D )

A、 ? ?1, 2?

B、 ??1,0,1?

C、 ? ?1,1?

D、 ?0,1?

2、两个非零向量 a , b 的夹角为 ? ,则“ a ? b ? 0 ”是“ ? 为锐角”的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3、已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 A.

S8 ? 17 ,则公比 q = ( D S4
C. 2 D. ?2



1 2

B. ?

1 2
B )

4、命题 p : “ ?x ? R, x2 ? 0 ” ,则(

A. p 是假命题 ; ? p : ?x ? R, x2 ? 0

B. p 是假命题; ? p : ?x ? R, x2 ? 0

C. p 是真命题; ? p : ?x ? R, x2 ? 0 D. p 是真命题; ? p : ?x ? R, x2 ? 0 5、 、已知 m 、 n 、 l 是三条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,给出以下命题: (1) 若 m ? ? , n// ? , 则 m / /n ; (2) 若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l , 则m ? n ; (3)若 n / / m , m ? ? ,则 n / /? ; (4)若 ? / /? , ? / /? ,则 ? / / ? . 其中正确命题的序号是( B ) A、1 B、2 C 、3 D、4 2? x 6、定义两种运算: m ? n ? m2 ? n2 , a ? b ? a ? b ,则函数 f ( x) ? 是( A ( x ? 2) ? 2 A、奇函数



B、偶函数 C、奇函数且为偶函数 D、非奇函数且非偶函数 ?2 x ? y ? 4 ? 7、若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,目标函数 z ? tx ? y 有最小值为 6,则 t 的值可以为 ?x ? 2 y ? 2 ? ( A ) A.3 B. ? 3 C .1 D. ?1 )

? ?1 ,x ? 0 ? 2 8、符 号 函 数 sgn( x ) ? ? 0 , x ? 0 ,则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln x 的零点个数为( C ? 1, x ? 0 ?
A、1 B、2 C、 3 D、4 9、 若直线 ax ? by ? 1 ? 0(a ? 0, b ? 0) 过曲线 y ? 1 ? sin(?x)(0 ? x ? 2) 的对称中心, 则 的最小值为( D )

1 2 ? a b

A、1 B、3 C、 2 ? 2 2 D、 3 ? 2 2 10、如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 AC1 上任取一点 P,以 A 为球心,

AP 为半径作一个球设 AP ? x ,记该球面与正方体表面的交线的长度和为 f ( x) ,则函数 f ( x) 的图象最有可能的是( B )

-1-

y

y

y

y

O

1

2

3 x

O

1

2

3 x

O

1

2

3 x

O

1

2

3 x

A、

B、

C、

D、

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)
y Dn Cn

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分、把答案填在答题卡相应位置。 11、若直线(m–1)x+3y+m=0 与直线 x+(m+1)y+2=0 平行,则实数 m=________.-2

40 12、一个几何体的三视图如右下图所示,则它的体积为 . 3 1 1 ,1 ) 处 数y ? ? x 的 图 像 和 其 在 点(? 的 切 线 与x 轴 所 围 成 区 域 的 面 积 为 _ ____. 13、函 3 14、如右图,矩形 An Bn C n Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另外两个顶点 C n , Dn 在函 1 数 f ? x ? ? x ? ( x ? 0) 的图象上.若点 Bn 的坐标为 ? n, 0 ? (n ? 2, 且 n ? N * ) , x A B C 记矩形 n n n Dn 的周长为 a n ,则 a 2 ? a3 ? ? ? a10 ? 。216 15、 已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底 面是正六边形, PA ? 平面 ABC .
则下列结论不正确 的序号是 ... ① CD // 平面 PAF ② DF ? 平面 PAF ③ CF // 平面 PAB ④ CF ? 平面 PAD ④

O An

Bn

x

第 12 题图 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 16 、 ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 若 直 线

y ? m(m ? 0)

是 函 数

f ( x) ? 3 cos 2 ? x ? sin ? x cos ? x ?
公差为 ? 的等差数列。 (Ⅰ)求 ? 和 m 的值;

3 并且切点横坐标依次成 (? ? 0) 的图象的一条切线, 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 的对边.若 ?

心,且 a ? 4 ,求 b ? c 的最大值。 解析:本小题主要考查三角函数的化简、三角函数图象和性质、三角变换、两角和差公式和 正弦定理等,考查运算求解能力,满分 13 分.

?A ? , 0 ? 是函数 f ( x) 图象的一个对称中 ?2 ?

