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广东省惠州市2016年高三第三次调研考试文科数学(含答案)


惠州市 2016 届高三第三次调研考试



学(文科)

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己 的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后

,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)复数 z ? (A) 1 ? 2i

2i ? i 3 ( i 为虚数单位)的共轭复数为( ) i ?1 (B) i ? 1 (C) 1 ? i (D) 1 ? 2i

(2)已知集合 A ? ?0,1?, B ? z z ? x ? y, x ? A, y ? A ,则 B 的子集 个数为( .. (A)3
1.2

?

?



(B)4
?0.8

(C)7

(D)8 )

?1? (3)已知 a ? 2 , b ? ? ? ?2?
(A) c ? b ? a

, c ? 2 log5 2 ,则 a, b, c 的大小关系为( (C) b ? a ? c

(B) c ? a ? b

(D) b ? c ? a )

(4) 已知向量 a ? 1, 3 , 若向量 b 在 a 方向上的投影为 3, 则实数 m= ( b ? ? 3, m ? , (A)3 (B) ?3 (C) 3 (D) ?3 3 )

?

?

?

?

?

?

(5)设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ?a10 ?a5 ? 6 ,则 S11 =( (A)55 (B)66 (C)110 (D)132

(6)已知 sin ? ? cos ? ?

4 ? (0 ? ? ? ) ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 3 4



(A)

2 3

(B) ?

2 3

(C)

1 3

(D) ?

1 3

(7)已知圆 O : x ? y ? 4 上到直线 l : x ? y ? a 的距离等于 1 的点恰有 3 个,
2 2

则实数 a 的值为( (A) 2 2 (C) ? 2 或 2

) (B) 2 (D) ?2 2 或 2 2

开始

i ? 1, S ? 0
ai ? i ? cos i? ?1 2
i =i ? 1


(8) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 S 的值是( (A)1007 (C)2016
2

) (B)2015 (D)3024

S ? S ? ai
i ? 2016?


y2 ? 1与抛物线 y 2 ? 8x 的 (9)已知双曲线 x ? m
一个交点为 P , F 为抛物线的焦点,若 PF ? 5 , 则双曲线的渐近线方程为( (A) x ? 3 y ? 0 (C) 2 x ? y ? 0 ) (B) 3x ? y ? 0 (D) x ? 2 y ? 0

输出

S

结束

(10)记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? (1 ? (A)

2 )an ? 4 ,则 an =( n
n



n 2n

2 (B) n?

n ?1

2 (C) n?

(D)

n 2 n ?1
3

(11)某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部 分为半个圆弧,则该几何体的表面积为( (A) 16 ? 6 2 ? 4? (B) 16 ? 6 2 ? 3? (C) 10 ? 6 2 ? 4? (D) 10 ? 6 2 ? 3? )

2 1
正视图

2
1
侧视图

2

3
俯视图

(12)如图,偶函数 f ?x ? 的图象如字母 M,奇函数 g ?x ? 的图象如字母 N,若方程

f ?g ?x ?? ? 0 , g ? f ?x ?? ? 0 的实根个数分别为 m 、 n ,则 m ? n =(
(A)18 (C)14 (B)16 (D)12
1
?2 ?1 O ?1 y



y

2

2

?1
x

1

O

1 x

?2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答. 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分. (13)若点 ? a, 27 ? 在函数 y ? x3 的图象上,则 tan (14)已知 a ? 0, b ? 0, 2a ? 3b ? 6 ,则

?
a

的值为



3 2 ? 的最小值为 . a b (15)某校有 A, B 两个文学社团,若 a , b, c 三名学生各自随机选择参加其中的一个社团,则
三人不在同一个社团的概率为 .

(16)已知三棱锥 S ? ABC 所在顶点都在球 O 的球面上,且 SC ? 平面 ABC , 若 SC ? AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 120? ,则球 O 的表面积为 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D = 2? B ,且 AD ? 1 , CD ? 3 , cos B ? (Ⅰ)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

3 . 3
D

A

B

C

(18) (本小题满分 12 分) 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字, 一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商) .为 了调查每天微信用户使用微信的时间, 某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、 女性用 户各 50 名,将男性、女性使用微信的时间分成 5 组: ?0,2? , ?2,4? , ?4,6? , ?6,8? , ?8,10? 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)根据女性频率直方图估计女性使用微信的平均时间; (Ⅱ)若每天玩微信超过 4 小时的用户列为“微信控” ,否则称其为“非微信控” , 请你根据已知条件完成 2? 2 的列联表,并判断是否有 90﹪的把握认为“微信控”与“性别” 有关? 微信控 男性 女性 合计 参考公式: K 2 ? 参考数据: 非微信控 合计 50 50 100

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . ? a ? b?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?

