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2013届高考正弦定理和余弦定理练习题


正弦定理和余弦定理练习题 一、选择题 1. 已知△ABC 中,a=c=2,A=30° ,则 b=( A. 3 B. 2 3 D. 3+1 )

C. 3 3 答案:B

解析:∵a=c=2,∴A=C=30° ,∴B=120° . 由余弦定理可得 b=2 3. 2. △ABC 中,a= 5,b= 3,sinB= A. 1 个 C. 3 个 答

案:B 解析:∵asinB= 10 , 2 2 ,则符合条件的三角形有( 2 )

B. 2 个 D. 0 个

∴asinB<b= 3<a= 5, ∴符合条件的三角形有 2 个. 3.(2010· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc, sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° C.120° 答案:A 解析:利用正弦定理,sinC=2 3sinB 可化为 c=2 3b. 又∵a2-b2= 3bc, ∴a2-b2= 3b×2 3b=6b2,即 a2=7b2,a= 7b. b2+c2-a2 在△ABC 中,cosA= 2bc = b2+?2 3b?2-? 7b?2 3 = , 2 2b×2 3b ) B.60° D.150°

∴A=30° . 4.(2010· 湖南卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120° , c= 2a,则( A.a>b C.a=b ) B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

答案:A c a 解析:由正弦定理,得 = , sin120° sinA 3 a· 2 6 1 ∴sinA= = > . 2a 4 2 ∴A>30° .∴B=180° -120° -A<30° .∴a>b. 5. 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A. C. 5 18 3 2 B. D. 3 4 7 8 )

答案:D 解析:方法一:设三角形的底边长为 a,则周长为 5a, ?2a?2+?2a?2-a2 7 ∴腰长为 2a,由余弦定理知 cosα= = . 8 2×2a×2a 方法二:如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,

a α 1 则 AC=2a,CD= ,∴sin = , 2 2 4 α ∴cosα=1-2sin2 2 1 7 =1-2× = . 16 8 6. (2010· 泉州模拟)△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积等于( A. C. 3 2 3 或 3 2 B. D. 3 4 3 3 或 2 4 )

答案:D sinC sinB 解析:∵ = , 1 3 ∴sinC= 3· sin30° = 3 . 2

∴C=60° C=120° 或 .

1 3 当 C=60° 时,A=90° △ABC= ×1× 3= , ,S 2 2 1 3 当 C=120° 时,A=30° △ABC= ×1× 3sin30° ,S = . 2 4 即△ABC 的面积为 二、填空题 2π 7.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,∠C= ,则 a=________. 3 答案:1 b c 1 解析:由正弦定理 = ,即 = sinB sinC sinB π π 又 b<c,∴B= ,∴A= .∴a=1. 6 6 8.(2010· 山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2, sinB+cosB= 2,则角 A 的大小为________. π 答案: 6 解析:∵sinB+cosB= 2, π ∴sin(B+ )=1. 4 π 又 0<B<π,∴B= . 4 由正弦定理,知 2 2 1 = ,∴sinA= . sinA sinB 2 3 1 ,sinB= . 2π 2 sin 3 3 3 或 . 2 4

π 又 a<b,∴A<B,∴A= . 6 1 9. (2010· 课标全国卷)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120° ,AD 2 =2.若△ADC 的面积为 3- 3,则∠BAC=________. 答案:60° 1 3 解析:S△ADC= ×2×DC× =3- 3, 2 2 解得 DC=2( 3-1), ∴BD= 3-1,BC=3( 3-1). 在△ABD 中,AB2=4+( 3-1)2-2×2×( 3-1)×cos120° =6, ∴AB= 6.

在△ACD 中,AC2=4+[2( 3-1)]2-2×2×2( 3-1)×cos60° =24-12 3, ∴AC= 6( 3-1), AB2+AC2-BC2 则 cos∠BAC= 2AB· AC = 6+24-12 3-9?4-2 3? 1 = , 2 2× 6× 6×? 3-1?

∴∠BAC=60° . 三、解答题 10. 如图,△OAB 是等边三角形,∠AOC=45° ,OC= 2,A、B、C 三点共线.

(1)求 sin∠BOC 的值; (2)求线段 BC 的长. 解:(1)∵△AOB 是等边三角形,∠AOC=45° , ∴∠BOC=45° +60° , ∴sin∠BOC=sin(45° +60° ) =sin45° cos60° +cos45° sin60° = 2+ 6 . 4 OC BC = , sin∠OBC sin∠BOC OC sin∠OBC

(2)在△OBC 中,

∴BC=sin∠BOC× =

2+ 6 2 3 × =1+ . 4 sin60° 3

5 11. (2010· 全国Ⅱ卷)△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sinB= ,cos∠ADC= 13 3 ,求 AD. 5 3 π 解:由 cos∠ADC= >0 知 B< , 5 2 12 4 由已知得 cosB= ,sin∠ADC= , 13 5 从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)

=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB 4 12 3 5 33 = × - × = . 5 13 5 13 65 AD BD 由正弦定理得 = , sinB sin∠BAD 5 33× 13 BD· sinB AD= = =25. 33 sin∠BAD 65 12. (2010· 安徽卷)设△ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长,并 π π 且 sin2A=sin?3+B?sin?3-B?+sin2B. ? ? ? ? (1)求角 A 的值; → → (2)若AB· =12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c). AC 解:(1)因为 sin2A=? 3 1 ? ? 2 cosB+2sinB?

? 3cosB-1sinB?+sin2B=3cos2B-1sin2B+sin2B=3, 4 4 4 2 ?2 ?
3 所以 sinA=± . 2 π 又 A 为锐角,所以 A= . 3 → → (2)由AB· =12,可得 cbcosA=12.① AC π 由(1)知 A= ,所以 cb=24.② 3 由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcosA,将 a=2 7及①代入,得 c2+b2=52,③ ③+②×2,得(c+b)2=100, 所以 c+b=10. 因此 c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两个根. 解此方程并由 c>b 知 c=6,b=4.


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