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高中数学 3.1数系的扩充与复数的概念课件 新人教A版选修1-2


创设情景,探究问题 自然数 数 系 的 扩 充 整数 有理数 因度量的需要 R Q Z N 实数 ? 古老的问题:“正方形的对角线是个‘奇怪’的数” D D C F 1 1 x 1 A x 1 1 C A 1 B B x E S ?BEFD ? 2S ? ABCD 中无解 BD 2 ? 2 AB 2 设BD=X 2 x ? 2 ? 0 在有理数集 则可用反证法证明 合情推理,类比扩充 我们知道一元二次方程 x2 +1=0在实数集范围内 无解. 思考? x ? ?1 2 我们能否将实数集进行扩充,使得它在新的数集中, 该问题能得到圆满解决呢? 引入一个新数: i 满足 i ? ?1 2 引入新数,完善数系 现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位, 并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算 时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率 和分配率)仍然成立。 复数有关概念 1、定义:形如a+bi(a∈R,b∈R)的数叫复数, 其中i叫虚数单位。 注意:①复数通常用字母z表示,即复数a+bi (a∈R,b∈R)可记作:z =a+bi (a∈R,b∈R), 把这一表示形式叫做复数的代数形式。 ②复数Z=a+bi (a∈R, b∈R )把实数a,b叫做 复数的实部和虚部。 ③全体复数所组成的集合叫复数集,记作C。 讨论 观察复数的代数形式 复数的分类? z ? a ? bi(a ? R, b ? R) 实部 虚部 其中 称为虚数单位。 当a= 0 且b= 0 时,则z=0 当b= 0 时,则z为实数 当b ≠0 时,则z为虚数 当a= 0 且b ≠0时,则z为纯虚数 i 复数的分类 ?实数(b ? 0) ? 2、复数a+bi ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ? 思 考? 3.复数集,虚数集,实数 集,纯虚数集之间的关 系? 虚数集 复数集 ? R? C 纯虚数集 实数集 即时训练,巩固新知 1、说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数,哪些 是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。 2? 7 i 2 i 1? 3 ? 0.618 ? 2 i 7 0 3 ? 9 2i 5 i +8 2、判断下列命题是否正确: (1)若a、b为实数,则z=a+bi为虚数 (2)若b为实数,则z=bi必为纯虚数 (3)若a为实数,则z= a 一定不是虚数 典例讲解,变式拓展 例1:当m为何实数时,复数 z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i 2 2 是 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数 m2 ? m ? 2 2 z ? ? ( m ? 1)i 当实数m= 变式1:复数 m ?1 z为纯虚数;当实数m= 时z为零。 时 变式练习: 实数m取什么值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 解:(1)当m-1 =0 ,即m=1 时,复数z 是实数. (2)当 m-1≠0 ,即m≠1 时,复数z 是虚数. (3)当 ?m ? 1 ? 0 ? ?m ? 1 ? 0 即m ? ?1 时,复数z 是 纯虚数. 复数相等的定义 如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就 说这两个复数相等. 根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数 ?a

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