P( K 2 ? k0 )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0
(19) (本小题满分 12 分)

如图,已知等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC , AB ? AD ?

1 BC ? 2, E 是 BC 的中点, 2

AE ? BD ? M ,将 ?BAE 沿着 AE 翻折成 ?B1 AE .

(Ⅰ)求证: CD ? 平面 B1DM ; (Ⅱ)若 B1C ? 10 ,求棱锥 B1 ? CDE 的体积.

B1

A M B E

D
A M E

C

D

C

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长 2 a b 3

半轴为半径的圆与直线 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 标准方程; (Ⅱ)已知点 A, B 为动直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴上 是否存在点 E ,使 EA ? EB 为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值,若不 存在,说明理由.

(21) (本小题满分 12 分) 函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? ?1 ? a ?x ? ln x?a ? 0? . 2

(Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 的单调性;
2 (Ⅱ)当 a ? 0 时,方程 f ?x ? ? mx在区间 ? ?1, e ? ? 内有唯一实数解,

求实数 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题计分,答题时 请写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,以 D 为圆心、 DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的 半圆 O 交于点 F ,连结 CF 并延长交 AB 于点 E . (Ⅰ)求证: AE ? EB ; (Ⅱ)求 EF ? FC 的值.
E F A D

B

O

C

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? y ? 2 ? sin ?

? sin ?? ?

? ?

??

(其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合,极轴与直角坐 ?? 2. 4?

标系 x 轴正半轴重合,单位长度相同.) (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是直线 l 与 x 轴的交点, N 是曲线 C 上一动点,求 | MN | 的最大值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? ?2 ; (Ⅱ)对任意 x ? ?a,?? ? ,都有 f ( x) ? x ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

惠州市 2016 届高三第三次调研考试
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 D

文科数学参考答案:

9 B

10 D

11 C

12 A

1.【解析】 z ?

2i 2i(i ? 1) ? i3 ? ? i ? ?i ? 1 ? i ? 1 ? 2i ,其共轭复数为 1 ? 2i ,选 A . i ?1 (i ? 1)(i ? 1)

2.【解析】由题意可知,集合 B ? z z ? x ? y, x ? A, y ? A ? ?0,1,2?,故选 D. 3. 【解析】 y ? 2x 在 R 上是增函数, a ? 21.2 , b ? ? ?

?

?

?1? ?2?

?0.8

? 20.8 ,1.2 ? 0.8 ? 0,

? a ? b ? 20 ? 1,再由 c ? 2log5 2 ? log5 4 ? log5 5 ? 1, ? a ? b ? c ,故选 A.

? ? a? b 3 ? 3m 4. 【解析】由 ? ? ? 3, 解得 m ? 3 ,选 C. |a | 2
5. 【解析】由 a1 ?a10 ?a5 ? 6 得: a6 ? 6 , S11 ? 6.【解析】 sin ? ? cos ? ?

4 ? 16 (0 ? ? ? ) ,所以两边平方可得: 1 ? 2sin ? ? cos ? ? , 3 4 9 ? 7 7 2 2 即 sin ? ? cos ? ? ,所以 (sin ? ? cos ?)=1 ? 2sin ? cos ? =1 ? = ,又因为 0 ? ? ? , 4 18 9 9
所以 sin ? ? cos ? ,所以 sin ? ? cos ? ? 0 ,所以 sin ? ? cos ? ? ?

11?a1 ? a11 ? ? 66 ,选 B. 2

2 ,故应选 B . 3

7.【解析】由圆的方程可知圆心为 ? 0,0 ? ,半径为 2,由题意知圆心到直线 l 的距离 d =1 , 即d ?

?a 12 ? 12

?

a 2

=1 ,解得 a = ? 2 ,故 C 正确.

