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广东省深圳市高级中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷


深圳市高级中学 2015-2016 学年第一学期期末测试

高二理科数学
命题人:张红兵 审题人:阮飞燕 本试卷由两部分组成。第一部分:期中前基础知识和能力考查,共91分;第二部分:期中后知识 考查,共59分。全卷共计150分。考试时间为120分钟。 注意事项: 1、答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、每小

题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后, 再涂其它答案,不能答在试题卷上。 3、考试结束,监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。 第1卷(本卷共计91分) 一.选择题:共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的一项. 1. 若 a ? 2 ,集合 B ? {x | x ? 3 3} ,则( A. B ? a ) C. {a} ? B D. a ? B

2. 如图,在复平面内,复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 OA, OB ,则复数 值是( ) B. ? 2 ? 2i C. 1 ? 2i

z1 的 z2

A. ? 1 ? 2i

D. 1 ? 2i

3. 若 ?ABC 的三边长分别为 3 , 2 , 5 ,则 ?ABC 的形状是(
A. —定是锐角三角形 C. 一定是钝角三角形 B.—定是直角三角形

)

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

4. 设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则 m ? A.m//n, n // ? , ? ? ? C.m//n, n ? ? , B. n // ? , ? // ? D. m ? n , n ? ? , ? ? ?

? 的—个充分条件是(

)

? // ?

5. 若点 P(x,y)坐标满足

,则点 P 的轨迹图象大致是(

)

1

? x? y ?0 ? 6.若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 | x ? 3 y | 的最大值为( ? 0 ? x ?1 ?
A.6 7. 椭圆 B.5 C.4

)

D.3

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的两焦点分别为 F1 、 F2 ,以 F1 F2 为边作正三角形,若椭圆恰好 a 2 b2
) D. 4 ? 2 3

平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为( A.

1 2

B.

3 2

C. 3 ? 1

二.填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分.把答案填在答卷卡的相应位置上) 8. 已知 f

? x ? 是奇函数, g ? x ?
2

? f ? x ? ? 4 , g ?1? ? 2 ,则 f ? ?1? 的值是
.

.

2 9. 经过双曲线 x ? y ? 1 的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是

9

16

三.解答题(本大题共 4 小题,共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 10. (本题满分 10 分)已知数列 ? xn ? 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? 2n p ? nq ( n ? N , p, q 为常数) ,
?

且 x1 , x4 , x5 成等差数列,求: (Ⅰ) p, q 的值; (Ⅱ)数列 ? xn ? 的前 n 项的和 S n 的公式.

11. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (sin2x ? cos2x) ? 2sin 2x .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x ) 的图象是由 y ? f ( x) 的图象向右平移 长度得到的,当 x ? [ 0 ,

? ]时,求 y ? g ( x ) 的最大值和最小值. 4

? 个单位长度,再向上平移 1 个单位 8

P

12. (本题满分 12 分)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥ BC,BC=2AD=4,AB=CD= 10 . (Ⅰ) 证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ) 若二面角 A-PC-D 的大小为 60° ,求 AP 的值.
B C 2 A D

13. (本题满分 12 分)如图,一抛物线型拱桥的拱顶 o 离水面高 4 米,水面宽度 AB ? 10 米.现有一竹 排运送一只货箱欲从桥下经过,已知货箱长 20 米,宽 6 米,高 2.58 米(竹排与水面持平),问货箱能否 顺利通过该桥?

A

O 4

B

10

第Ⅱ卷(本卷共计59分) 四.选择题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的一项. 14. 由数字 2,3,4,5,6 所组成的没有重复数字的四位数中 5,6 相邻的奇数共有( A.10 个 15. 记 a ? 1.8 A. a ? b
2016

)

B.14 个

C.16 个

D.18 个 )

? 0.2 2016 ,b ? 2 2016 ,则它们的大小关系为(
B. a ? b C. a ? b ) D.3
2

D.以上均有可能

16. 方程 x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 4 ? 0 的实根的个数为( A.0 B.1 C.2

17. 设 f(x)是定义在正整数集上的函数, 且 f(k)满足: 当“f(k)≥k 成立时, 总可推出 f(k+1)≥(k +1) 成立”.那么下列命题总成立的是(
2

)
2

A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1,均有 f(k)≥k 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k<5,均有 f(k)≥k 成立 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8,均有 f(k)<k 成立 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4,均有 f(k)≥k 成立 18. 路灯距地平面为 8 m,一个身高为 1.6 m 的人以 84 m/min 的速率从路灯在地面上的射影点 C 处, 沿某直线离开路灯,那么人影长度的变化速率为 v 为( ) A.
7 m/s 20
2 2 2

B.