1 ? cos 2? x 1 3 ? ? sin 2? x ? = cos(2? x ? ) ,……3 分 2 2 2 6 由 f(x)的图象与直线 y ? m(m ? 0) 相切,得 m ? 1 . …………4 分 2? =? , 所以 ? ? 1 , … 6 分 切点横坐标依次成公差为 ? 的等差数列,所以周期 T= 2?
(Ⅰ) f(x)= 3 ?
-2-

? ? ? ? ? 2k? , 得x ? ? k? , k ? Z ,7 分 6 2 6 A A ? ? ( , 0) 是函数 f ( x) 图象的一个对称中心,又 A 是三角形 ABC 内角, ? ? , A ? .……9 分 点 2 2 6 3 2 2 2 2 a=4,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc , b?c 2 ( ) , 即(b ? c)2 ? 3bc ? 16 ,又 bc ? 2 (b ? c)2 2 ? (b ? c) -3bc ? ,? (b ? c) ? 8 ……12 分 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)= cos(2 x ? ) , 令2x ?

? 6

当且仅当 b=c=a=4 时(b+c)max=8 ……13 分 17、 (本小题满分 13 分)小明下学期就要上大学了,他了解到大学生都要通过 CET4(国家英 语四级)考试,需要词汇量在高中的基础上,再增加大约 1100 个.他准备从新学期开始,利用 一学期(以 20 周计)完成词汇量的要求,早日通过 CET4 考试。设计了 2 套方案: 方案一:第一周背 50 个单词,以后每周都比上一周多背 2 个,直到全部单词背完; 方案二:每周背同样数量的单词,在同一周内,星期一背 2 个单词,星期二背的是星期一 的 2 倍,同样的规律一直背到星期五,周末两天休息。试问: (Ⅰ)按照方案一,第 10 周要背多少个单词? (Ⅱ)如果想较快背完单词,请说明选择哪一种方案比较合适? 解答: (Ⅰ)根据题意,方案一每周所背的单词成等差数列 ?an ? ,其中 a1 ? 50, d ? 2 ,则
a10 ? a1 ? (10 ? 1)d ? 50 ? (10 ? 1) ? 2 ? 68

从而,按照方案一,第 10 周要背 68 个单词。 (Ⅱ)因为在等差数列 ?an ? 中, d ? 2 ? 0 ,从而数列 ?an ? 是单调递增数列 设前 n 项和为 Sn ,计算得 S16 ? 1040, S17 ? 1122 按照方案二,每周从星期一到星期五背诵的单词成等比数列 ?bn ? , 其中 b1 ? 2, q ? 2 ,每周背诵的单词为 2+4+8+16+32=62 则到第 n 周背诵的单词量 Tn ? 62n ,计算得 T17 ? 1054, T18 ? 1116 所以,想较快背完单词,选择方案一比较合适. 18、 (本小题满分 13 分)已知过点 A (1,1)且斜率为 ? m ( m ? 0 )的直线 l 与 x , y 轴分别 交于 P, Q 两点,分别过 P, Q 作直线 2 x ? y ? 0 的垂线,垂足分别为 R, S , 求四边形 PRSQ 的 面积的最小值. 答案:设直线 l 方程为 y ? 1 ? ?m( x ? 1) ,则 P( 1 ? 从而 PR 和 QS 的方程分别为 x ? 2 y ?

m ?1 ? 0和x ? 2 y ? 2(m ? 1) ? 0 ,??5 分 m

1 ,0) , Q(0,1 ? m) ????2 分 m

2m ? 2 ? 1 ?
又 PR // QS ? RS ?

1 m

5

?

3 ? 2m ?

2 1 2? m , QS ? m ? 1 m ,又 PR ? 5 5 5

? 四边形 PRSQ 为梯形????????????9 分 1 1 9 1 1 9 1 18 ? (2 ? ) 2 ? ? ? S PRSQ ? (m ? ? ) 2 ? 5 m 4 80 5 4 80 5 18 ?????? 13 分 ? 四边形 PRSQ 的面积的最小值为 5
19、 (本小题满分 13 分)如图, AB 是半圆 O 的直径,C 是半圆 O 上除 A 、 B 外的一个动点,

-3-

DC 垂直于半圆 O 所在的平面, DC ∥ EB , DC ? EB , AB ? 4 , tan ?EAB ?
(Ⅰ)证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; (Ⅱ)当三棱锥 C ? ADE 体积最大时,求二面角 D ? AE ? B 的余弦值。