8.【解析】S=3024,故选 D. 9. 【解析】设 P?x0 , y0 ? ,根据抛物线的焦半径公式: PF ? x 0 ?

p ? x0 ? 2 ? 5 ,所以 2

x0 ? 3 , y0 ? 24,代入双曲线的方程, 9 ?
是x ?
2

2

24 ? 1 ,解得: m ? 3 ,所以,双曲线方程 m

y2 ? 1 ,渐近线方程是 y ? ? 3x , 选 B. 3
( n ? 2)an ?4 n
①,当 n ? 2 时 Sn ?1 ?

10.【解析】 S n ?

( n ? 1)an ?1 ?4 n ?1



①-② 并整理得:

an n a n ?1 a 2 ,所以有 n ?1 ? ,?, 2 ? , ? an?1 2(n ? 1) an ?2 2(n ? 2) a1 2 ? 1

所以 an ? 所以 an ?

an an?1 a n n ?1 2 n ? ?? ? 2 ? a1 ? ? ??? ? 1 ? n?1 ,当 n ? 1 时,适合此式, an?1 an?2 a1 2(n ? 1) 2(n ? 2) 2 ?1 2
n ,选 D. 2n ?1

11.【解析】根据三视图可知,该几何体由两部分构成,底部为圆柱的一半,底面半径为 1, 高为 3,上部为三棱柱,底面是直角边为 2 的等腰直角三角形,高为 3,所以上部分几何体

1 ? 2 ? 2)( + 2 ? 3)( + 2 2 ? 3) =10+6 2 ,下部分几何体的表面积 2 1 2 + ? 2? ? 1 ? 3) =4? ,所以该几何体的表面积为 10 ? 6 2 ? 4? ,选 C. 为 S下 =(? ? 1 )( 2
的表面积为 S上 =(2 ? 12. 【解析】由图象知, f ?x ? ? 0 有 3 个根 0, a, b, a ? ( ?2, ?1), b ? (1, 2) , g ?x ? ? 0 有 3 个根 0,c, d , c ? ( ?1, 0), d ? (0,1) ,由 f ?g ?x ?? ? 0 ,得 g ?x ? ? 0 或 a , b ,由图象可知 g ?x ? 所对每一个值都能有 3 个根,因而 m=9;由 g ? f ?x ?? ? 0 ,知 f ?x ? ? 0 或 c, d ,由图象可以

d 时有 4 个, 看出 0 时对应有 3 个根, 加在一起也是 9 个, 即 n=9, ∴m+n=9+9=18, c 时只有 2 个, 故选 A.
13. 【答案】 3 【解析】把点(a,27)代入 y ? x 得,a=3,所以 tan
3

?
a

? tan

?
3

? 3

14. 【答案】4

3 2 ? 3b 2 a 2a ? 3b 2a ? 3b 3b 2a ? ? ? 2? ? ? 4 ,当且仅当 【解析】 a b ? 即 a=1.5, 2a 3b 2a 3b 2a 3b
b=1 时取等号. 15. 【答案】 3 4 【解析】 a , b, c 三名学生选择社团的结果有:(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(B,A,A),(A,B,B), (B,A,B),(B,B,A),(B,B,B),共 8 个等可能性的基本事件,三人在同一个社团的结果有: (A,A,A),(B,B,B),共两个,所以“三人在同一个社团”的概率为 2 ? 1 ,而“三人不在同 8 4 一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件,所以“三人不在同一个社团”的概率为
1? 1 ? 3 ; 4 4

16.【答案】 5? 【解析】记底面三角形 ABC 的外接圆为⊙O′,半径为 r,则 2 r ?

BC ? 2 ,所以记球 sin120?

的半径为 R,因为 SC ? 平面 ABC ,则 2 R ?

?2r ?

2

? SC 2 ? 1? 4 ? 5 ,所以球 O 的表

? 5? 面积为 S ? 4? R ? 4 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 5? . ? ?
2

2

三、解答题 17. 【解析】 (Ⅰ)因为∠D=2∠B, cos B ? 所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?
2

3 , 3
(2 分)

1 3

A

D

因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ? 所以△ACD 的面积 S ?