7 m/s 22

C.

7 m/s 23

D.

7 m/s 24

五.填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分.把答案填在答卷卡的相应位置上)
3

19. 某纺织厂的一个车间有技术工人 m 名 ( m? N?) , 编号分别为 1、 2、 3、 ??、 (n? N? ) m ;有 n 台

n .定义记号 ai j : 织布机, 编号分别为 1、 2、 3、 ??、 若第 i 名工人操作了第 j 号织布机, 规定 ai j ? 1 ;
否则, 若第 i 名工人没有操作第 j 号织布机,规定 ai j ? 0 .则等式 a 41 ? a 42 ? a 43 ? ? ? a 4 n ? 5 的 实际意义是:第 名工人共操作了 台织布机.

20. 如图, 线段 AB =8, 点 C 在线段 AB 上, 且 AC =2,P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D . 设

D A

CP = x , △ CPD 的面积为 f ( x) .则 f ( x) 的定义域为
f ' ( x) ? 0 的解是
.


C
P B

六.解答题(本大题共 2 小题,共 24 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. (本题满分 10 分)计算下列积分: (1)

?

2

?1

2 | x ? 1 | dx ; (2) ? 1 ? x dx . 0

1

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? b, g ( x) ? a ln x .
3 2

(I)若 f ( x) 在 x ? ??

3 ? 1 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ?
2

(II)若对任意 x ? ?1, e? ,都有 g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(I)的条件下,设 F ( x) ? ?

? f ? x ?, x ? 1 .对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ( x) 上是否存在 ? g ? x ?, x ? 1

两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形( O 为坐标原点) ,且此三角形斜边中点 在 y 轴上?请说明理由.

高二理科数学参考答案
一.选择题:每小题 5 分,满分 60 分 1-12 DAACB BCBBC DA 二.填空题:每小题 5 分,满分 20 分 13. 2 14. x ? y ? 2 x ? 1 y ? 15 ? 0
2 2

4

15.4,5

16. (2, 4) ; 3
4

(说明:15,16 两小题,第一空 2 分,第二空 3 分) 三.解答题:10+12+12+12+10+14=70 17. 解: (Ⅰ)由 x1 ? 3, 得 2 p ? q ? 3 , (2 分)又 x ? 2 p ? 4q , x ? 2 p ? 5q
4

5

4

5

得 3 ? 2 p ? 5q ? 2 p ? 8q , (4 分)解得 p=1,q=1 (6 分)
5 5

(Ⅱ) .S ? (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? 2
2 n n

n ?1

?2?

n(n ? 1) . (10 分) 2
2 sin(4x ?

18. 解: (Ⅰ) f ( x) ? (sin2x ? cos2x) 2 ? 2sin 2 2x = sin 4x ? cos 4x ?

? (4 分)所以 )
4

f ( x) 的最小正周期为

? (6 分) 2

(Ⅱ)依题意 y ? 因为 0 ? x ? 当 4x ? 当 4x ?

g(x ) ?

2 sin(4(x ?

?
8

)?

?

? ) ? 1 ? 2 sin(4 x ? ) ? 1 . (9 分) 4 4

? ? ? 3? ,所以 ? ? 4 x ? ? . 4 4 4 4

? ? 3? 时, g ( x) 取最大值 2 ? 1 ; ? ,即 x ? 4 2 16 ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 取最小值 0 .(12 分) 4 4