1 D 。 4
C O ? O
E B

A

(Ⅰ)证明:因为 AB 是直径,所以 BC ? AC ??????1 分, CD ? ABC CD ? BC 因为 平面 ,所以 ??????2 分, 因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD ??????3 分 因为 CD // BE , CD ? BE ,所以 BCDE 是平行四边形, BC // DE ,所以 DE ? 平面 ACD ???4 分, 因为 DE ? 平面 ADE ,所以平面 ADE ? 平面 ACD ??????5 分

1 ?1 ??????6 分, 4 1 1 1 由(Ⅰ)知 VC ? ADE ? VE ? ACD ? ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE 3 3 2 1 1 1 4 ? ? AC ? BC ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? ,当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时等号 6 12 12 3
(Ⅱ)依题意, EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ? 成立 ??8 分 如图所示,建立空间直角坐标系,则 D(0, 0,1) , E(0, 2 2,1) , A(2 2,0,0) B(0, 2 2,0) , 则 AB ? (?2 2, 2 2,0) ,BE ? (0,0,1) ,DE ? (0, 2 2,0) ,DA ? (2 2,0, ?1,) ????? 9分 设面 DAE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,

z
D

? ? ?n1 ? DE ? 0 ?2 2 y ? 0 ,即 ? ? n1 ? (1,0,2 2) ,????10 分 ? n ? DA ? 0 2 2 x ? z ? 0 1 ? ? ? ? ? ?n 2 ? BE ? 0 设面 ABE 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , ? , n ? AB ? 0 2 ? ? ? ?z ? 0 即? ? ??2 2 x ? 2 2 y ? 0

o
A

C

E

O

?

B

x

y

? n2 ? (1,1,0) ,
? cos n1 , n2 ? n1 n2 n1 n 2 ? 1 2 ? 6 2 9
?????12 分

由图知二面角 D ? AE ? B 的平面角为钝角

? 二面角 D ? AE ? B 的余弦值为 ?

2 。 ????????13 分 6 3 2 20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? bx , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ) 。 (Ⅰ)若函数 f ( x) 存在极值点,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的单调区间;

-4-

? f ( x), x ? 1 , P ( x1 , F ( x1 ) ), Q ( x2 , F ( x2 ) )为曲 ? g ( x) ? x, x ? 1 线 y= F ( x) 上的两动点,O 为坐标原点,能否使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,
(Ⅲ)当 b ? 0 且 a ? 0 时,令 F ( x) ? ? 且斜边中点在 y 轴上?请说明理由。

解: (Ⅰ) f ?( x) ? ?3x2 ? 2 x ? b ,若 f ( x) 存在极值点,则 f ?( x) ? ?3x2 ? 2 x ? b ? 0 有两个 不相等实数根。所以 ? 4 ? 12b ? 0 , ?????2 分 1 解得 b ? ? ?????3 分 3 a a?x (Ⅱ) g ?( x) ? ? 1 ? ?????4 分 x x 当 a ? 0 时, ? a ? 0 ,函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? 0, ??? ;?????5 分
当 a ? 0 时 , ? a ? 0 , 函 数 g ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 ? 0, ?a ? , 单 调 递 增 区 间 为

? ?a, ??? 。?????7 分
? ? x 3 ? x, x ? 1 (Ⅲ) 当 b ? 0 且 a ? 0 时, F ( x) ? ? , 假设使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直 ? a ln x, x ? 1 角三角形,且斜边中点在 y 轴上。则 OP ? OQ ? 0 且 x1 ? x2 ? 0 。?????8 分
不妨设 x1 ? t ? 0 。故 P(t , F (t )) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) 。 OP ? OQ ? ?t 2 ? F (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 , (*) 该方程有解 ??????????????????9 分

3 2 2 3 2 3 2 当 0 ? t ? 1 时 , 则 F (t ) ? ?t ? t , 代 入 方 程 (*) 得 ?t ? (?t ? t )(t ? t ) ? 0 即

t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,而此方程无实数解; ??????????10 分 当 t ? 1 时, OP ? (1,0), OQ ? (?1, 2) 则 OP ? OQ ? 0 ; ????11 分 2 3 2 当 t ? 1 时 , 则 F (t ) ? a ln t , 代 入 方 程 (*) 得 ?t ? a ln t (t ? t ) ? 0 即 1 ? (t ? 1) ln t , ?????12 分 a 1 x) n ? l x ? 1 ?? 0 设 h( x) ? ( x ? 1) ln x( x ? 1) , 则 h?( 在 ?1, ?? ? 上恒成立。 ? h( x) 在 ?1, ?? ? x 上单调递增,从而 h( x) ? h(1) ? 0 ,则值域为 ?0, ??? 。