2 2 , (4 分) 3

B

C

1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 . (6 分) 2
2 2 2

(Ⅱ)在△ACD 中, AC ? AD ? DC ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 .
2 2

(8 分)
2

在△ABC 中, AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 12 把已知条件代入并化简得: AB ? 4 AB ? 0
2

(10 分)

因为 AB≠0,所以 AB = 4

(12 分)

18. 【解析】 (Ⅰ)女性平均使用微信的时间为:

0.16 ? 1 ? 0.24 ? 3 ? 0.28 ? 5 ? 0.2 ? 7 ? 0.12 ? 9 ? 4.76 (小时)
(Ⅱ) 2?0.04 ? a ? 0.14 ? 2 ? 0.12? ? 1 由列联表可得由列联表可得 微信控 男性 女性 合计
2

(4 分) (6 分)

解得 a ? 0.08

非微信控 12 20 32

合计 50 50 100 (8 分)
2

38 30 68

100?38? 20 ? 30 ? 12? n?ad ? bc? ? ? 2.941? 2.706 k ? 50 ? 50 ? 68 ? 32 ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?
2

(11 分)

所以有 90﹪的把握认为 “微信控”与“性别”有关.

(12 分)

19. 【解析】 (I) 连接 DE,由题意可知四边形 ABED 和 AECD 是平行四边形, 又 AB=AD,所以 ABED 是菱形 (2 分)

故 BM ? AE , DM ? AE.

即 B1 M ? AE , DM ? AE.

(4 分)

又因为 DM ? B1M ? M , MD 、 B1 M ? 平面 B1 MD ,所以 AE ? 平面 B1 MD . (5 分) 由题可得 AE∥CD,所以 CD ? 平面B 1 DM (6 分)

(Ⅱ) 连接 CM,由(Ⅰ)得 AB=AE=BE=2 ,所以 ?B1 AE 为等边三角形 ,

? B1M ? 3
又 CM ?

(7 分)

DM 2 ? CD2 ? 7 , B1C ? 10
(9 分) (10 分)

? B1M 2 ? CM 2 ? B1C 2 ,即 B1 M ? MC
MC ? AE ? M ,? B1M ? 平面 CDE 又 B1 M ? AE ,

1 1 AE ? DM ? ? 2 ? 3 ? 3 (11 分) 2 2 1 1 ?VB1 ?CDE ? S?CDE ? B1 M ? ? 3 ? 3 ? 1 (12 分) 3 3 S ?CDE ?
20. 【解析】 (I)由 e ?

6 c 6 6 ,得 ? ,即 c ? a ,① 3 a 3 3
2 2 2

(1 分)

以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x ? y ? a , 此圆与直线 2x ? 2 y ? 6 ? 0 相切,所以 a ?

(2 分)

6 22 ? ( 2)2

? 6 ,代入①得 c=2, (4 分)

x2 y2 ? ? 1 . (5 分) 所以 b ? a ? c ? 2 ,所以椭圆的方程为 6 2
2 2 2

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 2 (Ⅱ)由 ? 6 得 (1 ? 3k ) x ? 12k x ? 12k ? 6 ? 0 , (6 分) 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? x 2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 x ? x ? , , (7 分) 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

根据题意,假设 x 轴上存在定点 E ( m,0) ,使得 EA ? EB 为定值, 则有 EA ? EB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? m) ? ( x2 ? m) ? y1 y2

? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)(x1 ? x2 ) ? (4k 2 ? m2 )
? (k 2 ? 1) ? 12k 2 ? 6 12k 2 2 ? ( 2 k ? m ) ? ? ( 4k 2 ? m 2 ) 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
(9 分)

?

(3m 2 ? 12m ? 10)k 2 ? (m 2 ? 6) 3k 2 ? 1

要使上式为定值,即与 k 无关,则应有 3m 2 ? 12m ? 10 ? 3(m 2 ? 6) , 即m ?

(10 分)

7 , 3

(11 分)

2 此时 EA ? EB ? m ? 6 ? ?

5 7 为定值,定点为 ( ,0) . 3 9

(12 分)

21.【解析】 (I) f ? ? x ? ? ax ? ?1 ? a ? ? (i)当 a ? 0 时, f ?? x ? ?

1 ? ax ? 1?? x ? 1? ? ,x ? 0, x x

(1 分)

1? x ,令 f ??x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,令 f ??x ? ? 0 ,得 x ? 1 , x
(2 分)

函数 f(x)在 ?0,1? 上单调递增, ?1,??? 上单调递减; (ii)当 0 ? a ? 1 时,令 f ??x ? ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ?

1 ?1 (3 分) a 1 1 令 f ??x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1, x ? ,令 f ??x ? ? 0 ,得 1 ? x ? , a a
函数 f(x)在 ?0,1? 和 ?