19. 解: (Ⅰ) 设 O 为 AC 与 BD 的交点,作 DE⊥BC 于点 E.由四边形 ABCD 是等腰梯形得 CE=

BC ? AD =1, DE= DC 2 ? CE 2 =3,所以 BE=DE,从而得 2
∠DBC=∠BCA=45° ,所以∠BOC=90° ,即 AC⊥BD. 由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC. (6 分) (Ⅱ) 作 OH⊥PC 于点 H,连接 DH.由(Ⅰ)知 DO⊥平面 PAC,故 DO⊥PC.所以 PC⊥平面 DOH,从而得 PC⊥OH,PC⊥DH.故 ∠DHO 是二面角 A-PC-D 的平面角,所以∠DHO=60° .在 Rt△DOH 中,由 DO= 2 ,得 OH= =
B

P

A O E

H

D

C

PA 6 .在 Rt△PAC 中, PC 3

x OH 3 3 22 3 22 .设 PA=x,可得 = .解得 x= ,即 AP= . (12 分) 2 OC 6 11 11 x ? 18

(用空间向量方法的,比照给分) 20. 解:以 O 为坐标原点,以过 O 且与水面平行的直线为 x 轴, 以过 O 的铅垂线为 y 轴建立平面直角 坐标系. (2 分) 则抛物线方程为 x ? ?2 py ,点 (5,?4) 在抛物线上,解得 x 2 ? ?
2

25 y (7 分)货 4

箱的长边为前进方向,宽边和 x 轴重合,从桥洞中心行驶,此时能允许通过的最大高度为 2.56<2.58, 所以,货箱不可以通过. (12 分) (说明:与此建系方案不一样的比照给分)
5

21. 解: (1)

5 π (5 分) (2) (10 分) 4 2

22. 解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? ? x3 ? x 2 ? b ,得 f ? ? x ? ? ?3x 2 ? 2 x ? ? x ? 3x ? 2 ? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 或 列表如下:
x

2 . 3 1 2
? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?
?

?

0 0 极小值

? 2? ? 0, ? ? 3?
?

2 3

?2 ? ? ,1? ?3 ?
?

f ?? x?

0 极大值

f ? x?

1 f (? ) 2

递减

递增

递减

1 3 2 4 1 2 1 3 3 由 f (? ) ? ? b , f ( ) ? (4 ? b ,∴ f (? ) ? f ( ) ,即最大值为 f (? ) ? ? b ? ,∴ b ? 0 . 2 8 3 27 2 3 2 8 8

分) (Ⅱ)由 g ? x ? ? ? x 2 ? ? a ? 2 ? x ,得 ? x ? ln x ? a ? x 2 ? 2 x .

? x ? ?1, e? ,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,∴ ln x ? x,即x ? ln x ? 0 ,
∴a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ) min . 恒成立,即 a ? ( x ? ln x x ? ln x

令 t ? x? ?

( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) x2 ? 2 x , x ??1, e ?? ,求导得 t ' ( x) ? x ? ln x ( x ? ln x) 2

当 x ? ?1, e? 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1, x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 t ? ? x ? ? 0 , ∴ t ? x ? 在 ?1, e? 上为增函数,∴ tmin ? x ? ? t ?1? ? ?1 ,∴ a ? ?1 . (9 分)
?? x3 ? x 2 , x ? 1 (Ⅲ)存在.由条件, F ? x ? ? ? , ?a ln x, x ? 1

假设曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧, 不妨设 P ? t , F ? t ? ? ? t ? 0 ? ,则 Q ? ?t , t 3 ? t 2 ? ,且 t ? 1 .
? ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形, ??? ? ???? 2 3 2 ∴ OP ? OQ ? 0 ,∴ ? t ? F (t )(t ? t ) ? 0 ? ?*? ,

是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 时是否有解. ①若 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t 2 ? ? ?t 3 ? t 2 ?? t 3 ? t 2 ? ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 , 此方程无解;
6

②若 t ? 1 时, ?*? 方程为 ?t 2 ? a ln t ? ? t 3 ? t 2 ? ? 0 ,即
1 设 h ? t ? ? ? t ? 1? ln t ? t ? 1? ,则 h? ? t ? ? ln t ? ? 1 , t

1 ? ? t ? 1? ln t , a

显然,当 t ? 1 时, h? ? t ? ? 0 ,即 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, ∴ h ? t ? 的值域为 ? h ?1? , ?? ? ,即 ? 0, ?? ? ,∴当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解. ∴对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上总存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点) 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. (14 分)

7


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