? 当 a ? 0 时,方程

1 ? (t ? 1) ln t 有解,即方程 (*) 有解。????13 分 a 综上所述,对任意给定的正实数 a ,曲线上总存在 P, Q 两点,使得 POQ 是以 O 为直角顶点
的直角三角形,且斜边中点在 y 轴上。????????????14 分 21、本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分、如 果多做,则按所做的前两题记分。 (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知 ? ? ? ? 为矩阵 A ? ? 1

? 2? ? ?

(Ⅰ) 求实数 a, ? 的值;

?1 a ? ? ? 属于特征值 ? 的一个特征向量. ??1 4 ? ? ? ?

-5-

(Ⅱ)求矩阵 A 的逆矩阵 A .

?1

?1 a ? ? 2 ? ? ?? ? ? 解: (Ⅰ) 由 ? ?= ??1 4 ? ?? ? ? ?? ?1 ? ?1 2 ? ? ? ? det A ? 6 ? ?1 4? ? ? ?

? 2? ? ? 得: ?2 ? a ? 2? ? a ? ? ? 2 ?????4 分 ? ? ? ?? 2 ? 4 ? ? ?1 ? ? ?

(Ⅱ) A ? ?

1? ?2 ? 4 ? 2? ? 3 ? 3 ? ? ? ? 1 ? A ?1 ? ?? ?????7 分 ? ? 1? det A ?1 1 ? ? 1 ? ? ? ?6 6? ? ?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程。 以直角坐标系的原点 O 为极点, 已知点 P 的直角坐标为 (1,?5) , 点M x 轴的正半轴为极轴. 的极坐标为 ( 4,

? ? ) .若直线 l 过点 P ,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心,半径为 4 . 2 3

(Ⅰ )求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ )试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. 解析: 本小题主要考查圆的参数方程、 直线与圆的位置关系等基础知识, 考查运算求解能力. 满 分 7 分.

1 ? x ? 1? t ? 2 ? , (t 为参数)---------2 分 (Ⅰ )直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?5 ? 3 t ? 2 ? 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8 sin ? . ---------4 分 ? (Ⅱ )因为 M ( 4, ) 对应的直角坐标为(0,4)直线 l 化为普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 ,圆 2 心到 l 的距离 | 0?4?5? 3 | 9? 3 d? ? ? 4 ? r ,所以直线 l 与圆 C 相离.……7 分 2 3 ?1
(3)(本小题满分 7 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知实数 x, y , z 满足 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 。 (Ⅰ )求 x ? 2 y ? 2 z 的取值范围; (Ⅱ )若不等式 a ? 3 ?

a ? x ? 2 y ? 2 z 对一切实数 x, y , z 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2

解析:本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力.满分 7 分. (Ⅰ )由柯西不等式 9 ? (12 ? 22 ? 22 ) ? ( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? (1? x ? 2 ? y ? 2 ? z)2 ,即

? 3 ? x ? 2 y ? 2z ? 3 , ?x y z 1 2 ? ? ? 0, 当且仅当 ? 即x ? ,y?z? 时, x ? 2 y ? 2 z 取得最大值 3. ?1 2 2 5 5 2 2 2 ? x ? y ? z ? 1, ?

-6-

?x y z 2 1 当且仅当 ? 1 ? 2 ? 2 ? 0, 即 x ? ? ,y ? z ?? 时, x ? 2 y ? 2 z 取得最小值 ? 3 , ?

所以 x ? 2 y ? 2 z 的取值范围是 [?3,3] .

? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, ?

5

5

a ? x ? 2 y ? 2 z 对一切实数 x, y , z 恒成立, 2 ?a ? 3, ?a ? 3, a ? ? 当且仅当 | a ? 3 | ? ? 3 成立,即 ? a 或 ? 3a 解得 a ? 0 ,或 a ? 4 , 2 ? ? 3 ? 3 , ? 3 ? 3 , ? ? ? 2 ?2 所以实数 a 的取值范围是 (??,0] ? [4,??) . ---- (7 分)
(Ⅱ )由(Ⅰ )得,不等式 | a ? 3 | ?

-7-


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