?1 ? ? 1? ,?? ? 上单调递增, ?1, ? 上单调递减; ?a ? ? a?

(4 分)

(iii)当 a ? 1 时, f ??x ? ? 0 ,函数 f(x)在 ?0,??? 上单调递增; (5 分)

1 ?1 (6 分) a 1 1 令 f ??x ? ? 0 ,得 0 ? x ? , x ? 1 ,令 f ??x ? ? 0 ,得 ? x ? 1 , a a
(iv)当 a ? 1 时, 0 ? 函数 f(x)在 ? 0, ? 和 ?1,??? 上单调递增, ? ,1? 上单调递减;

(7 分)

? ?

1? a?

?1 ? ?a ?

(8 分)

综上所述:当 a ? 0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ?0,1? ,单调递减区间为 ?1,??? ; 当 0 ? a ? 1 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ?0,1? 和 ? 当 a ? 1 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ?0,??? ;

?1 ? ? 1? ,?? ? ,单调递减区间为 ?1, ? ; ?a ? ? a?

当 a ? 1 时, 函数 f(x)的单调递增区间为 ? 0, ? 和 ?1,??? , 单调递减区间为 ? ,1? (9 分) (II)当 a ? 0 时, f ?x ? ? ? x ? ln x ,由 f ?x ? ? mx,得 ? x ? ln x ? mx ,又 x ? 0 ,所以

? ?

1? a?

?1 ? ?a ?

ln x 1, e 2 ? ? 1 ,要使方程 f ?x ? ? mx在区间 ? ? ? 上有唯一实数解, x ln x ? 1 有唯一实数解, 只需 m ? (10 分) x ln x 1 ? ln x ? 1? x ? 0 ? ,∴ g ??x ? ? 令 g ?x ? ? , x x2 m?
由 g ??x ? ? 0 得 0 ? x ? e ; g ??x ? ? 0 得 x ? e , ∴ g ( x) 在区间 ?1, e? 上是增函数,在区间 e, e 2 上是减函数.

? ?

(11 分)

g ?1? ? ?1, g ?e ? ?

2 1 1 2 ? 1 , g e 2 ? 2 ? 1 ,故 ?1 ? m ? 2 ? 1 或 m ? ? 1 (12 分) e e e e

? ?

22. 【解析】 (Ⅰ)以 D 为圆心 DA 为半径作圆,又 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线 (1 分) 依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EB ? EF ? EC 故 AE ? EB (5 分) (Ⅱ)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径,∴ BF ? EC
2

(2 分) (3 分) (4 分) (6 分) (8 分)

由 S ?BCE ?

1 1 1? 2 2 5 BC ? BE ? CE ? BF ,得 BF ? ? 2 2 5 5
2

又在 Rt?BCE 中,由射影定理得 EF ? FC ? BF ?

4 5

(10 分)

A

D

E

F

B

O

C

23.【解析】 (Ⅰ)曲线 C 的参数方程可化为 直线 l 的方程为 ? sin ?? ? 直线 l 的直角坐标方程为

?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2 ? 1

(2 分)

? ?

??

? ? 2 .可化为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 4?
x? y?2?0
(6 分)

(4 分)

(Ⅱ)令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0)

(7 分) (8 分) (10 分)

又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 ?1,2? ,半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 ,? MN 的最大值为 5 ? 1 .
0.12

24.【解析】 (Ⅰ) f ( x)

? -2
(1 分) (2 分) (3 分)

当 x ? ?2 时, x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 2 ,∴ x ? ? ;

2 2 ,∴ ? ? x ? 1 3 3 当 x ? 1 时, ? x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 6 , ∴1 ? x ? 6 2 综上,{ x | ? ? x ? 6} (4 分) 3
当 ? 2 ? x ? 1 时, 3 x ? ?2 ,即 x ? ?

? x ? 4, x ? ?2 ? (Ⅱ) f ( x) ? ?3 x,?2 ? x ? 1 ? ? x ? 4, x ? 1 ?

函数 f ( x) 的图像如图所示:

y

O

x

(6 分) 令 y ? x ? a , ? a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时, ? a ? 2 ; ∴当- a

? 2,即 a ? -2 时成立;

(7 分)

当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,令 ? x ? 4 ? x ? a , 得 x ? 2 ? ∴a

a , 2

? 2+ a ,即 a ? 4 时成立, ? -2 或 a ? 4
2
(10 分)

(9 分)

综上 a


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